单质点地震作用计算的计算方法
《工程结构荷载及可靠度设计》课程笔记
《工程结构荷载及可靠度设计》课程笔记第一章：荷载类型1.1 荷载与作用荷载是指作用在结构上的各种力，它们可以导致结构的变形、位移或破坏。
荷载通常分为两类：直接作用和间接作用。
1. 直接作用：指直接施加在结构上的力，如人的重量、家具、车辆等。
这些力可以直接作用在结构的某个部分，导致该部分产生应力、应变和变形。
2. 间接作用：指不是直接施加在结构上的力，但会通过结构的一部分传递到另一部分，如温度变化、地震等。
这些力不会直接导致结构产生应力，但会通过结构的变形和位移产生影响。
1.2 作用的分类荷载作用可以分为以下几类：1. 恒载：指在结构使用过程中始终存在的荷载，如结构自重、固定设备等。
恒载的大小和作用点一般不会发生变化。
2. 活载：指在结构使用过程中可能变化的荷载，如人的活动、车辆的行驶等。
活载的大小和作用点可能会随着时间发生变化。
3.偶然荷载：指在结构使用过程中可能发生，但发生概率较小的荷载，如意外事故、爆炸等。
偶然荷载的大小和作用点通常难以预测。
4.地震作用：指地震时地面的震动对结构产生的影响。
地震作用是一种特殊的偶然荷载，其大小和作用点取决于地震的强度和震中距离。
5.风荷载：指风对结构产生的影响。
风荷载的大小和作用点取决于风速、风向和地形等因素。
6.温度作用：指温度变化对结构产生的影响。
温度作用可能导致结构产生膨胀或收缩，从而产生应力、应变和变形。
7.变形作用：指由于地基沉降、结构老化等原因导致结构产生的变形。
变形作用可能会导致结构的应力、应变和位移发生变化。
8.爆炸作用：指由于爆炸事故对结构产生的影响。
爆炸作用通常会导致结构产生局部破坏或整体破坏。
9.浮力作用：指由于水的浮力对结构产生的影响。
浮力作用通常发生在水下结构或浮体结构中。
10.制动力、牵引力与冲击力：指由于车辆行驶、机械运动等原因对结构产生的影响。
这些力可能会导致结构产生振动、噪声和疲劳损伤。
11.预加力：指在施工过程中预先施加在结构上的力，如预应力混凝土结构中的预应力钢筋。
建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
2
max
1
Tg
2021/3/7
结构抗震设计
16
设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
2021/3/7
结构抗震设计
21
一、多质点和多自由度体系
15
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
《建筑结构抗震》课程标准
《建筑结构抗震》课程标准1.课程说明《建筑结构抗震》课程标准课程编码：23010019承担单位：建筑工程学院制定：制定日期〔2022.10.08〕审核〔建筑工程学院专业指导委员会〕审核日期〔2022.10.23〕批准〔〕批准日期〔2022.10.23〕（1）课程性质：本门课程是建筑工程工程技术专业的必修课。
（2）课程任务：主要针对施工员、质检员及安全员等岗位开设，主要任务是培养学生在相关岗位上的关于一般工业与民用建筑结构抗震的方法；能领会结构设计意图，正确处理施工及工程管理中常见的结构抗震问题，通过实践环节培养学生的工程实践能力和创新能力，并为后继专业课提供材料的基础知识和理论。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《建筑力学》、《建筑构造》、《钢筋混凝土结构》、《钢结构》、《土力学与地基基础工程》；后续课程有《质量事故分析》、《工程监理》和《毕业综合实训》。
2.学习目标通过学习本课程，使学生掌握房屋结构抗震的基本知识，从而初步具备懂得一般工业与民用建筑结构抗震的方法；能领会结构设计意图，正确处理施工及工程管理中常见的结构抗震问题。
通过实践环节培养学生的工程实践能力和创新能力，并为工作提供结构抗震的基础知识和理论。
引导学生积极思考、乐于实践,注重学生德智体全面发展；培养学生发现、分析和解决问题的基本能力及团队协作精神和创新能力。
本课程要求学生通过对场地土、场地类别划分、抗液化措施与地基基础抗震验算方法的学习，使学生具备对天然地基与桩基础进行抗震验算的能力，并且能用计算简图和计算书来表达验算过程；通过对结构基本周期、地震系数、地震作用效应与“三水准两阶段设计方法”的学习，使学生具有多质点弹性体系水平地震作用计算及结构抗震验算的能力，并且能用计算简图和计算书来表达验算过程；通过对钢筋混土框架结构震害特点、房屋选型、结构布置及抗震验算方法的学习，使学生具备对多层钢筋混凝土框架结构进行抗震设计的能力，并且能用施工图和计算书来表达设计成果；通过对砌体结构震害特点、房屋选型、结构布置、抗震验算方法及抗震构造措施的学习，使学生具有多砌体结构进行抗震设计的能力，并且能用图表和计算书来表达设计成果。
新抗震规范——地震作用和结构抗震验算
5 地震作用和结构抗震验算5.1 一般规定5.1.1各类建筑结构的地震作用，应符合下列规定：1一般情况下，应至少在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。
