2024届物理一轮复习讲义专题强化五 有约束条件的平抛运动含答案

2024届物理一轮复习讲义专题强化五有约束条件的平抛运动学习目标 1.会分析平抛运动与斜面、圆弧面结合的约束条件，并根据约束条件求解相关问题。

2.会处理平抛运动的临界、极值问题。

考点一与斜面或圆弧面有关的平抛运动角度与斜面有关的平抛运动1.顺着斜面平抛(如图1)图1处理方法：分解位移。

x＝v0t，y＝12gt2tan θ＝yx可求得t＝2v0tan θg。

2.对着斜面平抛(垂直打到斜面上，如图2)图2 处理方法：分解速度。

v x＝v0，v y＝gttan θ＝v xv y＝v0gt可求得t＝v0g tan θ。

例1 (2023·湖南长沙模拟)如图3，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。

自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x ，忽略空气阻力，则下列图像正确的是( )图3答案 D解析 小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tan α＝y x ＝gt 2v 0，则水平位移x ＝v 0t ＝2tan αg v 20∝v 20；小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v 0，故D 正确，A 、B 、C 错误。

例2 如图4所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球(可视为质点)自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t 1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t 2，不计空气阻力，则t 1t 2为( )图4A.21B.32C.32D.53答案 D解析 设小球水平抛出的初速度为v 0，则打到斜面上时，速度沿竖直方向的分速度v y ＝v 0tan θ＝gt 2，水平位移x ＝v 0t 2，抛出点离斜面的高度h ＝v 2y 2g ＋x tan θ＝v 202g tan 2θ＋v 20g ＝5v 202g ，又h ＝12gt 21，解得t 2＝3v 0g ，t 1＝5v 0g ，则t 1t 2＝53，D 正确。

跟踪训练1.(2022·重庆高三模拟)如图5所示，将一小球从A 点以某一初速度水平拋出，小球恰好落到斜面底端B 点；若在B 点正上方与A 等高的C 点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的D 点，A 、B 、C 、D 在同一竖直面上，则ADAB 为( )图5A.12B.22C.2－12D.3－52答案 D解析 如图，设A 、B 之间高度差为h ，C 、D 之间高度差为h ′，则h ＝12gt 21， h ′＝12gt 22，可得t 1＝2hg ，t 2＝2h ′g ，斜面倾角的正切值tan θ＝h v 0t 1＝h －h ′v 0t 2，解得h ′＝3－52h ，所以AD AB ＝h ′h ＝3－52，故D 正确，A 、B 、C 错误。

角度 与圆弧面有关的平抛运动1.从圆弧形轨道处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。

处理方法：分解速度tan θ＝v yv0＝gtv0。

2.从圆心处或与圆心等高圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。

情景处理方法x＝v0ty＝12gt2x2＋y2＝R水平方向：R±R2－h2＝v0t竖直方向：h＝12gt2例3如图6所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。

取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。

则石子抛出时的速度大小为()图6A.9 m/sB.12 m/sC.15 m/sD.18 m/s答案 C解析由题意可知，石子竖直方向的位移为h＝h1＋R sin 37°，根据公式可得h＝12gt2，代入数据解得t＝1.2 s。

石子水平方向的位移为x＝R＋R cos 37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15 m/s，故C正确。

跟踪训练2.(2023·山东模拟预测)如图7所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一小球以水平速度v 0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切线飞过，测得O 、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是( )图7A.v 0g tan θ B.g tan θv 0C.R sin θv 0D.R cos θv 0答案 C解析 根据几何关系可知，水平速度与末速度的夹角为θ，则有tan θ＝v yv 0，解得v y ＝v 0tan θ，根据v y ＝gt ，解得t ＝v 0tan θg ，A 、B 错误；在水平方向有R sin θ＝v 0t ，解得t ＝R sin θv 0，D 错误，C 正确。

考点二 平抛运动的临界和极值问题1.平抛运动的临界问题有两种常见情形(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。

(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。

2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。

例4 如图8所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，竖直墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在距离墙壁L ＝1.4 m 、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v 水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2。

