小学数学培优之 进制的计算
小学六年级数学竞赛讲座第4讲进位制与位值原理
第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。
N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。
十进制化n进制：倒取余数法。
n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。
特别地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。
（1）把下列各数转化为十进制数。
(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)例1．(463)8= ；(2BA)12= ；(5FC)16= .（2）(1001101010111100)2=( )4=( )8=( )16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。
解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5= ，(251)6+(434)6= ；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=( )2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=( )8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2= (11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。
数字的进制帮助小学生理解不同进制的数字表示方法
数字的进制帮助小学生理解不同进制的数字表示方法数字的进制是数学中的一个重要概念，对于小学生来说，理解不同进制的数字表示方法有助于提高他们的数学思维能力和解题能力。
在这篇文章中，我将向大家介绍数字的进制及其与小学生数学学习的关系，并提供一些实践建议，帮助小学生更好地理解不同进制下的数字。
一、进制的概念及基本原理进制是一种表示数字的方式，常见的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
这里以十进制和二进制为例来介绍进制的基本原理。
1. 十进制：十进制是我们最常用的进制，它使用了0-9这十个数字，每一位上的数字的权值是10的幂次方。
如数字1234，它表示1个千位数、2个百位数、3个十位数和4个个位数。
2. 二进制：二进制是计算机中最基本的进制，它只使用了0和1这两个数字，每一位上的数字的权值是2的幂次方。
如数字1011，它表示1个八位数、0个四位数、1个二位数和1个个位数。
通过比较十进制和二进制的表示方法，可以发现不同进制的数字在表示上有一些差异，而理解这些差异有助于小学生更好地掌握进制的概念。
二、为小学生理解进制提供的实践建议为了帮助小学生更好地理解不同进制的数字表示方法，以下是几个实践建议：1. 制作进制转换工具：可以帮助小学生制作一个进制转换的工具，包括十进制到二进制的转换和二进制到十进制的转换。
通过使用这样的工具，小学生可以通过实际操作来深入理解进制的概念和转换过程。
2. 利用进制游戏进行学习：在教学中可以设计一些有趣的进制游戏，让小学生通过游戏的方式来学习进制。
例如，通过将不同进制的数字进行排序、猜数字等游戏，可以提高小学生对进制的敏感度和理解能力。
3. 制作进制画板：可以利用纸板或者白板制作一个进制画板，将不同进制的数字用不同颜色的标签进行标记。
通过移动标签和观察数字的变化，小学生可以更直观地理解不同进制之间的联系。
以上建议旨在通过实践操作和游戏学习的方式帮助小学生更好地理解不同进制的数字表示方法，提高他们的数学学习兴趣和成绩。
六年级上册数学讲义小升初培优第02讲取整和二进制解析版全国通用
第二讲取整和二进制1、学会取整数和取小数的表示方法；2、了解二进制的运用；3、培养学员在寻找正确解题方法的同时，不断地开拓解题思路。
掌握取整符号“[ ]”与取小数部分符号“{ }”的定义和基本性质。
一般说来，任何一个二进位制数，就是各位数码与2的幂次方的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1。
二进制数改写成十进制数，只需将二进制数改写成各个数位上的数码与计数单位的积的和的形式，然后再计算出来就可以了。
二进制加减法与十进制加减法相似，区别在于十进制“满十进一”“借一当十”，二进制是“满二进一”“借一当二”。
二进制乘法：1乘任何数仍得原数，0乘任何数都得零。
二进制除法也有能整除和不能整除两种情况。
取整数部分和取小数部分计算：2525[27]{27}[3.14]{3.14}2626⨯-⨯+⨯【解析】2525[27]{27}[3.14]{3.14}26262525[25]{25}30.142626252530.142614924325⨯-⨯+⨯=-+⨯=-+⨯=把（173）10转换为二进制数。
【解析】十进制数转化成二进制数，将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可。
173÷2＝86...1；86÷2＝43...0；43÷2＝21...1；21÷2＝10...1；10÷2＝5...0；5÷2＝2...1；2÷2＝1...0；1÷2＝0 (1)故（173）10＝（10101101）2。
讲演者：得分：讲演者：得分：计算（结果用π表示）：（1）{{π}＋π}＋{[π]＋π}＋[{π}＋π]＋[[π]＋π]；（2）[10－2π]＋[π]×{π}。
【解析】由于[π]＝3，{π}＝π－3，将这两个算式代入计算即可。
解答：（1）3π；（2）3π－6。
