离散系统理论
离散控制系统的最优控制理论
离散控制系统的最优控制理论离散控制系统的最优控制理论是控制工程领域中的一个重要研究方向。
离散控制系统是指在时间上只能在特定时间点进行操作的系统，相比连续控制系统，离散控制系统需要使用离散时间模型进行建模和控制设计。
最优控制理论是研究如何设计控制策略以使系统能够在某种指标下达到最优性能的一门学科。
离散控制系统的最优控制理论旨在寻找最优的控制策略，使得系统的性能指标如稳定性、响应速度、能耗等在给定约束条件下达到最优。
1. 离散控制系统的建模离散控制系统的建模是进行最优控制设计的基础。
在离散控制系统中，系统的状态在一系列离散时间点上进行更新。
离散控制系统的建模通常使用差分方程或状态空间模型。
差分方程描述了系统的状态在每个时间点的更新关系，而状态空间模型则将系统的状态和输入表示为向量，并使用矩阵形式描述系统的动态特性。
根据具体问题的需要，选择合适的建模方法可以更好地描述系统的动态行为。
2. 离散控制系统的性能指标离散控制系统的性能指标是评价系统控制性能的定量指标。
常见的性能指标包括稳定性、响应速度、能耗等。
稳定性是系统重要的性能指标之一，用于评估系统是否能够在有限时间内达到稳定状态。
响应速度是指系统对输入变化的快速响应能力。
能耗则是指系统在完成特定任务时所消耗的能源。
通过选取合适的性能指标，可以更好地评估和改进离散控制系统的性能。
3. 最优控制理论的基本原理最优控制理论的基本原理是寻找一组最优控制策略，使得系统的性能指标达到最优。
最优控制问题通常可以通过数学方法建立为一个优化问题。
其中，最常见的方法是最小化或最大化一个性能指标的数学表达式。
为了求解这些优化问题，可以使用动态规划、最优化理论等数学工具。
最优控制理论提供了一种系统优化设计的方法，可以帮助工程师设计更优秀的控制策略。
4. 最优控制策略的设计方法最优控制策略的设计方法取决于具体的离散控制系统和性能指标。
常见的设计方法包括经典控制方法和现代控制方法。
线性离散哈密顿系统谱理论
线性离散哈密顿系统谱理论自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来，Hamilton原理已经成为现代物理的基石。
Hamilton原理描述的是一切真实的，耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统。
由于Hamilton系统的广泛应用，因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰。
线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义，而且是解决实际问题的工具。
例如，Schr(?)dinger方程是量子力学的基本方程。
量子力学中，粒子的行为可由Schr(?)dinger方程的波函数来描述，它的能量对应着Schr(?)dinger算子的谱。
其中，孤立点谱对应着粒子的能量级，它解释了粒子由一个能量级向另一个能量级跃迁的现象。
这种现象是经典力学无法解释的，而连续谱与粒子的分布有密切关系。
Schr(?)dinger方程就是Hamilton系统的特殊形式。
连续Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1，2]及其参考文献)，它的谱理论也已被集中而深入地研究。
连续线性Hamilton系统的谱问题可分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题；否则，称之为奇异谱问题。
对于正则谱问题，已取得了许多很好的成果(见[3-11，13])。
奇异系统谱问题研究相当困难，这是因为奇异微分算子不但有点谱，还有连续谱等，已不能单纯利用处理有界算子谱问题的方法进行研究。
1910年，H．Weyl 开创了二阶奇异形式自伴微分算子谱理论(奇异Sturm-Liouville理论)的研究[14]。
此后不久，奇异Sturm-Liouville理论就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段之一，从而引起了数学界与物理学界的关注。
许多知名学者，如Titchmarsh，Coddington，Levinson，Weidmann，Hinton，Krall 等，将H．Weyl的工作进一步深化并推广到线性Hamilton系统(见[3，4，6，15-37]及其参考文献)。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
离散系统控制理论
y (k 3) y 2 (k ) x(k )
13
微分方程描述的差分化
dy(t ) 求微分方程 y (t ) Kx(t ) 等价的差分方程 dt
设系统输入在一个采样周期内保持不变，则 x (t ) x(kT ) kT t (k 1)T
dy (t ) y (t ) Kx(kT ) dt
y(k 1)T y( kT ) Kx(kT )e
T
C y(kT ) Kx(kT )
Kx(kT )
T
微分方程对应的等价差分方程为 y(k 1)T e
y (kT ) K (1 e
) x(kT )
14
差分方程的递推解法
y (k ) 2 y ( k 1) u (k ) u ( k 1)
f (k ) 1, k 0
F ( z)
f (kT ) z
k 0
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f ( kT ) z k
1 z
1
z
2
，
Z [1(t )]
1 1 z 1
z z 1
f (kT ) e akT k 0,1,2,
i 0
1
z
k m
f (kT ) z
k
z
mLeabharlann i0f (iT ) z i
1
z m [
k m
f (kT ) z k F ( z )]
Z [ f (t mT )] z m F ( z )
21
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
连续系统与离散系统的概念
