【VIP专享】概率论课件第十四次课

P{|
nA n
p
|
}
0.
证明：设
Xk
1， 0，
第k次试验A发生 否则
，
k
1，2，L
，n，
则 E(X k ) np D(X k ) np(1 p) npq
1 n
n i1
ห้องสมุดไป่ตู้
E( Xi )
}
C
1
n
2
1
C
n 2
,
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi ) | }
lim(1 C )
n
n 2
1.
作为契比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
定理2 (独立同分布下的大数定律):
设X1, X2, …, Xn, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ， D(Xi) = 2， i=1, 2, …,
则对任给
>0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
|
}
1.
定理3 (贝努里大数定律):
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，
p是A发生的概率，则对任给的ε> 0，
lim P{| nA p | } 1，
n
n
或
lim
n
1, 2
设
Z X Y, 32
求：1）E(Z)和D(Z)；
解：1）Q X ~ N 1,32 Y ~ N 0,42
E X 1 DX 9 E Y 0 DY 16
则 EZ 1 E X 1 EY 1
3
2
2
DZ
1 D X 1 D Y 2 1 Cov(X ,Y )
9
4
6
Q XY
8
1
5 x4dx
8
0
EXY
0 1
dx
30 x xy 8xydy 8
15 1 x5dx 4
0
0
30
9
Cov X,Y EXY EX EY
44 8 4
9 5 15 225
2、什么是两个随机变量的相关系数？ XY
Q E X 2
1
dx
x x2 8xydy 4 1 x5dx 2
第五章 大数定律与中心极限定理
第二节 大数定律
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 性的学科, 随机现象的规律性只有在相同的条件
下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说 ，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究 大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式， 由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容 很广泛，其中最重要的有两种:
n i 1
E(Xi ) | } 1.
证明: X1, X2 , , Xn , 相互独立，
E(1 n
n i1
Xi)
1 n
n i 1
E( X i ),
D(1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n
D(Xi )
i 1
nC n2
C n
.
契比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
P{
1 n
n i1
Xi
2 2
.
P{| X | } f ( x)dx
x
(x )2
x
2
f ( x)dx
( x )2
2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
Q P{| X | } 1 P{| X | }
P{| X | } 1 P{| X | } 1 2
例1、抛一枚硬币，试问抛900次后，出现正面 的次数介于400至500之间的概率至少为多少？
Cov X ,Y D X DY
Cov X ,Y
34
1, 2
Cov X ,Y 6 则 DZ 1 4 1 (6) 3
3
2）求X与Z的相关系数 XZ .
Cov X , Z 1 Cov(X , X ) 1 Cov X ,Y 33 0
3
2
XZ
Cov X , Z DX DZ
0
标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a
元的概率小于10%.
解 : Q E X 1 D X 0.32依题意有 :
P{(X 1 a) U(X 1 a)} 0.1，
P{(X 1 a) U(X 1 a)}
P{
X
1
a}
(0.3)2 a2
(0.3)2 a2
0.1，
a2
0.9
a 0.95
大数定律 与 中心极限定理
定理1 (契比雪夫大数定律):
设 X1, X2, …, Xn , …是相互独立的随机变量 且分别有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2, ·‥n)
若方差有界，即存在常数C，使得: D Xk C
则对任意的ε>0，恒有
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
Cov X,Y XY D X DY 1.2 则 D X Y DX DY 2CovX,Y 7.4
D3X 2Y D3X D2Y 2Cov3X,2Y
9DX 4DY 12CovX,Y 25.6
设X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),
且X和Y的相关系数
XY
0
0
0
EDDYYX2 EE01YdX2x20xyE2EY8xXy2dy2123(28(01)542x)52dx1172513
3
3 15 225
4
Cov X ,Y 则 XY D X DY
225 2 11
2 66 33
3、相关系数有哪些性质？ 75 225
已知 D X 4, DY 1, XY 0.6, 求 DX Y , D3X 2Y 解：Q D X 4, DY 1, XY 0.6,
一、复习：
1、什么是协方差？计算协方差的公式怎样？
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：
f
x,
y
8xy 0
0 x 1,0 y x 其他
求 Covx, y,
解：Q EX
xf (x, y)dxdy
1
dx
x
x 8xydy 4
1 x4dx
4
0
0
EY
1
dx
x
0
y 8xydy
开始
第五章 大数定律与中心极限定理
第一节 契比雪夫不等式
1.契比雪夫不等式：设随机变量X的期望 E X
及方差 D X 2 存在，则对任意的 0 ，有
这就是著名的P契{|比X雪夫(C|heby}shev)22不.等式.
它有以下等价的形式：P{| X | } 1 证明: 设X的概率密度为f ( x)，则有
解 : 设X表示出现正面的次数， 则 X ~ B900,0.5
故有 E X 9000.5 450
D X 9000.50.5 225
则所求得概率为：
P{400 X 500} P{ X 450 50}
1
2 2
1
225 502
1 0.09 0.91.
例2、已知某种股票每股价格X的平均值为1元，