2有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15°时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。
3质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响；其它情况，应允许采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响。
48、9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用5平面投影尺度很大的空间结构，应视结构形式和支承条件，分别按单点一致、多点、多向或多向多点输入计算地震作用。
注：8、9度时采用隔震设计的建筑结构，应按有关规定计算竖向地震作用。
【说明】本次修订，拟明确大跨空间结构地震作用的计算要求。
1、平面投影尺度很大的空间结构指，跨度大于120m、或长度大于300m、或悬臂大于40m的结构。
2、关于结构形式和支承条件（1）周边支承空间结构，如：网架、单、双层网壳、索穹顶、弦支穹顶屋盖和下部圈梁-框架结构，当下部支承结构为一个整体、且与上部空间结构侧向刚度比大于等于2时，应允许采用三向（水平两向加竖向）单点一致输入计算地震作用；当下部支承结构由结构缝分开、且每个独立的支承结构单元与上部空间结构侧向刚度比小于2时，应采用三向多点输入计算地震作用；（2）两线边支承空间结构，如：拱，拱桁架；门式刚架，门式桁架；圆柱面网壳等结构，当支承于独立基础时，应采用三向多点输入计算地震作用。
（3）长悬臂空间结构，应视其支承结构特点，采用多向单点一致输入、或多向多点输入计算地震作用。
3、关于单点一致输入仅对基础底部输入一致的加速度反应谱或加速度时程进行结构计算。
4、关于多向输入沿空间结构基础底部，三向同时输入，其地震动参数（加速度峰值或反应谱峰值）比例取：水平主向：水平次向：竖向= 1.00：0.85：0.65。
地震作用的计算和抗震验算
17.7.1 地震作用的概念 地震作用——振动过程中作用于建筑结构上的惯性力。 结构的地震反应——结构振动时的速度、加速度及位移等。 各类建筑结构的地震作用，应满足以下要求： 1 一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算 水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由 该方向抗侧力构件承担。 2 有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于 15 °时，应分 别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。 3 质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震 作用下的扭转影响；其他情况，应允许采用调整地震作用效 应的方法计入扭转影响。 4 8、9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计 算竖向地震作用；
1
17.7.2 单质点体系的地震作用
１.计算简图 单自由度弹性体系：
将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆 支承于地面形成单质点体系，当该体系只作单向振动时，就形成了 一个单自由度体系。如等高单层厂房、水塔等
单质点弹性体系计算简图 （a）单层厂房及简化体系；（b）水塔及简化体系
2
17.7.2 单质点体系的地震作用
地震作用下的质点位移分析
将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应
上式为杜哈默积分，它与通解之和就是微分方程的全解。即
8
17.7.2 单质点体系的地震作用
由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为
最大位 移反应
质点相对于地面的速度为
质点相对于地面的最大速度反应为
9
17.7.2 单质点体系的地震作用
由上式可见，结构的自振周期与其质量和刚度的大小有关。质 量越大，则其周期就越长，而刚度越大，则其周期就越短。
单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同
单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同刘十一050880，易坤涛050881，王超维050882，刘超050883地壳板块在地幔热对流作用下发生缓慢漂移，由于板块之间的碰撞和积压，地壳内部的应力不断累积。
当应力到达一定程度时，就会发生断裂，形成地震。
我国处在环太平洋地震带和喜马拉雅地震带的交汇处，为地震多发国家。
建筑抗震研究在我国有重要实际意义。
地震波分为体波和面波。
体波在地球内部传播，分为横波（S ）和纵波（P ）两种。
纵波为压缩波，传播速度与拉伸弹性模量有关，对地表建筑的作用主要是垂直方向。
横波为剪切波，传播与剪切弹性模量有关，对地表建筑作用主要是水平方向。
面波是在体表传播，由体波的折射、反射后形成的，对建筑影响既有水平方向，又有垂直方向。
