整理打印版相交线与平行线中的辅助线与折叠问题
相交线与平行线辅助线与折叠问题
一、【折叠问题】利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线
八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；
1. 缺角补角
在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线
段的方法，将“八角”补齐。
2. 缺线补线
如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定
难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。
1、如左下图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E=
2、 如图，若AB ∥CD,则∠B-∠C+∠E=
3、 如图a ∥b, ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=
4、如图，AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=
5、如图，AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点，猜想∠BAC 、∠关系.
6、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。
求证：AB ∥EF
7.如图CD ∥EF, ∠F+∠C=∠ABC,求证AB ∥GF
A C
B D
E
第1题图
8、同位角、内错角、同旁内角角平分线的规律
图1 图2 图3
①、如图1，AB∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，可以得出结论为：
②、如图2，AB∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，可以得出结论为：
③、如图3，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，可以得出结论为：
9.图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1=．（直接给出答案）
（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．
10.科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b
反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=，∠3=；
（3）由（1）请你猜想：当∠3=时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．
11.（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
二【折叠问题】：第一步：还原；第二步：标出所有相等的角；第三步：找内错角（相等）、同位角（相等）和同旁内角（互补）；第四步：计算
1、如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，则图中∠α=．
第1题图第2题图第3题图第4题图
2、将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知∠1=76°，则∠2
的度数为度．
3、如图，有一条等宽纸带，按图折叠时，那么图中∠ABC的度数等于
4、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于
5、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠ 1= 50°，则
∠AEF =
第5题图
6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于
第6题图第7题图第8题图
7. 一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,则∠DP A′的度数。
8.把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，
则∠BOD的度数为
11.如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_____度。
相交线与平行线辅助线课件
在几何问题中，面积问题是常见的类型之一。利用相交线 和辅助线，我们可以将面积问题转化为线段之间的关系问 题。通过构造全等三角形或平行四边形，我们可以找到相 等的线段或角，从而求解出所求的面积。
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垂线
利用垂线的性质，可以证明两条线段垂直或两条线段之间的 角度为直角。
平行线在几何图形中的应用
同位角相等
利用同位角相等性质，可以证明两条 直线平行或两条线段之间的角度相等 。
内错角相等
利用内错角相等性质，可以证明两条 直线平行或两条线段之间的角度相等 。
相交线和平行线的综合应用
平行线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
03
04
确定目标
首先需要明确问题的目标，确 定需要添加的辅助线类型。
观察图形
观察几何图形，寻找可以添加 辅助线的位置。
尝试作图
根据观察，尝试作出符合要求 的辅助线。
检查正确性
作完辅助线后，需要检查其是 否正确，是否有助于解决问题
。
辅助线的使用技巧与注意事项
熟悉基本图形
了解和熟悉常见的几何 基本图形，如三角形、 平行四边形、梯形等。
详细描述
在几何问题中，长度问题是常见的类型之一 。利用相交线和辅助线，我们可以将长度问 题转化为线段之间的关系问题。通过构造全 等三角形或平行四边形，我们可以找到相等
的线段或角，从而求解出所求的长度。
实际应用案例三：求解面积问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用相交线和辅助线，可以求解面积问题，通过构造全等 三角形或平行四边形，将面积问题转化为线段之间的关系 问题。
详细描述
第2章相交线与平行线 题型解读5 平行线中的折叠问题-北师大版七年级数学下册