连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。
连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。
而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。
首先，我们来详细介绍连续系统。
连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。
连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。
线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。
而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。
连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。
传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。
接下来，我们来介绍离散系统。
离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。
离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。
离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。
离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。
在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。
连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。
而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。
此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。
数学的动力系统分支
数学的动力系统分支动力系统是数学中一个重要的研究领域，它涉及到研究对象在时间上的演化规律，以及相应的数学模型和解析方法。
在这个广泛的领域中，有几个重要的分支，包括离散动力系统、连续动力系统、混沌理论等等。
1. 离散动力系统离散动力系统研究的是在离散时间点上的演化规律。
离散动力系统常常由递推关系或差分方程来描述。
其中，最经典的例子是著名的斐波那契数列。
斐波那契数列是由以下递推关系定义的：F(0) = 0, F(1) = 1,F(n) = F(n−1) + F(n−2), n ≥ 2.这个递推关系描述了每一项等于前两项之和，从而得到一系列的数列。
离散动力系统的研究不仅仅局限于数列，还包括其他各种递推关系和差分方程。
2. 连续动力系统与离散动力系统相对应的是连续动力系统。
连续动力系统研究的是在连续时间上的演化规律。
连续动力系统的数学模型常常是由微分方程来描述的，例如常见的一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y).这个方程描述了函数y(x)在变量x变化的过程中的演化规律。
连续动力系统可以描述许多自然界中的现象，如弹簧振子、电路的响应等。
3. 混沌理论混沌理论是动力系统研究中一个非常重要的分支，它研究的是具有确定性而表现出不可预测行为的系统。
混沌系统的演化非常敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
一个著名的混沌系统是洛伦兹系统。
这个系统由以下三个非线性微分方程组成：dx/dt = σ(y - x),dy/dt = x(ρ - z) - y,dz/dt = xy - βz.洛伦兹系统的解轨迹表现出奇妙的“蝴蝶效应”，即在相空间中形成复杂的混沌结构。
混沌系统的研究不仅仅限于数学领域，它对于理解自然界中的许多现象，如天气预报、流体力学等，都有着重要的应用。
总结：动力系统作为数学中一个重要的研究领域，涉及到研究对象在时间上的演化规律，以及相应的数学模型和解析方法。
离散动力系统研究的是离散时间点上的演化规律，常常由递推关系或差分方程来描述；连续动力系统研究的是连续时间上的演化规律，常常由微分方程来描述；混沌理论研究的是具有确定性而表现出不可预测行为的系统。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散控制系统的基本概念
自动控制原理
注：在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制 系统，将它们统称为离散系统。 这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与校正在理论上统一。
1.1 采样控制系统
一般来说，采样控制系统是对传感器所采集的连续信号在某些规定的时间 上取值，然后通过对这些值的比较、计算和输出，来达到控制目标的系统。 采样控制系统结构构成：主要由采样器、为连续信号的过程称为信号复现。实
现复现过程的装置称为保持器。
最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲序列 e(t) 复现为阶梯信号 eh (t) 如图1-3所示。
图1-3 信号复现过程
1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。其原理方框图如图1-4所示。
图1-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
1.A/D转换器
A/D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。A/D转换包括 采样过程和量化过程。
采样过程 是每隔 T秒对连续信号 e(t) 进行一次采样，得到采样信号e(t)。
