一阶方程的一般形式为
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶微分方程
y y x 或 x x y
P x, y dy dx Q x, y
Q x, y dx 或 dy P x, y
Q x, y 0
P x, y 0 .
一、可分离变量的微分方程
dy 形如 f x h y 或 g( y )dy f ( x )dx dx 的微分方程称为可分离变量的微分方程.
一阶线性微分方程的解法
dy (1) 线性齐次方程 P ( x ) y 0. dx dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
(2) 用常数变易法求非齐次方程 dy P ( x ) y Q( x ) 的通解 dx
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln( u 1) ln( u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 Cx . 3 u ( u 2) 2
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
C1
x2
例2 求微分方程 xy x y dy 1 y dx 0
3 2
满足初始条件 y(1)=0的特解. 解 将原方程改写为
xy 1 x dy 1 y dx 0,
2 2
y dx dy , 2 2 1 y x 1 x y dx x 1 dy dx 2 2 2 1 y x 1 x x 1 x 1 Cx 2 . ln x ln 1 x ln C ln 1 2 1 x2 2
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
电路 正弦激励下一阶电路的响应
f 2 (t ) y f 2 (t )
时不变电路的延时不变性
f (t t 0 ) y f (t t 0 )
杜阿密尔积分(叠加积分): 适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零 t 状态响应。
y f (t ) f (0) g (t ) f ( )g (t )d
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
4
uC (t ) Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
uS
K U0 U m sin
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
求得全响应
uC (t ) (U 0 U m sin )e
duc 1 1 uc U s sin t dt RC RC
uS
则
齐次解: 特解: 完全解:
uCh (t ) Ke uCp (t ) Um sin( t )
st
uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
(t )
C
uC
–
uC (0-)=0
线性电路的线性性质
1 RC i(t ) e (t ) R
t
如果
则 如果
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 y f 1 (t ) a2 y f 2 (t )
f (t ) y f (t )
则
f1 (t ) y f 1 (t )
iL
U (1 e R
S
Rt L
)
(t0)
16
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)＝0或y ′=f (x ,y )，其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、 可分离变量的方程 形如xyd d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2)的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得)(y g yd =f (x )d x ， g (y )≠0， 根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分⎰)(y g yd =⎰x x f d )(,得通解G (y )=F (x )+C ，其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中．例1 求解方程xy d d ＝21y -． 解 分离变量得21yy -d ＝d x ．两边积分得arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )．注意 对于给定的C ，上述解中x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，将21y -作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsin y ＝x +C （C 为任意常数），另外还有两个特解y ＝±1．例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝pxx P d d ． 依题意，得pxx P d d ＝-3P 3， 于是xxd ＝-3P 2d P ， 积分得ln x =-P 3+C 1，即x =Ｃ3P -e(C =1C -e)．由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为x =3P -e．例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与广告支出x 之间有如下关系：xyd d ＝k (N -y ）， 其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，解 分离变量yN y-d =k d x ， 两边同时积分得-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)，因N -y ＞0，所以ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，上式经整理得y =N -C e -kx (C =1C -e＞0）．将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为y =N -(N -y 0)e -kx ． 由题设可知xyd d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞→=N ，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如x y d d =⎪⎭⎫⎝⎛x y f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u =xy将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令 u =xy(或y =ux )， 其中u 是新的未知函数．对y =ux 两端关于x 求导，得x y d d =u +x xu d d ． 代入(10-2-3)得u +xxud d =f (u )． 分离变量并积分得⎰-uu f u)(d =⎰x x d ，即Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，其中Φ(u )是⎰-uu f u)(d 的一个原函数，再将u =x y 代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解Φ(xy)＝ln|x|+C ． 上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，也就是⎪⎭⎫ ⎝⎛x y f ＝xy．这时，方程(10-2-3)为x y d d ＝xy． 这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．例4 求微分方程xyxy d d =x 2+y 2满足条件y |x =e ＝2e 的解． 解 原方程可化为x y d d = y x +xy，这是一个齐次方程．作代换u =x y ，即y =ux ，则 x y d d ＝u +x xud d ． 代入前一方程得u +xx u d d =u 1+u 即 x x u d d =u1， 分离变量并积分得u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，将u 替换为xy，便得原方程的通解： y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，再将初始条件代入通解得4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，求得 C =1， 于是，所求的特解为y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．例5 设甲、乙两种商品的价格分别为P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为21d d P P P P 12=1212P P P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．解 将所给方程整理为21d d P P =21212111P P P P P P +-． 这是齐次方程．令u =21P P ，即P 1＝uP 2，则21d d P P ＝u +P 22d d P u ，代入上式得 u +P 22d d P u ＝u u+-11·u ． 