《相交线与平行线》题型解读5 平行线中的折叠问题【方法梳理】题型特点：将长方形折叠而形成各种角；方法提示：利用长方形中的平行线和折叠性质(折叠前后的图形线和角相等)解题；【典型例题】例1.将一长方形纸条按如图所示折叠，则∠1=_______度解析：∵矩形EFGH，∴EH∥FG，∴∠HAB+∠ABG=180°，∵沿BD折叠BG和BA所在直线重合，∴∠ABG=2∠DBC=2×54°=108°，∴∠HAB=180°-108°=72°，∴∠1=∠HAB=72°；例2.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=52°，则∠AEF=__________解析：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1=52°，则∠BFE=1/2（180°-∠1）=64°．∴∠EFC=64°+52°=116°，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC=116°例3.将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，若∠CED′=50°，则∠EAB=________解析：∵∠CED′=50°，∴∠DED′=130°．由翻折的性质可知：∠DEA=∠D′EA．∴∠DEA=1/2∠DED′＝12×130°＝65°．∵ABCD为矩形，∴DC∥AB，∴∠EAB=∠DEA=65°．例4.如图，长方形纸片ABCD，将纸片折叠使点A落在点G处，点B落在点D处，折痕为EF，若∠GFD：∠DFE=4：3，则∠DEC=__________解析：根据题意，得∠GFE=∠AFE，∠BEF=∠DEF，∵∠GFD：∠DFE=4：3，∴∠AFE：∠DFE=7：3，∵∠AFE+∠DFE=180°，∴∠AFE=180°×(7/10)＝126°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB=180°-∠AFE=180°-126°=54°，∴∠DEF=54°，∴∠DEC=180°-54°-54°=72°例5.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=__________度解析：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°例6.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1=56°，那么∠2=__________解析：根据轴对称的性质，得∠ABC=2∠1=112°．∵AB∥CD，∴∠2=180°-112°=68°例7.如图，有一条等宽纸带，按图折叠时（图中标注的角度为40°），那么图中∠ABC=______°解析：根据题意，得AD∥BC，∠ACB=40°，∠BAD=∠BAC．∴∠ABC=∠BAD=∠BAC．∴∠ABC=(180º-40º)÷2=70°例8.把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1=____解析：如图：折叠CE和BC重合，根据折叠性质得出BC=CE，AE=AB，∠1=∠4，∵一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，∴AE∥BC，∴∠1=∠5，∴∠4=∠5，∴∠1=∠3，∵∠1+∠3=110°，∴∠1=55°.例9.将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG=54°，则∠BGE=______解析：根据翻折的性质，得∠DEF=∠GEF；∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG；∠BGE=∠DEG；∵∠EFG=54°，∴∠BGE=2∠EFG=108°。
相交线和平行线-全章知识点归纳及典型题目练习
15相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图 余角 余角补角补角角 两线相交 对顶角同位角 三线八角 内错角同旁内角平行线的判定 平行线 平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理 （一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）01290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠(同角的余角或补角相等)。
相交线与平行线（2）00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=且14,∠=∠则23∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
人教版七年级下数学第五章-相交线与平行线-知识点+考点+典型例题
【知识重点】1.两直线订交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（ 1）定义：有一个公共极点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线，这样的两个角互为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。
（ 2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线订交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线相互垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥ b”7．平行公义及推论（1）平行公义：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
注：（1）平行公义中的“有且只有”包括两层意思：一是存在性；二是独一性。
（2）平行拥有传达性，即假如a∥ b，b∥ c，则 a∥ c。
8．两条直线的地点关系：在同一平面内，两条直线的地点关系有订交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判断（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（ 2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（ 4）假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；增补：（5）平行的定义；（在同一平面内）（ 6）在同一平面内，垂直于同向来线的两直线平行。
．．．．．．11.平移的定义及特点定义：将一个图形向某个方向平行挪动，叫做图形的平移。