自动控制原理
离散控制系统的基本概念
1.连续系统：如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，也就 是说，这些信号在全部时间上都是已知的，则这样的系统称为 连续时间系统，简称连续系统。
2.离散系统：如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码，则这样 的系统称为离散时间系统，简称离散系统。
➢ 包括 采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统， 称为采样控制系统或脉冲控制系统。 ➢ 数字控制系统：把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系 统或计算机控制系统。
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8.2 信号的采样与保持
♣ 8.2.1 采样过程与采样定理 8.2.2 8.1 8.3 8.4 8.5 8.6 采样过程 数学描述： 数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采 样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。 样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。
e(t) e(t) S t
∞
e*(t) e*(t) t
e*(t) e*(t) t
零阶保持器
eh(t) eh(t) t
零阶保持器的数学表达式为e(nT+△t)=e(nT)； 其脉冲响应 △ 零阶保持器的数学表达式为 ； 为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为 ， 1 e −Ts 1 − e −Ts Gh ( s) = L[ gh (t )] = − = s s s
t (a)连续信号 连续信号
(b)离散信号 离散信号
t
2. 定性分析 如果连续信号 )变化缓慢（ 连续信号e( 如果连续信号 (t)变化缓慢（最大角频率ωmax较低〕，而采样 较低〕 角频率ωs比较高（即采样周期T=2π/ωs较小〕，则e*(t)基本上能反 较高（即采样周期T=2π 较小〕 基本上能反 T=2 的变化规律。 映e(t)的变化规律。 3. 采样定理（香农定理） 采样定理（香农定理） 如果采样器的输入信号最高角频率为ω 如果采样器的输入信号最高角频率为 max，则只有当采样频率 ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。 才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。 才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号
∞
E ( Z ) = ∑ nT ⋅ z − n
z = z−1
n= 0
∞
1 z (| z |> 1) = −1 z −1 1− z
∑z
n=0
∞
−n
Байду номын сангаас
∑ ( − n ) z − n −1 =
n= 0
∞
−1 ( z − 1) 2
两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换 ，得单位斜坡信号的 变换 两边同乘
∑ nT ⋅ z
1 ( 7 ) 设E ( s ) = , e ∗ ( t )的z变换 : s( s + 1)
进行部分分式展开， 进行部分分式展开，有
1 1 1 E ( s) = = − s( s + 1) s s + 1 再取拉氏反变换
1 1 e( t ) = L [ − ] = 1( t ) − e − t s s+1
z 1 (| z |> 1) = −1 z −1 1− z
(3) 单位理想脉冲序列 e(t)=δT(t) 单位理想脉冲序列
E ( z ) = ∑ δ T ( nT ) z − n = 1 + z -1 + z - 2 + K =
n=0
(4) 单位斜坡信号 e(t)=t，则 ， 单位斜坡信号 斜坡 对比(2)中结果， 对比 中结果，有 中结果 两端对z求导数，得 两端对 求导数， 求导数
t
(a) 连续信号
r(t) _ e(t) e*(t) A/D
t
(b) 离散信号
数字控制器 数字计算机 u*(t) D/A uh(t)
t
(c) 离散量化信号
被控对象 c(t)
测量元件 计算机控制系统典型原理图
离散控制系统的特点
1. 校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实 校正装置效果比连续式校正装置好， 现的控制规律易于改变，控制灵活。 现的控制规律易于改变，控制灵活。 2. 采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制 采样信号， 噪声，从而提高系统抗干扰能力。 噪声，从而提高系统抗干扰能力。 3. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备 可用一台计算机分时控制若干个系统， 利用率。 利用率。 4. 可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变 可实现复杂控制规律， 响应参数。 响应参数。
−1
参照(2)和 得 参照 和(5),得
z z E ( z ) = Z [1( t ) − e ] = − z − 1 z − e −T z (1 − e −T ) = ( z − 1)( z − e −T )
−t
4. Z变换的性质
8.3.1
8.3.2