因此，建筑物受到的地震作用既有水平方向，又有竖直方向的。
由于建筑在竖直方向刚度较大，而水平方向刚度较小，容易在水平方向发生震动的放大，所以主要考虑水平方向的震动响应。
由于线弹性体震动可以叠加，只要考虑了一个方向的水平震动。
求地震作用时，通常将建筑物简化为单质点或多质点体系。
单质点体系，质点受到三个力的作用： 1. 惯性力：()I g f m x x ''''=-+2. 阻尼力：c f cx '=-3. 恢复力：k f kx =-4. 由质点受力平衡得：0I c k f f f ++= => g mx cx kx mx '''''++=-其中m 、c 、k 、x g 、x 分别为质量，阻尼，体系刚度，地面位移和质点相对地面的位移。
令ω=2c mωξ= 则上式子转化为 22g x x x x ωξω'''''++=- 加上初始条件（x(0)＝0，x ’(0)=0）可得到()01()()sin[()]t t g D D x t x e t d ξωτττωτω--''=--⎰；ω=D其中ω为无阻尼体系自由振动频率,ξ称为阻尼比,一般工程结构中ξ值较小,在0.101~0.1,ωd 为有阻尼时体系自由振动圆频率,一般ω≈ωd.将位移反应对时间求一阶和二阶导数,并且ξ值很小,可得体系地震速度反应和地震加速度反应：()0()()cos[()]tt g D x t x e t d ξωτττωτ--'''=--⎰ ()0()()()sin[()]t t g D g D x t x t x e t d ξωττωτωτ--''''''+=-⎰单自由度体系再地震作用下的振动是最简单的情况，但是由于实际工程中建筑物质量是非集中的，非集中倒一点，也不会只有一个自由度。
地震作用的计算和抗震验算
17.7.2
单质点体系的地震作用
今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它 在t=τ－dτ时开始作用，作用时间为 x dτ，则冲量大小为 g (t )d 动量增量为 mx( ) 从动量定理，得
g (t )d x
由通解式可求得当τ－dτ时，作用 一个 g (t )d 微分脉冲的位移反应为 x ( ) x ( t ) g dx( ) e sin ' (t )d 地震作用下的质点位移分析 ' 将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应
质点相对于地面的最大加速度反应为
10
17.7.2
单质点体系的地震作用
地震反应谱：主要反映地面运动的特性 最大相对位移 最大相对速度 最大加速度 最大反应之间的关系 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周 期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
h=5m
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） （2）求水平地震影响系数
地震影响 烈度
6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
查表确定
多遇地震 罕遇地震
22
17.7.2
单质点体系的地震作用
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期 （2）求水平地震影响系数 查表确定
地震特征周期分组的特征周期值（s）
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单质点地震作用计算的计算方法所谓单质点弹性体质，是指可以将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆支承于地面上的结构．例如水塔、单层房屋等建筑物，由于它们的质量大部分集中于结构的顶部，所以通常将这些结构简化成单质点体系．目前，计算弹性体系的反应时，一般假定地基不产生转动，而把地基的运动分解为一个竖向和两个水平向的分量，然后分别计算这些运动分量对结构的影响．主要内容：1．单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。
2．计算水平地震作用关键在于求出地震系数k和动力系数β。
一、地震概述地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产生的一种地壳振动现象。
据统计，地球上每年约有15万次以上或大或小的地震。
人们能感觉到的地震平均每年达三千次，具有很大破坏性的达100次。
每次中等程度的地震就会造成重大损失和人员伤亡，研究地震的危害和抗震的方法极有必要，目前已经研究到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用，但这些研究都离不开单质点地震作用的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。
二.地震危害直接2005年2月15日新疆乌什发生6.2级地震，经济损失达15757.43万元，主要是土木结构的房屋破坏严重。