计算：23123223392340[][]...[][]41414141⨯⨯⨯⨯++++【解析】我们将式子首位配对，231234023123402312340[][]({}{})23122414141414141⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+-+=-=。
进制的计算方法
进制的计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊进制的计算方法。
进制这玩意儿啊，就像是一个神秘的魔法盒子，打开它，你就能看到一个奇妙的数字世界。
咱先从常见的十进制说起吧。
十进制咱都太熟悉啦，满十就进一位，就像我们数手指头，数到十就得换个新的开始数啦。
这多简单易懂呀！那二进制呢？二进制可就有点特别咯！只有 0 和 1 两个数字。
你想想，这不就像是开关嘛，要么开，要么关。
在计算机的世界里，二进制可是大功臣呢！计算机就靠它来处理各种信息。
那二进制怎么计算呢？比如说 101 这个二进制数，从右往左，第一位的 1 就代表 1，第二位的 0 就代表 0，第三位的 1 就代表 2 的平方，也就是 4 呀，那加起来不就是 5 嘛！是不是挺有意思的？还有八进制呢！八进制就是满八进一位。
这就好比你有八个口袋，装满了就得换个大口袋装啦。
再说说十六进制。
哇，十六进制可就更复杂一些啦，但别怕呀！十六进制里除了数字 0 到 9，还有 A 到 F 来表示 10 到 15 呢。
进制之间还能互相转换呢！就像你能把中文翻译成英文，英文再翻译回中文一样。
比如说把十进制的10 转换成二进制，那就是1010 啦。
进制的世界是不是很神奇呀？它就像是一个数字的大迷宫，你得找到正确的路径才能走出去。
这就像是我们在生活中遇到困难，得找到合适的方法去解决一样。
进制的应用可广泛啦！不光是计算机，在很多科学领域都有它的身影呢。
它就像一把万能钥匙，能打开很多知识的大门。
咱再想想，进制是不是也像人生呀，有不同的阶段，每个阶段都有它独特的意义和价值。
我们得学会在不同的进制中切换，才能更好地适应这个世界。
所以呀，进制的计算方法可别小瞧哦！它能让我们看到数字背后的奇妙世界，也能让我们在学习和生活中变得更加聪明、更加灵活。
怎么样，是不是对进制有了新的认识和理解呢？赶紧去探索一下进制的奥秘吧！。
数字的进制小学数学中的二进制八进制与十六进制
数字的进制小学数学中的二进制八进制与十六进制数字的进制——小学数学中的二进制、八进制与十六进制数字的进制是数学中一个非常重要的概念。
在小学数学教学中，除了常用的十进制之外，还有其他进制数的概念，如二进制、八进制和十六进制。
本文将介绍这三种进制数的基本概念、表示方法及其在计算机领域的应用。
一、二进制的概念二进制是一种基础的计数系统，使用的数字只有0和1。
在二进制中，每一位数字的权值是2的幂次方，从右至左依次增加。
例如，二进制数1101表示为(1 × 2^3) + (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (1 × 2^0) = 13。
二、八进制的概念八进制是一种计数系统，使用的数字有0-7共八个。
在八进制中，每一位数字的权值是8的幂次方，从右至左依次增加。
例如，八进制数725表示为(7 × 8^2) + (2 × 8^1) + (5 × 8^0) = 469。
三、十六进制的概念十六进制是一种计数系统，使用的数字有0-9十个和A-F六个，共十六个。
在十六进制中，每一位数字的权值是16的幂次方，从右至左依次增加。
例如，十六进制数A5B表示为(10 × 16^2) + (5 × 16^1) + (11 × 16^0) = 2643。
四、进制间的转换方法在小学数学中，了解不同进制的转换方法有助于提升学生的数学运算能力。
下面将介绍二进制、八进制和十六进制之间的转换方法。
1. 二进制转换为十进制：按权展开法，将每一位数字的权重相加即可得到十进制数。
2. 十进制转换为二进制：将十进制数逐步除以2，得到的余数从下往上组成二进制数。
3. 八进制转换为十进制：按权展开法，将每一位数字的权重相加即可得到十进制数。
4. 十进制转换为八进制：将十进制数逐步除以8，得到的余数从下往上组成八进制数。
5. 十六进制转换为十进制：按权展开法，将每一位数字的权重相加即可得到十进制数。
小学奥数—进制的应用
5-8-2.进制的应用.题库
学生版
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【巩固】在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求除以 7 的余数为多少？
【例 12】 试求 22006 1 除以 992 的余数是多少? 10
【例 13】 计算 (22003 1) 除以 7 的余数． 【例 14】 计算 (32003 1) 除以 26 的余数．
【巩固】现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码各 1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【例 2】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快 满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把 茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼 里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。 于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。你能 解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？
