(完整版)高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法
本知识单元考查题型与方法：
※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=21
21
y y x x --，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；
※※其它问题（一求导数，二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）
特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。 关注几点：
恒成立：（1）定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ；
（2）定义域任意x 有()f x 恰成立：（1）对定义域内任意x 有()()f x g x >恒成立，则min ()-()0,f x g x >【】 （2）若对定义域内任意x 有()()f x g x <：恒成立，则max ()-()0f x g x <【】 能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在 2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x < （2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x > 一、考纲解读 考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过),(00y x A 点的切线的斜率为 / 2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 52000--= x y x ②，由①②联 立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜 率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)(2 23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故?? ?-=-=+?? ?-=-=++30233 23c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(2 3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当; 0)(,32 2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时 ① ② 13)2()(.0)(,132 =-=∴>'≤ （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 ,23)(2 b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ①当 6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时； ②当 φ∈∴≥++=-'='-≤= b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时； ③当. 60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ 2．已知三次函数 32 ()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； (3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件． 解：(1) 2 ()32f x x ax b ' =++， 由题意得，1,1-是2 320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-． 再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3 ()32f x x x =--． (2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， 当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=；当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x ' =； 当1x >时，()0f x ' >．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１ 上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数。函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-． (3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =． 于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --剟，即36n 剟． 综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n 剟． 3．设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 解：（1）2 ()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1． （2）当b=1时，()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因 ,0)1(42 >+-=?a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)(' x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当 时，2x x >)(' x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/ x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313 +-= x x y ( A ) 3．方程内根的个数为在)2,0(07622 3=+-x x ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1．设函数. 10,3231 )(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 解：（1）22 ()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a == 列表如下： x （-∞，a ） a （a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0 + - x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 ()f x ] 极小 Z 极大 ] ∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减 x a =时，3 4 ()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小 （2）22 ()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减 ∴ 22(1)4(1)321Max f a a a a a '=-+++-=-， 22min (2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=- 依题|()|f x a '≤?||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)5 2．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2 3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调 区间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ） 由f '（ 23－ ）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝1 2－ ，b ＝－2 f '（x 所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23）与（1，＋∞），递减区间是（－2 3，1） （2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ） 1．已知平面向量a v =(3,－1). b v =(21 ,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x v =a v +(t2－3)b v ，y u v =-k a v +t b v ，x v ⊥y u v ， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x v ⊥y u v ，∴x y ?v u v =0 即[a v +(t2-3) b v ]·(-k a v +t b v )=0. 整理后得-k 2a v +[t-k(t2-3)] a b ?v v + (t2-3)·2b v =0 ∵a b ?v v =0，2a v =4，2b v =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41t(t2-3) (2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41 t(t2-3)与直线y=k 的交点个数. 于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43 (t+1)(t-1). 令f ′t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21 . 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21 函数f(t)=41 t(t2-3)的图象如图13－2－1所示， 可观察出： (1)当k ＞21或k ＜－21 时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21 时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21 时,方程f(t)－k=0有三解. 题型七：导数与不等式的综合 1．设 ax x x f a -=>3 )(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围；（2）设 x ≥1，)(x f ≥1，且0 0))((x x f f =，求证：00)(x x f =. 解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须 ,3,02 x a y ><'即这样的实数a 不存 在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数. 若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2 3x ， 由于 [)33,,12