整理得⎪⎭⎫⎝⎛--211u u d u ＝222d P P ．两边积分得u1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）．将u 替换为21P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 22＞０) 12P P e ＝CP 1P 2（C ＝1C e ， C 为正数)．2． 可化为齐次方程的微分方程 形如x yd d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222111C y b x a C y b x a f （10-2-4） 的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y b x a C y b x a 有惟一解x =α，y =β．作变量替换⎩⎨⎧-=-=,,βαy v x u 则222111C y b x a C y b x a ++++＝222111)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝vb u a v b u a 22111++．于是方程(10-2-4)化为u vd d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++v b u a v b u a f 22111． 这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令21a a ＝21b b ＝λ，即有a 1=λa 2, b 1=λb 2． 方程(10-2-4)可写为x yd d ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222122)(C y b x a C y b x a f λ． 作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2xyd d ，方程(10-2-4)化为 x t d d ＝a 2+b 212()t C f t C λ++．这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．例6 求方程x y d d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组⎩⎨⎧=++=+-05,01x y x y 得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为u v d d =uv u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它的通解为ln(u 2+v 2)+2arctanuv=C ． 再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan23++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如y ′＋P (x )y =Q (x ) （10-2-5）的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．如果Q (x )≡0，方程(10-2-5)即为y ′+P (x )y =0． （10-2-6）该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的． 下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)的解法．先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y =0是它的一个解，当y ≠0时分离变量得yyd =-P (x )d x ． 两边积分得ln ｜y ｜=⎰-x x P d )( +C 1，即y =C ⎰-xx P d e)( （C =±1Ce ）．y =0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C =0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为y =C ⎰-xx P d e)( (C 为任意常数)． (10-2-7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q (x )，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C 不可能还是常数，而是x 的某个函数C (x )．于是，可设方程(10-2-5)的解为y =C (x )·⎰-xx P d e)(， （10-2-8）其中C (x )是待定函数．将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得[C (x ) ⎰-xx P d e)(]'+P (x )C (x ) ⎰-xx P d e)(=Q (x )．化简，得C '(x )＝Q (x ) ⎰xx P d e )(．上式两端同时积分，得C (x )=⎰)(x Q ⎰xx P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解y =⎰-xx P d e)([⎰)(x Q ⎰xx P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常数)． （10-2-9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．将通解(10-2-9)改写为y =C ⎰-xx P d e)(+⎰-xx P d e)(⎰⎰x x Q xx P d )e(d )(．不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为y ′+x y =xxe ． （10-2-10）先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为y =xC， 再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为y =xx C )(， 代入方程(10-2-10)得22)()()(x x C x x C x C x +-'＝xxe ，化简，得C '(x )=e x ，积分得C (x )=e x +C ，故得方程(10-2-10)的通解为y =x1 (e x+C )（C 为任意常数）．这也就是所求方程的通解．以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．这里，P (x )= x 1，Q (x )＝xxe ，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x xd e e ed d 11＝x1(e x +C )． 例8 求方程y ′＝3y x y+满足初始条件y (0)=1的特解． 解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成y x d d -y1x =y 2， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．利用通解公式(10-2-9)得x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y yy yd eed 2d 11＝[]⎰+-C y y yy d ee 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +21y 3， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求 方程的特解为x =21-y +21y 3． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝t f xt d ⎰303)(＋e 2x ，求f (x )．解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可导．对方程两端同时求导，得f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．由一阶线性方程的通解公式，得f (x )＝()⎰+⎰-⎰C x xx xd e ee d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为63x ＋31，求f (x )的表达式．图10-2解 参看图10-2，由题设得2x ［1+f (x )］+⎰1)(x t t f d ＝63x ＋31，求导，得21［1+f (x )］+21xf ′(x )-f (x )=22x ， 即f ′(x )-x 1f (x )=xx 12- (x ≠0)．利用一阶线性微分方程的通解公式，得f (x )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x xd e ed d 1211＝e ＝x 221d x x C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝x 2+1+Cx ． 当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有f (x )=x 2-2x +1．