左数起）上的数字，剩下 5000 个数字;第二轮再去掉这 5000 个数字中奇数位置上的数字，剩下 2500
个;第三轮，……;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是__ ,这时已经操作了
轮。
【例 9】 10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为 _________克。
计数单位分别是 1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为： (100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
小学奥数教程之-进制的应用
1. 了解进制；2. 会对进制进行相应的转换；3. 能够运用进制进行解题一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：知识点拨教学目标5-8-2.进制的应用一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、进制在生活中的运用【例1】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。
小学4年级暑假奥数：进制问题-讲义-教师
第12讲 进制问题【学习目标】1、学习二进制、八进制与十六进制；2、会进制的计算与转换。
【知识梳理】1、十进制：低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，故称十进制；2、二进制：低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一 ”，故称二进制；3、八进制：低位和相邻高位之间的关系是“逢八进一”，故称八进制；4、十六进制：低位和相邻高位之间的关系是“逢十六进一”，故称十六进制。
十六个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(表示10)、B(表示11)、C(表示12)、D(表示13)、E(表示14)、F(表示15)。
【典例精析】【例1】把十进制数38改写成二进制数。
）（）（21010011038=【趁热打铁-1】把十进制数12改写成二进制数。
）（）（210110012=【例2】把十进制数512改成8进制数。
）（）（8101000512=【趁热打铁-2】把十进制数202改成8进制数。
）（）（810312202=【例3】把十进制数202改成16进制数。
）（）（1610202CA =【趁热打铁-3】把十进制数512改成16进制数。
）（）（1610200512=【例4】把二进制数()2110改写成十进制数。
）（）（1026110=【趁热打铁-4】把二进制数()211011改写成十进制数。
）（）（1022711011=【例5】把二进制数()2110改写成八进制数。
）（）（826110=【趁热打铁-5】把二进制数()211011改写成八进制数。
）（）（823311011=【例6】计算()()22101111+。
()()22101111+=()21110【趁热打铁-6】计算()()22101101101+。
()()22101101101+=()2110010【例7】计算()()22110111⨯。
()()22110111⨯=()2100111【趁热打铁-7】计算()()2211001101⨯。
()()2211001101⨯=()21111101【例8】计算()()221111101÷。
进制算术运算方法
二进制与其它进制的转换和运算，应该说是计算机类的考试，逢试必考，这里总结一下知识点。
二进制运算原理，大家都知道，不外乎，除2取余和乘2取整。
这种费时、费力的方法，这里就不说了。
考试讲究的时间，所以要找些简便的方法，必要时还是要记一下“二进制的变化形”，做到一看二进制数就知道其的十进制是多少，形成条件反射，就和我们打五笔一样，不需要再默诵字根了。
一、多种进制之间换算、比较和运算的顺序和原则1、先比较整数部分，再比较小数部分；2、“八进制”、“十六进制”，都转换成“二进制”进行比较大小；3、再将其中最大数由“二进制”转换成“十进制”数与剩下的“十进制”数比较大小；二、整数部分的二进制转换成十进制每4位为一组，每组有不同权值，从左至右为，“212、28、24、20”或“4096、256、16、1”，“n”为每组二进制的十进制值。
我这么说你可能些糊涂，看看下面的两个例子，就明白了。
其简便之处，在于只需记住“15 - 0”的二进制是多少就可以了。
1111 1111 11111111（4096×n） + （256×n） + （16×n） + （1×n）（212×n） + （28×n） + （24×n） + （20×n）如：十六进制数“5E”的十进制数是多少？答：940101 11105×16 + 14×1 = 94如：二进制数“0101 1100 0110”的十进制数是多少？答：14780101 1100 01105×256 + 12×16 + 6×1 = 1478三、小数部分的二进制转换成十进制，需要记忆小数位后六位的二进制数。
指数分数二进制十进制2-11/21.1 .52-21/22.01 .252-31/23.001 .1252-41/24.0625.00012-51/25.0000 1 .031252-61/26.0000 01 .015625如：二进制小数“.01011”转换成十进制小数为多少？答：“0.34375”二进制数：0101 10.25 + 0.0625 + 0.03125 = 0.34375四、二进制的分组，每四位分一组，和十六进制相统一，便于计算。