则可以实现上述要求的速度大小是( )图8A.2 m/sB.4 m/sC.8 m/sD.10 m/s答案 B解析小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大此时有L＝v max t1，h＝12gt 21代入数据解得v max＝7 m/s小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝v min t2，H＋h＝12gt22代入数据解得v min＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误。

跟踪训练3.如图9所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。

短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是()图9A.水从小孔P射出的速度大小为gyB.y越小，则x越大C.x与小孔的位置无关D.当y ＝h2时，x 最大，最大值为h 答案 D解析 取水面上质量为m 的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy ＝12m v 2，解得v ＝2gy ，A 错误；水从小孔P 射出时做平抛运动，则x ＝v t ， h －y ＝12gt 2，解得x ＝v2（h －y ）g＝2y （h －y ），可知x 与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y ＝h －y ，即y ＝12h 时，x 最大，最大值为h ，并不是y 越小x 越大，D 正确，B 、C 错误。

A 级 基础对点练对点练1 与斜面或圆弧面有关的平抛运动1.(2023·河北衡水模拟)如图1甲所示，足够长的斜面AB 固定放置，一小球以不同初速度v 0从斜面A 点水平抛出，落在斜面上的位置离A 点距离为s ，得到s －v 02图线如图乙所示，若图乙的斜率为k ，不计空气阻力，则k 等于( )图1A.2tan θg cos θB.tan θ2g cos θC.2cos θg tan θD.cos θ2g tan θ答案 A解析 根据平抛运动的规律可得s cos θ＝v 0t ，s sin θ＝12gt 2，得到s ＝2tan θg cos θv 20，则k ＝2tan θg cos θ，故A 正确。

2.(多选)如图2，小球在倾角为θ的斜面上方O 点处以速度v 0水平抛出，落在斜面上的A 点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g ，根据上述条件可以求出( )图2A.小球由O 点到A 点的时间B.O 点距离地面的高度C.小球在A 点速度的大小D.小球从O 点到A 点的水平距离 答案 ACD解析 小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知tan θ＝v 0gt ，故t ＝v 0g tan θ，选项A 正确；由时间t 可根据h ＝12gt 2求得小球下降高度，但计算不出O 点离地面的高度，选项B 错误；由平行四边形定则知v A ＝v 0sin θ，选项C 正确；小球从O 点到A 点的水平距离x ＝v 0t ＝v 20g tan θ，选项D 正确。

3.如图3所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α。

一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0水平抛出，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道。

已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则A 、B 之间的水平距离为( )图3A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α答案 A解析 由小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B 点时的速度方向与水平方向的夹角为α。

由tan α＝gtv 0，x ＝v 0t ，联立解得A 、B 之间的水平距离为x ＝v 20tan αg ，选项A 正确。

4.如图4所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B 点以某速度v 0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道，O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2是BA 与竖直方向的夹角，则( )图4A.tan θ2tan θ1＝2B.1tan θ1tan θ2＝2C.tan θ1tan θ2＝2D.tan θtan θ2＝2答案 C解析 由题意知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝v y v 0＝gtv 0，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝x y ＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt ，所以tan θ1tan θ2＝2，所以C 正确。

对点练2 平抛运动的临界与极值问题5.如图5所示，一圆柱形容器高为L ，底部直径也为L ，一小球离地高为2L ，球到容器左侧的水平距离也为L ，现将小球水平抛出，要使小球直接落在容器底部，小球抛出的初速度大小范围为( )图5A.12gL ＜v ＜212gLB.12gL ＜v ＜gLC.12gL ＜v ＜gL D.12gL ＜v ＜32gL答案 B解析 要使小球直接落在容器的底部，设最小初速度为v 1，则有2L －L ＝12gt 21，v 1＝Lt 1，联立解得v 1＝12gL ，设最大速度为v 2，则有2L ＝12gt 22，v 2＝2L t 2，联立解得v 2＝gL ，因此小球抛出的初速度大小范围为12gL ＜v ＜gL ，故B 正确。