特点：①平移前后的两个图形形状、大小完整同样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】考点一：对有关观点的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公义的差别等例 1：判断以下说法的正误。
数学七年级下第五章 相交线与平行线 专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线
数学七年级下第五章相交线与平行线专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题1 . 如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.2 . 如图，，且AE平分，，则________；3 . 已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF 交于点A．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为___________s4 . 如图，已知AB∥CD，，则_____．二、解答题5 . 已知，如图1，E为BC延长线上一点．（1）请你添加平行线证明：∠ACE＝∠ABC+∠A．（2）如图2，若点D是线段AC上一点，且DF∥BC，作DG平分∠BDF交AB于G，DH平分∠GDC交BC于H，且∠BDC 比∠ACB大20°，求∠GDH的度数．（3）如图3，已知E为BC延长线上一点，D是线段AC上一点，连接DE，若∠ABC的平分线与∠ADE的平分线相交于点P，请你判断∠P、∠A、∠E的数量关系并证明你的结论．6 . 已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，问CD与AB有什么关系？并说明理由7 . 完成以下证明，并在括号内填写理由．已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．求证：∠ABC＋∠4＋∠D＝180°．证明：∵∠1＝∠2∴∥（）∴∠A＝∠4（）∠ABC＋∠BCE＝180°（）即∠ABC＋∠ACB＋∠4＝180°∵∠A＝∠3∴∠3＝∴∥∴∠ACB＝∠D（）∴∠ABC＋∠4＋∠D＝180°。
部编数学七年级下册专题02《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类(解析版)含答案
专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解答题、证明题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：利用平行线的性质求角方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。
平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！1．如图，已知：DE //BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =80°，∠A =50°，求：∠EDC 与∠BDC 的度数．【答案】∠BDC =75°，∠EDC =25°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB =50°，再由角平分线的定义求出1===252BCD ACD ACB ÐÐÐo ，则由三角形内角和定理可求出∠BDC =180°-∠B -∠BCD =75°，再由平行线的性质即可得到∠EDC =∠BCD =25°．【详解】解：∵∠A =50°，∠B =80°，∴∠ACB =180°-∠A -∠B =50°，∵CD 平分∠ACB ，∴1===252BCD ACD ACB ÐÐÐo ，∴∠BDC =180°-∠B -∠BCD =75°，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠BCD =25°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠E ＝45°，∠C ＝30°，AB 与DF 交于点M ，BC ∥EF ，求∠BMD 的度数．【答案】75°【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F 和∠B 的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB 的度数，在△BMD 中，利用三角形内角和可求出∠BMD 的度数．【详解】解：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠E ＝45°，∠C ＝30°，∴∠B ＝90°−∠C ＝60°，∠F ＝90°−∠E ＝45°，∵BC ∥EF ，∴∠MDB ＝∠F ＝45°，在△BMD 中，∠BMD ＝180°−∠B −∠MDB ＝75°．【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．3．如图所示，AB //CD ，G 为AB 上方一点，E 、F 分别为AB 、CD 上两点，∠AEG =4∠GEB ，∠CFG =2∠GFD ，∠GEB 和∠GFD 的角平分线交于点H ，求∠G +∠H 的值．【答案】∠G +∠H =36°．【分析】先设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意可得8AEG x Ð=，4CFG y Ð=，由28180x x +=°，24180y y +=°，从而求出x y ，；根据题意得AEG G CFG Ð=Ð+Ð， AEH H CFH Ð=Ð+Ð， 从而得到G H Ð+Ð的值．【详解】解：设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意可得，8AEG x Ð=，4CFG y Ð=，由28180x x +=°，24180y y +=°，解得18x =°，30y =°；由靴子图AEGFC 知，AEG G CFG Ð=Ð+Ð，即84x G y=Ð+由靴子图AEHFC 知，AEH H CFH Ð=Ð+Ð，即即84x G y =Ð+，95x H y =Ð+，179171893036G H x y Ð+Ð=-=´°-´°=°【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意得到x y ，的关系式，正确将G H Ð+Ð表示成x y ，的形式．4．如图所示，AB //CD ，点E 为两条平行线外部一点，F 为两条平行线内部一点，G 、H 分别为AB 、CD 上两点，GB 平分∠EGF ，HF 平分∠EHD ，且2∠F 与∠E 互补，求∠EGF 的大小．