频率特性

5.4.3 中频段

中频段从概念上讲指低、高频段中间的信号频率范围。从闭环幅频角度看可以认为，低频段和中频段的界限为M ω，中频段和高频段的界限为b ω，但实际系统不可能精确以此区分，而是由一个过渡带存在。

在等M 图中看到中频段在闭环幅频特性中为b M ωω→之间范围，而从开环幅频特性看，其标志为c ω，故开环幅频特性中c ω两侧一定频率范围内为中频段。由闭环特性看系统的谐振峰出现在中频段，谐振峰的大小有无都和阻尼系数ζ有关，因而中频段将决定系统的动态性能。一般情况下，系统若有谐振峰，其r ω在c ω左侧，二者相距并不远，可以近似认为在c ω处。

1. 中频段大的斜率

如果开环频率特性是以-20dB/dec 通过c ω的，而且c ω两侧足够宽，即低、高频对中频影响可忽略不计，这是的开怀传递函数可以近似表示为

c

()=s s

K G s ω≈

（5-4-7） 其闭环传递函数近似为

1()1

1

1c

c

c

s H s s s

ωωω≈

=

++

（5-4-8）

可见相当于一阶系统，系统是完全稳定的，无超调且c ω越大过渡时间越短。实际系统很难保证c ω两侧是足够宽的，故不可能将低2、高频影响完全忽略，但只要宽度合适就容易取得满意的超调和过渡时间。

如果以40dB/dec 穿越c ω且有足够宽度，则

2

c 22()=s s

K G s ω≈（5-4-9）

222

()()1()c c G s H s G s s ωω≈=++（5-4-10）

这就是正弦振荡的拉普拉斯变换，因而系统是不稳定的，因此中频段不宜过宽，否则超调量与过渡时间都会明显增大。

实际系统最好以-20dB/dec 斜率通过c ω，这样可使系统具有足够的相位裕度，总可以通过中频宽度和c ω位置调节获得满意的动态性能。如果务必以-40dB/dec 穿越c ω，也应在过c ω后尽快恢复-20dB/dec 斜率。

当清楚中频段参数后，可以依据相关公式确定该动态性能状况。 2. 中频段的宽

由上述介绍可见，好的系统其开环幅频特性在低频段增益尽可能大，中频段以-20dB/dec

穿越c ω，高频段斜率尽可能大，如图5-27所示。由低频段的很高分贝值下降到中频断很低分贝值，一定要有一个过渡区域，以某种斜率将二者连接起来，这就是过渡带，习惯上将它与低频段连接的转折频率点记为2ω。同理，将与高频段过渡的转折频率点记为3ω。2ω与3ω之间的频带宽度称为中频宽，记为h 。由于横轴取lg ω，固有 32lg lg -lg h ωω=（5-4-11）

32

23

T h T ωω=

=（5-4-12） 得

对于高阶系统，忽略低频段过渡带的转折频率1ω对中频段的影响，系统有简化的幅频特性如图5-28所示。因而对于中频段而言，其开环传递函数为

322

233(1)

(1)()(1)(1)

K hT s K T s G s s T s s T s ++=

=++（5-4-13） 其相频特性为

331()-180arctan -arctan -180()o o hT T ϕωωωγω=+=+（5-4-14）

其中1()γω表示开环相频特性与-1800的偏移量，如图5-28所示。

313322

3(h-1)T ()arctan -arctan arctan

1+hT T hT ω

γωωωω

==（5-4-15） 令

1()

0m d d ωωγωω

=∣=，得1=γω（）

的极大值发生在m ω处，且有

m ω=

=

5-4-16）

即

3m m 2

ωω

ωω（5-4-17） 式（5-4-17）说明，相频特性对于-180o 偏移的最大值发生在中频宽度的中点处，如图5-28

所示。同时它也说明主要23ωω、确定，1=γω（）也就确定了，其与c ω的关系可由K 值加以改变。 又有

11m m γγω==（）

5-4-18） 前面已经知道，高阶系统经验公式有

1

=

sin ()

r M γω（5-4-19）

若通过平移（改变K 值）将m ω与r ω重合，则有

11

=

sin r m

M γ（5-4-20）

此时M r 将最小。根据式（5-4-18）可推得 1-1

sin =

+1

m h h γ（5-4-21） 或-1-1

=

, =+1+1

r r r M h M h h M （5-4-22） 上述结论说明了使r M 最小的方法。但开环幅频特性中只有c ω，如何设置c ω在h 宽度上的位置能获得r M 最小才有实际意义，可以证明下述公式是2ω、3ω、c ω所要满足的最佳比例关系，是中频段设计的重要公式。

3121r c r M h M h ωω+==+（5-4-23）

2121

r c r M M h ωω-==+（5-4-24） 需要说明几点：

式（5-4-22）建立了r M 和h 间的关系，但该关系一定要在式（5-4-23）、（5-4-24）得到

满足时才成立，在其他任何情况下r M 都将变大。

当2ω、c ω、3ω满足最佳关系是，c ω在靠近3ω这一侧，并非处于中频宽的中点处。

当1h 时，可取32c ω=。

由式（5-4-22）可见，当h 的值较小时，h 的变化将使r M 变化剧烈，当h 取值很大时，