形如xyd d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1） （10-2-11） 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以y α，得y -αx yd d +P (x )y 1-α＝Q (x )，即xy d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为xzd d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （10-2-12）这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．例11 求方程y ′+y xx21- =21xy 的通解． 解 这是α＝21的伯努利方程．方程两边同时除以21y ，得21211y xx x y y -+d d ＝x ． 令z ＝y1-α＝21211y y=-，则上面的方程化为x z d d +z x x )1(22-＝2x ． 这是一阶线性微分方程，其通解为z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰-⎰-C x x x x x x x xd e ed d 221211212 ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---C x x 43242)1(311＝)1(311242x x C ---． 将21y 替换z ，得原方程的通解为y =2242)1(311⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)． 习题10-21． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝xy-+11； (2) xy d x +21x -d y =0; (3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)1,0110==+-+=x y y xy x y x d d ； (6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ．2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=x y +sin xy ； (3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ;(4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1；(5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1;(6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ;(7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) y ′-y =sin x ;(2) y ′-xn y =x n e x ； (3) (x -2y )d y +d x =0;(4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；(5) y ′-1+x y =(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2221212xx y x x +=+，y (0)=23; (7) y ′-y x 1=-x2ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2x -e ，y (0)=1;(9) y ′＝234xy y x +； (10) y ′＝xyy x +331． 5． 设函数f (x )在［1,＋∞］上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2)=92的特解． 6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当 时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的 生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)．7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )． 8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为 C ′(x )＝x C x +++11， 且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ， 其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高?。
一阶线性微分方程的概念与解的结构
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
三种形式的一阶线性微分方程
三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种最基本的微分方程形式，通常可表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的函数。
该形式的一阶线性微分方程可表示为：dy/dx + 2x*y = x^2这里P(x) = 2x，Q(x) = x^2、对于这个方程，我们可以使用线性微分方程的一般解法，首先求出积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx) =e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = x^2*e^(x^2)对于左边第一项使用乘积法则，可得(d(e^(x^2)*y)/dx =x^2*e^(x^2)。
因此，我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = x^2*e^(x^2)积分两边得：e^(x^2)*y = ∫x^2*e^(x^2)dx + C解方程得：y=x^2/2+C*e^(-x^2)其中C是一个任意常数。
一阶线性微分方程中的非齐次项Q(x)可以是除了常数外的任何函数形式。
如果Q(x)是sin(x)这样的特殊函数形式，原方程可以表示为dy/dx + 2x*y = sin(x)。
对于这个方程，我们同样可以使用乘以积分因子的方法，首先求出μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)sin(x)对于这个方程，我们需要对方程的右边进行特殊处理。
我们可以使用积分技巧来求解该方程，首先将右边的sin(x)表示为e^(ix) = sin(x) + icos(x)，然后将其带入原方程得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)(sin(x) + icos(x))对右边的每一项使用乘法法则，得：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)因此我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)积分两边解方程得：e^(x^2)*y = ∫e^(x^2)sin(x)dx + ∫ie^(x^2)cos(x)dx + C由此我们可以求出y的通解。
三种形式的一阶线性微分方程
三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以在统计学、物理学、工程学和化学中发现并被广泛运用。
它的形式可以分为三种：一阶常系数微分方程、一阶非常系数微分方程和变系数微分方程。
一阶常系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足常系数。
它的基本形式是：y=ay+b其中，a和b是常数，y是未知函数，y表示y的一阶导数。
此外，如果a不等于0，则常系数微分方程也可以把y的导数写作： y=by/a一阶非常系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足非常系数的一阶线性微分方程。
它的形式是：y=f(t,y)其中，t是时间变量，y是未知函数，f(t,y)是一个任意的函数，y表示y的一阶导数。
变系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足变系数的一阶线性微分方程。
它的形式是：y=p(t)y+q(t)其中，t是时间变量，y是未知函数，p(t)和q(t)是变系数函数，y是y的一阶导数。
解决一阶线性微分方程的一般方法是通过变换来得到其解。
如果固定系数不变，可以将该微分方程转换成一般形式，再将其转换为常系数微分方程，使用常系数微分方程的解法来解决。
若不固定系数，直接将微分方程转换为常系数形式，再进行求解。
常系数微分方程的解法有多种，如分部积分法、特解法、逐步积分法和参数法。
首先，在求解前，需要将原方程拆分成通解和特解，通解用分部积分法求解，特解通过特解法求解。
其次，根据微分方程的系数分别选择对应的积分函数，然后进行解算。
一阶非常系数微分方程的求解方法有多种，如初值问题、逐步积分法和参数法。
总的来说，要求解一阶非常系数微分方程，首先要将该方程转化为常系数微分方程，然后求解它。
另外，如果方程中出现某些特定函数，那么就可以使用特殊方法。
变系数微分方程的求解方法也有多种，如拉普拉斯变换、特殊变换和特解法。
拉普拉斯变换是一种常用的方法，它的基本思想是将变系数的微分方程转换成常系数形式，再使用常系数微分方程的解法求解。
一阶线性微分方程的概念与解的结构
y Cecosx.
