拉氏变换常用公式

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拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

三角函数拉氏变换常用公式

三角函数拉氏变换常用公式
拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为L[f(t)]。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数s的函数：
拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表，方便查阅。

拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。

拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。

因此，拉氏变换较多被用于解决：
(1).常数系数的线性微分或积分方程式；
(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss is A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1 r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

自动控制中拉氏变换常用公式

⏹ 自动控制中常用拉普拉斯变换● 拉普拉斯变换()()()0,,0st F s L f t f t e dt s j σωσ∞-===+>⎡⎤⎣⎦⎰其中 1、指数函数00()0t t f t et α-<⎧=⎨≥⎩，其中，α为常数。

()001[]d d t t st s t L e e e t e t s αααα∞∞----+===+⎰⎰ 2、单位阶跃函数()00()110t f t t t <⎧==⎨≥⎩，其中，A 为常数。

()01[1]1d st L t e t s ∞-=⋅=⎰ 3、单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t tt f 2000011[]d d d st st st st e e L t te t t t e t s s s s∞--∞∞∞--==-==--⎰⎰⎰ 4、三角函数00()sin 0t f t t t ω<⎧=⎨≥⎩ 根据欧拉公式：sin 2j t j te e t jωωω--= 拉式变换为：2222112[sin ]22j t j t j L t L e e j j s s ωωωωωωω-⎛⎫⎡⎤=-== ⎪⎣⎦++⎝⎭ 同理余弦函数的拉式变换为：22[cos ]s L t s ωω=+ 5、单位脉动函数 00010()00,t t t f t t t t ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩，其中，t 0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为1/t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始的高度为1/t 0的负阶跃函数叠加而成。

即00011()()()f t u t u t t t t =-- ，可得： 0000000011111[()]()()(1)st st L f t L u t L u t t e e t t t s t st s --⎡⎤⎡⎤=--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 6、单位脉冲函数单位脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

拉氏变换常用公式

1 2 st t e dt 2

1 2 st t e 2

0

0
te
st
dt
1 s3
写成 a(t t0 ) ，图像如下：
a (t )
8 6 4 2
0
a (t t 0 )
1 2 3 4
(a)
t
0
t0
(b)
t
图 2.6 单位加速度函数
11、单位加速度函数：
0 a(t ) 1 2 t 2
t0 t0
0
1 L t 2 u (t ) 2 1 s

L[ At ]

0
e st Ate dt At s
st

0

0
Ae st dt s

A s

0
e st d t
A s2
A＝1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在 t=t0 时刻的单位斜坡函数写成 r（t-t0）
5、单位斜坡函数
0 f (t ) t
(t t 0 )
d u (t t 0 ) dt
相反，如若对单位脉冲函数 (t t 0 ) 积分：
(t t )dt u (t t )
t0 0 0
t
积分的结果就是单位阶跃函数 u（t-t0）利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 10、加速度函数
As s 2
2
同理余弦函数的拉式变换为： L[ A cos t ] 7、脉动函数
A f (t ) t 0 0

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。

在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。

下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。

在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。

本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。

1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。

它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。

2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。

这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。

详细的运算规则可以参考相应的数学教材。

3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。

3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。

通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。

3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。

通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。

3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。

通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。

综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。

第二章附录-拉氏变换

例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理

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常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 和a 为常数。

2、阶跃函数
000)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数。

3、单位阶跃函数
4、斜坡函数
000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。

A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
6、正弦函数
00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数。

根据欧拉公式：
拉式变换为：同理余弦函数的拉式变换为：22]cos [ωω+=
s As t A L 7、脉动函数
t t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000,000)(，其中，A 和t 0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从
t ＝t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。

8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。

但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。

脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即
相反，如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：
积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。

10、加速度函数
000)(2
<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。

拉氏变化为：
当A=2
1时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -，图像如下：
11、单位加速度函数：。