进制计算方法
进制计算方法进制是数学中非常重要的概念，它是指数的计数方式，常见的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制。
在计算机科学和信息技术领域中，进制的转换和计算是必不可少的基础知识。
本文将介绍不同进制的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握进制的转换和运算。
首先，我们来介绍二进制。
二进制是计算机中最基本的进制，它由0和1两个数字组成。
在二进制中，每一位的权值是2的幂次方，从右向左依次为2^0、2^1、2^2……例如，二进制数1011转换为十进制的计算方法是，12^3 + 02^2 + 12^1 + 12^0 = 11。
在实际计算中，可以利用这个公式将二进制数转换为十进制数。
其次，我们来看八进制。
八进制由0至7这八个数字组成，每一位的权值是8的幂次方，计算方法与二进制类似。
例如，八进制数37转换为十进制的计算方法是，38^1 + 78^0 = 31。
同样地，可以利用这个公式将八进制数转换为十进制数。
接着，我们介绍十六进制。
十六进制由0至9和A至F这十六个数字组成，其中A表示10，B表示11，依次类推，F表示15。
每一位的权值是16的幂次方，计算方法与二进制和八进制类似。
例如，十六进制数2A转换为十进制的计算方法是，216^1 + 1016^0 = 42。
同样地，可以利用这个公式将十六进制数转换为十进制数。
最后，我们来讨论进制之间的转换。
在实际应用中，经常需要将不同进制的数相互转换。
以二进制和八进制为例，将二进制数转换为八进制数的方法是，先将二进制数每三位一组分割，不足三位的在左边补0，然后按照八进制数的对应关系将每组二进制数转换为八进制数。
将八进制数转换为二进制数的方法是，将八进制数的每一位转换为对应的三位二进制数，然后将所有三位二进制数连接起来。
类似地，将二进制和十六进制、八进制和十六进制之间的转换也可以采用类似的方法。
综上所述，进制计算方法是数学中的重要知识，掌握好进制的转换和计算对于理解计算机科学和信息技术至关重要。
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1. 了解进制；
2. 会将十进制数转换成多进制；
3.
会将多进制转换成十进制；
4. 会多进制的混合计算；
5. 能够判断进制.
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：
一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，
，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）
十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；
二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=++
+； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数
如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.k 进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
知识点拨
教学目标
5-8-1.进制的计算
按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k
进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
模块一、十进制化成多进制
【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【巩固】 852567(((=== ） ） ）；
模块二、多进制转化成十进制
【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
【例 3】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准。
模块三、多进制转化成多进制
【例 4】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
十进制 二进制
十六进制
八进制
例题精讲
【例 5】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【例 6】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几?
模块四、多进制混合计算
【例 7】 ① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；
② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；
③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；
【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；
②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．
【例 8】 计算4710(3021)(605)()+=
；
模块五、多进制的判断
【例 9】 若(1030)140n =，则n =________．
【例 10】 在几进制中有413100⨯=？
【例11】在几进制中有12512516324
⨯=？【巩固】算式153********
⨯=是几进制数的乘法？。