(1) 线性定理 线性定理 为常数， 若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 ， ， 为常数 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z) ， (2) 实数位移定理 实数位移定理 若 E(z)=Z[e(t)]， ， k −1 k 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z [ E ( z ) − ∑ e( nT ) z − n ] n= 0 例8.2 已知e(t)=1( -T),求Z变换 (z)。 已知 ( )=1(t- ),求 变换E( ) )=1( ), 变换 z 1 Z [1( t − T )] = z − 1 ⋅ z [1( t )] = z − 1 ⋅ = 解： z −1 z −1 (3) 复数位移定理 复数位移定理 已知e 的 变换为 变换为E(z) ，则有 已知 (t)的Z变换为 Z[e(t)⋅ e m at ]=E(z ⋅e ±aT) ⋅ 已知e( )= )=t 变换E( ) 例8.3 已知 (t)= ⋅e-at,求Z变换 (z)。 变换 已知单位斜坡信号的z变换为 解：已知单位斜坡信号的 变换为 Z [ t ] = 根据复数位移定理， 根据复数位移定理，有 Z [ t ⋅ e
E (z) =
∑ e ( nT ) z
n=0
∞
−n
=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…
n=0
即为Z变换的定义式。 即为 变换的定义式。 变换的定义式 变换, 称E(z)为e*(t)的Z变换 记作 Z[e*(t)]=E(z), 或 Z[e(t)]=E(z) 为 的 变换 Z变换方法 2. Z变换方法 (1) 级数求和法 变换的定义式展开： 将Z变换的定义式展开： 变换的定义式展开 E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+…+ e(nT)z-n+… 对于常用函数Z变换的级数形式 都可以写出其闭合形式。 变换的级数形式， 对于常用函数 变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。 (2) 部分分式法 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 的拉氏变换E ； ① 先求出已知连续时间函数 的拉氏变换 (s)； 展开成部分分式之和的形式； ② 将E (s)展开成部分分式之和的形式； 展开成部分分式之和的形式 求拉氏反变换，再求Z变换 变换E(z)。 ③ 求拉氏反变换，再求 变换 。
第八章 离散系统理论
8.1 离散系统的基本概念 8.2 信号的采样与保持 8.3 Z变换与Z反变换 变换与Z 8.4 离散系统的数学模型 8.5 稳定性与稳态误差 8.6 离散系统的动态性能分析 本章作业
End
8.1 离散系统的基本概念
有关概念
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信 .离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号， 号以脉冲或数码的形式呈现。 号以脉冲或数码的形式呈现。 2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下： 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：
(e −e )⋅ z
2j
利用(*)、 利用 、(**)式，有 式
∞ 1 ∞ jωnT − n [∑ ( e = ⋅ z ) − ∑ (e − jωnT ⋅ z − n )] 2 j n= 0 n= 0
1 z z 1 z(e jωT − e − jωT ) E(z) = [ ]= [ 2 ] − jωT jωT − jωT − jωT 2j z−e 2 j z − z (e z−e )+1 +e z ⋅ sin ωT = 2 z − 2 z cos ωT + 1
♣8.2.2 信号复现及零阶保持器 信号复现
8.2.1
将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装 置称为保持器或复现滤波器。 置称为保持器或复现滤波器。 零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。
e*(t)=e(t)δT(t), 其中δ T ( t ) = ∑ δ ( t − nT ) 为理想单位脉冲序列。则： 为理想单位脉冲序列。 ∞ ∞ n= 0 * * − nTs * e ( t ) = ∑ e( nT )δ ( t − nT )对上式取拉氏变换 得 E ( s) = L[e (t )] = ∑ e(nT )e 对上式取拉氏变换,得 ∞ n= 0 n= 0 anT ∗ at,试写出 *(t)表达式。 解： ( t ) = e 例8.1 e(t)=e 试写出e 表达式。 试写出 表达式 ∑0 e ⋅ δ ( t − nT ) n= 物理意义： 物理意义：可看成是单位理 被输入信号e(t)进 想脉冲串δT (t) 被输入信号 进 行调制的过程，如右图所示。 行调制的过程，如右图所示。 在图中， 在图中，δT(t)为载波信 为调制信号； 号；e(t)为调制信号； e*(t) 为理想输出脉冲序列。 为理想输出脉冲序列。
采样定理 ---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 设计控制系统必须严格遵守的一条准则 1. 问题的提出 连续信号e( )经过采样后，只能给出采样点上的数值， 连续信号 (t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知 道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e( ) 道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了 (t)所含 的信息。 的信息。 怎样才能使采样信号e 大体上反映e(t)的变化规律呢 大体上反映 的变化规律呢？ 怎样才能使采样信号 *(t)大体上反映 的变化规律呢？