近期，云南普洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城，造成严重的财产损失和人员伤亡。
目前，因灾受伤群众为３００余人，其中３人死亡。
全县各乡（镇）房屋受损严重，土木结构房屋墙体倒塌较多，砖混结构房屋普遍出现墙体开裂，承重柱移位。
作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。
三、单质点弹性体系的地震反应目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。
这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。
所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。
如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。
应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。
1．运动方程的建立为了研究单质点弹性体系的地震反应，我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。
图2-1表示单质点弹性体系的计算简图。
由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方程:)()()()(t x m t kx t x c t x m g •••••=++ (2-3) 其中g x (t)表示地面水平位移，是时间t 的函数，它的变化规律可自地震时地面运动实测记录求得；x (t)表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间t 的函数，是待求的未知量。
若将式(2-3)与动力学中单质点弹性体系在动荷载)(t F 作用下的运动方程)()()()(t F t kx t x c t x m =++••• (2-4) 进行比较，不难发现两个运动方程基本相同，其区别仅在于式(2-3)等号右边为地震时地面运动加速度与质量的乘积；而式(2-4)等号右边为作用在质点上的动荷载。
由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于)(t x m g ∙∙，指向与地面运动加速度方向相反。
因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度)(t x g ∙∙的变化规律，而)(t x g ∙∙可由地震时地面加速度记录得到。
为了使方程进一步简化，设 m k =2ω (2-5) m c kmcω22ζ== (2-6) 将上式代入式(2-3)，经简化后得：)()(ω)(ζω2)(2t x t x t x t x g •••••=++ (2-7) 式(2-7)就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。
2．运动方程的解答式(2-7)是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。
前者代表自由振动，后者代表强迫运动。
（1） 齐次微分方程的通解为求方程(2-7)的全部解答，先讨论齐次方程0)(ω)(ζω2)(2=++•••t x t x t x (2-8) 的通解。
由微分方程理论可知，其通解为：)ωsin ωcos ()(t B t A e t x t ′+′=ζω (2-9) 式中2ζ-1ω'ω=；A 和B 为常数，其值可由问题的初始条件确定。
当阻尼力为0时，式(2-9)变为：t B t A t x ωsin ωcos )(+= (2-10) 式(2-10)为无阻尼单质点体系自由振动的通解，表示质点做简谐振动，这里m k /ω=为无阻尼自振频率。
对比式(2-9)和式(2-10)可知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动，其振动频率为2ζ-1ω'ω=，'ω称为有阻尼的自振频率。
根据初始条件t=0可以确定常数A 和B ，将t=0和)0()(x t x =代入式(2-9)得：)0(x A = 为确定常数B ，对时间t 求一阶导数，并将t=0，)0()(••=x t x 代入，得：'ω)0(ζω)0(x x B +=• 将A 、B 值代入式(2-9)得：++=•t x x t x e t x t 'ωsin 'ω)0(ζω)0('ωcos )0()(ζω (2-11) 上式就是式(2-8)在给定的初始条件时的解答。
由2ζ-1'ωω=和ω2/ζm c =可以看出，有阻尼自振频率'ω随阻尼系数c 增大而减小，即阻尼愈大，自振频率愈慢。
当阻尼系数达到某一数值r c 时，即km m c c r 2ω2=== (2-12)时，则0'ω=，表示结构不再产生振动。
这时的阻尼系数r c 称为临界阻尼系数。
它是由结构的质量m 和刚度k 决定的，不同的结构有不同的阻尼系数。
而rc c m c ==ω2ζ (2-13) 上式表示结构的阻尼系数c 与临界阻尼系数r c 的比值，所以ζ称为临界阻尼比，简称阻尼比。