【答案】∠EGF =120°．【分析】过点F 作FM ∥AB ，设AB 于EH 的交点为N ，先设,EGB x EHF y Ð=Ð=，则,BGF x FHD y Ð=Ð=，由题意及平行线的性质得F BGF DHF Ð=Ð+Ð，EGB E EHD Ð=Ð+Ð，得到F x y Ð=+，2x E y =Ð+，由于2F Ð与E Ð互补，得到222180x y x y ++-=°，最终问题可求解【详解】解：过点F 作FM ∥AB ，设AB 于EH 的交点为N ，如图所示：设,EGB x EHF y Ð=Ð=，∵GB 平分∠EGF ，HF 平分∠EHD ，∴,EGB BGF x EHF FHD y Ð=Ð=Ð=Ð=，∵AB //CD ，∴FM ∥AB ∥CD ，∴,,FGB GFM MFH FHD ENB EHD Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ð，∴GFH GFM MFH BGF DHF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，EGB E ENB E EHD Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，即F x y Ð=+，2x E y =Ð+，∵2F Ð与E Ð互补，∴222180x y x y ++-=°，∴3180x =°，∴60x =°，∴120EGF x x Ð=+=°．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设,EGB x EHF y Ð=Ð=，且由题意得到x ，y 的关系．5．如图，CD ∥AB ，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，求∠DOF 的度数．【答案】35°【分析】根据平行线的性质求得DOB Ð，根据角平分线和垂直求解即可．【详解】解：∵CD AB∥∴110DOB D Ð=Ð=°∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB Ð=Ð=°又∵OF ⊥OE∴90EOF Ð=°∴905535DOF EOF DOE Ð=Ð-Ð=°-°=°故答案为：35°【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解．6．小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB ∥CD ，E 为AB 、CD 之间一点，连接BE ，ED ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E 作EF ∥AB则有∠BEF ＝∠B∵AB ∥CD∴EF ∥CD∴∠FED ＝∠D∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：（1）直线l 1∥l 2，直线EF 和直线l 1、l 2分别交于C 、D 两点，点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，猜想：如图②，若点P 在线段CD 上，∠PAC ＝15°，∠PBD ＝40°，求∠APB 的度数．（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；【分析】（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC=15°，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．考点2：利用平行线的判定及性质证明平行方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
初一数学：相交线与平行线知识点总结及压轴题练习(附答案解析)
初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)知识点：1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最短。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
12、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。
②对应点的线段平行且相等。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
15、命题：判断一件事情的语句叫命题。
整理打印版相交线与平行线中的辅助线与折叠问题
相交线与平行线辅助线与折叠问题一、【折叠问题】利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明,必须具备相应的图形,即三线八角，如果图形不齐全,则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线,通常有两种情况；1. 缺角补角在图形中虽然具备了“三线"，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。
2. 缺线补线如果在图形中“三线"尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线,添置平行线有一定难度，应结合已知条件,对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。
1、如左下图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒,∠C ＝40︒，则∠E=2、 如图,若AB ∥CD ，则∠B-∠C+∠E=3、 如图a ∥b ， ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=4、如图,AB ∥CD ，∠1=50°,∠2=110°，则∠3=5、如图,AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点,猜想∠BAC 、∠CED6、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。