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
ddxy1x22xy0,
这是一个线性齐次方程， 且P(x)1x22x,
则
P (x)d x 2 xx 1 2 d xln x21 x,
C(x)y1Q (x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
Q(x)
C(x)
dxC, y1
代入
y=
C (x)y1 中，得 yC1yy1
Q(x)dx. y1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
yP (x)yQ (x),
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
的通解
xe1y22ydyC
12ydy e y2 dy
1
1
1
y2ey(Cey)y2(1Cey),
即所求通解为
1
x y2(1Cey ).
二、伯努利方程
方程 dyp(x)yQ(x)yn dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方 程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过 变量替换，可以把它化为线性的。
两边积分，得
dy P(x)dx, y
ln yP (x)d xln C ,
所以，方程的通解公式为
yCeP(x)dx.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P (x )d x six d n x co x , s
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
y1n z e ( (1n)P(x)dx Q(x)(1 n)e(1n)P(x)dxdx C)
例 6 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
2
回代：
arctan
y x
1 ln(1 2
y2 x2
)
ln
x
ln c
或
arctan y
e x c
x2 y2
例4：求y2 x2 dy xy dy 的通解 dx dx
解：dy ( y / x)2 令 u y 则 u x du u2
dx y / x 1
x
dx u 1
分离变量： (1 1)du 1 dx
令z y,
2 dz 4 z x2 , dx x
解得 z x2 x C , 2
即 y x4 x C 2 . 2
注 利用变量代换将一个微分方程化为变量
可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是 求解微分方程的一种最常用的思想方法
如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、 Bernoulli 方程等 都是通过变量代换来求解方程的。
u
x
两边积分： u ln | u | C ln | x |
即 ln | xu | u C 回代： ln | y | y C
x
三、一阶线性微分方程
（关于未知函数及其导数的一次方程）
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
将
dy f ( x, y) dx
变换为 dx 1 dy f ( x, y)
也是经常可以考虑的
三、小结
1.齐次方程 y f ( y) 令 y xu; x
cet ,
代入M t0 M0 得 M0 ce0 C ,
M M0et
题型：“经过变形、代换…可化为变量分离方程”
例2：求解微分方程 dy cos x y cos x y 0
dx
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
解： dy 2sin x sin y 0,
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 两端除以yn，得 dx
yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程的解法。
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量方程（定义）.
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
dx
22
即：dy sin y
2sin x dx 2
dy sin y
2 sinx 2dx,2 Nhomakorabea2
ln csc y cot y 2cos x C,
22
2
为所求通解.
二、齐次型方程
1.定义
形如 dy ( y)
dx x
的微分方程称为齐次方程.
2.解法： 第一步：作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy u x du ,
齐次方程①的通解为 y Ce P( x)dx .
常数变易法：
“把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法”.
设 y C(x)e P(x)dx为② 的解
y
C' (x)e P(x)dx
C(
x)P(
x)e
P(
x)dx
,
将y和y代入原方程得 C '(x) Q(x)eP(x)dx,
积分得 C(x) Q(x)eP(x)dxdx C,
2c( x)( x 1)2
1
5
( x 1)2
x1
1
c( x) ( x 1)2 解得
故非齐次方程的通解为 y
c( x)
(x
2(x 3
1)2[2 ( x
3
1)2 c
3
1)2
c]
3
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
例如 dy y x2 , dx
dx dt
x sin t
t2,
线性的;
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P(
x) y
0.
①
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
dx
dx
代入原式 u x du (u),
dx
即 du dx .
(u) u x
第二步：解可分离变量方程
例3：求
dy dx
x x
y y
的通解
解
dy dx
1 1
y
x y
令 u y x
则 u x du 1 u dx 1 u
x 分离变量：
1 u 1 u2
du
1 dx x
两边积分： arctan u 1 ln(1 u2 ) ln x ln c
方程②的通解为: y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
例5
dy
2y
5
( x 1)2
dx x 1
解1：常数变易法
（解2：公式法略）
相应齐方程
dy dx
2y x1
通解为
y c( x 1)2
令 y c( x)(x 1)2 代入非齐方程
c( x)(x 1)2 2c( x)(x 1)
12.2 几类一阶方程的求解
一阶方程的一般形式为：
F(x, y, y) 0
dy f ( x, y) dx
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
dy P( x, y) dx Q( x, y)
dx Q(x, y) dy P(x, y)
重要的观点！
12.2 几类一阶方程的求解
本节研究：
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
第一步：分离变量 第二步：两边积分
例 1 衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比, 求： 衰变中铀含量 M (t )随时间t 变化的规律， M t0 M0
解 dM M dt
( 0衰变系数)
dM dt M
dM M
dt,
ln M
t ln c, 即M