在建筑抗震设计中，常采用阻尼比ζ表示结构的阻尼参数。
由于阻尼比ζ的值很小，它的变化范围在0.01～0.1之间，因此，有阻尼自振频率2ζ-1ω'ω=和无阻尼自振频率ω很接近，因此计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。
（2） 地震作用下运动方程的特解进一步考察运动方程(2-7))()(ω)(ζω2)(2t x t x t x t x g •••••=++可以看到，方程与单位质量的弹性体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同，区别仅在于方程等号右端为地震地面加速度)(t x g ••，所以，在求方程的解答时，可将)(t x g ∙∙看作是随时间而变化的单位质量的“扰力”。
为了便于求方程(2-7)的特解，我们将“扰力”)(t x g ••看作是无穷多个连续作用的微分脉冲，如图2-2所示。
现在讨论任一微分脉冲的作用。
设它在τ-τd t =开始作用，作用时间为τd ，此时微分脉冲的大小为τ)τ(d x g ••。
显然，体系在微分脉冲作用后仅产生自由振动。
这时，体系的位移可按式(2-3)确定。
但式中的)0(x 和)0(∙x 应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速度值。
根据动量定理：τ)τ()0(d x x g •••= (2-14)将)0(x =0和)0(∙x 的值代入式(2-3)，即可求得时间τ作用的微分脉冲所产生的位移反应 τ)τ-('ωsin 'ω)τ()τ-(ζωd t x e dx g t ••= (2-15)将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得到全部加载过程所引起的总反应。
因此，将式(2-15)积分，可得时间为t 的位移∫0)τ-(ζωτ)τ-('ωsin )τ('ω1)(t t g d t e x t x ••= (2-16) 上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅（Duhamel ）积分。
它与齐次微分方程(2-8)的通解之和就是微分方程(2-7)的全解。
但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式(2-9)的影响通常可以忽略不计。
分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度)(t x g ∙∙直接影响体系地震反应的大小；而不同频率（或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比ζ对体系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。
四、 单质点弹性体系水平地震作用1．水平地震作用基本公式由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量m 乘以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反，即+=••••)()()(t x t x m t F g (2-17) 式中)(t F 为作用在质点上的惯性力。
其余符号意义同前。
如果将式(2-3)代入式(2-17)，并考虑到)(t x c ∙远小于)(t kx 而略去不计，则得：)(ω)()(2t x m t kx t F == (2-18) 由上式可以看到，相对位移)(t x 与惯性力)(t F 成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。
也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原因。
将式(2-16)代入式(2-18)，并注意到'ω和ω的微小差别，令ω='ω，则得：∫0)τ-(ζωτ)τ-(ωsin )τ(ω)(t t g d t e x m t F ••= (2-19)由上式可见，水平地震作用是时间t 的函数，它的大小和方向随时间t 而变化。
在结构抗震设计中，并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。
设F 表示水平地震作用的最大绝对值，由式(2-19)得：max 0)τ-(ζω∫τ)τ-(ωsin )τ(ωt t g d t e x m F ••= (2-20)或 a mS F = (2-21) 这里 max 0)τ-(ζω∫τ)τ-(ωsin )τ(ωt t g a d t e x S ••= (2-22)令 maxβga x S ••= kg x g=••max代入式(2-21)，并以Ek F 代替F ，则得：G k g mk F Ek ββ== (2-23)式中 Ek F －水平地震作用标准值；a S －质点加速度最大值；max g x －地震动峰值加速度；k －地震系数；β－动力系数；G －建筑的重力荷载代表值（标准值）。
式(2-23)就是计算水平地震作用的基本公式。