求证:AB ∥EF7.如图CD ∥EF ， ∠F+∠C=∠ABC,求证AB ∥GF8、同位角、内错角、同旁内角角平分线的规律A CB DE第1题图图1 图2 图3①、如图1，AB∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN,可以得出结论为：②、如图2,AB∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE,可以得出结论为:③、如图3，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，可以得出结论为：9.图（1），EF⊥GF，垂足为F,∠AEF=150°,∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系,并说明理由．（2）如图（2)，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°,∠C=．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1=．（直接给出答案）(4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．10.科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．（1）如图,一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=，∠3=;（3)由（1)请你猜想:当∠3=时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a 和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．11.（1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4,请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识,入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角）（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动,设时间为t，在射线CD转动一周的时间内,是否存在某时刻,使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．二【折叠问题】:第一步:还原;第二步：标出所有相等的角；第三步：找内错角（相等）、同位角(相等）和同旁内角（互补）；第四步:计算1、如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，则图中∠α=．第1题图第2题图第3题图第4题图2、将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知∠1=76°,则∠2的度数为度．3、如图，有一条等宽纸带，按图折叠时，那么图中∠ABC的度数等于4、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠,则∠α的度数等于5、如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠ 1= 50°，则∠AEF=第5题图6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于第6题图第7题图第8题图7。
相交线与平行线中的辅助线
图1：1-3小组完成 图2：4-6小组完成 图3：7-9小组完成 图4：10-12小组完成
小组展示要求：
一人主讲
图1
图2
图3
图4
一人指引、补（充1）指出图1中∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系，并说明理由。
二人板书 （2）上述结论在后三个图中还成立吗？若不成立，请分别指出
其关系，并选择一种情况加以证明。
图三：4-6小组完成
图四：7-9小组完成
图五：10-12小组完成
图一
图二
小组展示要求： 一人主讲 一人指引、补充 二人板书
图三
图四
图五
归纳总结：处理平行线间折线问题，过折点作 平行线 是一种通法；
添加辅助线构造三角形，应用三角形 内角和定理 的定理，
也是一种 转化 的数学思想
例3、已知，AB∥CD,点M、N分别在AB、CD上，点P是一个动点，连 接MP、NP。请探讨∠P与∠AMP、∠CNP之间的关系。
谢谢！
Thank YOU FOR LISTENING
相交线与C和 ∠ACD的数量关系，并说明理由.
作法一：过点C作CE∥AB 作法二：作∠ACE=∠A
归纳总结：添加辅助线的目的构造新的 平行线 或新的 截线 ， 缺线 补 线 或缺 角 补 角
例2、已知：AB∥CD.求 ∠BMP+∠P+∠PND的值
图二：1-3小组完成
中考数学复习指导：相交线和平行线解题技巧总结
相交线和平行线解题技巧总结纵观平行相交线，难倒大家为哪般？“初中几何的线与线，关系可真不一般，相交线、平行线，究竟怎样把人难？三线八角看花眼，还有线转角和角转线。
定理背了一遍又一遍，一做题就看傻眼。
做题慢、证明过程乱，遇见问题该咋办？性质、判定乱，为何总是这么难？！”相交线和平行线，是期中期末考的常客，填空、选择都少不了它，常考的内容主要是性质公理和判定以及平行线的构造，难度虽不算大但陷阱颇多，稍有不慎就会让同学们“阴沟里翻船”。
另外，像邻补角和对顶角、三线八角及平行与垂直，都是以后几何证明的重要工具，需要同学们牢牢掌握。
现在就带大家一起揭开“相交线和平行线”的神秘面纱。
常考模型全掌握，遇到难题也不怕很多同学说，平行线的题目变化多端，纵然我有孙悟空的火眼金睛也看不出它72般变化。
教大家一个绝招：拿到题目先找模型，用模型套路解决平行线问题。
平行线都有哪些模型？让我们一起来看一看：平行线最基础的模型就是一组平行线被第三条直线所截，如图：这种模型很简单，同学们利用平行线的性质、定理就能轻松解决。
做此类模型的时候我们要注意以下几点：1）判断三线八角，先判断两个角的两边所在的直线共有多少条，有4条的话排除掉，3条的话根据角的位置判断出来角的类型。
2）判断对顶角和内错角，要严格根据定义来判断。
3）平行线的性质是由线推角的关系，平行线的判定是由角推线的关系。
除了基础模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：很多同学遇到这种模型就凌乱了，不知道从何下手。
只要是平行线间夹折线的模型，一般在折点处做平行线，进而把线的关系转换成角的关系。
如图：通过折点做辅助线将线的关系转换成角的关系后，此类复杂模型就变得简单多了。
同学们还要记住这类模型的特点：•平行线间夹折线凹进去的模型（1），中间角等于两个边角的和，即∠BOD=∠B+∠D。
•平行线间夹折线突出来的模型（2），中间角加两个边角等于360度，即∠BOD+∠B+∠D=360°再次提醒同学们，解题步骤非常重要，尤其是证明题的过程，都是大家经常丢分的地方。