高等数第9章 线性方程组
高等代数方法总结
高等代数方法总结一、前言高等代数是数学中的重要分支，它涉及到很多重要的概念和理论。
在学习高等代数时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，以便更好地理解和应用这些概念和理论。
本文将总结一些常见的高等代数方法，帮助读者更好地学习和应用高等代数知识。
二、线性方程组的求解线性方程组是高等代数中最基础的问题之一。
在实际应用中，线性方程组经常出现，并且求解线性方程组是很多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的线性方程组求解方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它通过矩阵变换将原始矩阵转化为一个上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵，从而得到线性方程组的解。
具体步骤如下：（1）将系数矩阵增广为一个增广矩阵；（2）从第一行开始，找到第一个非零元素所在列，并将该列所有元素除以该元素；（3）将第一行乘以一个系数，使得该行第一个非零元素下面的元素都为零；（4）重复步骤（2）和（3），直到将矩阵转化为上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵；（5）从最后一行开始，依次求解每个未知量。
2. 矩阵求逆法如果一个方阵的行列式不等于零，则该方阵可以求逆。
对于一个n×n 的方阵A，如果它的行列式不等于零，则存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I。
具体步骤如下：（1）构造增广矩阵[A|I]；（2）通过初等变换将[A|I]变成[I|B]，其中B即为A的逆矩阵。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组求解方法。
对于一个n元线性方程组，如果它的系数矩阵A可逆，则其唯一解可以表示为：xi=det(Ai)/det(A)，i=1,2,...,n，其中Ai是将系数矩阵A中第i列替换为常数向量b后得到的新矩阵。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的重要概念，它们在很多领域中都有广泛的应用。
下面介绍几种常见的特征值和特征向量求解方法。
1. 特征方程法对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k 的特征向量。
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
《高等数学》同济第六版 第9章答案
1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解 （1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解： （1）特征方程为 （2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解： （1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为 将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =
高等数学第9章第5节
y′
x =0
x
e −y =− cos y − x (0,0)
两边再对 x 求导
− sin y ⋅ ( y′)2 + cos y ⋅ y′′
令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y′ = −1
d y = −3 2 x =0 dx
2
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足: ① 在点 ② F(x0 , y0 , z0 ) = 0 ③ Fz (x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx ∂z =− , ∂x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 , 连续偏导数
2
x y x
2 Fy
=−
Fxx Fy − Fyx Fx
2 Fy
−
Fxy Fy − Fy y Fx
Fx (− ) Fy
=−
Fxx Fy 2 − 2Fxy Fx Fy + Fy y Fx2
3 Fy
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy d2 y , dx x = 0 dx2 x = 0
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyfv
令 u = x + y + z , v = xyz , 则 z = f ( u, v ),
Fx Fv Gx Gv
(P86-P87)
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < ห้องสมุดไป่ตู้ , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
返回 上页 下页
例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
返回
证毕. 证毕
上页 下页
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
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3
，
1 3
x
2
x3
1
，
4 3
x2
5x3
2
．
9.1 线性方程组的消元法
第二步：上式第一个方程乘 -1/2和-2分别加到第二个和 第三个方程，得
x1
5 3 1 2
x2 3x3 3 ，
1
1
x2 2 x3 2
2 x2 x3 4 ．
，
第三步：上式第二个方程 两边乘以 -2，得
得这个线性方程组的相应的一个解。此时，该 线性方程组有无穷多解。
9.2 非齐次线性方程组
当r=n时，这个线性方程组可相应地化为
x1 c1 ，
x2
c2 ，Biblioteka x n c n ．此时，该线性方程组有惟一确定的一个解。
9.2 非齐次线性方程组
当时cr+1≠0，线性方程组相应地化为
x1
a1r1xr1 a1nxn c1 ，
(3)线性方程组的经济应用。
2. 重点与难点
第九章 线性方程组
(1)重点
消元法、矩阵的初等行变换、线性方程组 解的判定、齐次线性方程组的一般解。
(2) 难点
线性方程组解的判定、求齐次线性方程组 的一般解。
第九章 线性方程组
9.1 线性方程组的消元法
线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2
x1
5
3 x2
x2
x3
3x3 1，
3
，
2x2 x3 4 ．
9.1 线性方程组的消元法
第四步：上式第二个方程 乘以2加到第三个方程，得
x1
5 3
x2 x2
3 x3 x3
1
3， ，
x3 2 ．
方程组的解为
阶梯形方程组
x14,x23,x32
9.1 线性方程组的消元法
把方程组化为阶梯形方程组，需要反复运 用以下三种变换：
a21x1
a22x2
am1x1 am2x2
a1nxn b1 ， a2nxn b2 ，
amnxn bm ．
9.1 线性方程组的消元法
系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a
21
a 22
a2n
am1
am2
a
mn
增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A~a21
a22
a2n
x1 x2
a1r1xr1a1nxn c1 a2r1xr1a2nxn c2
xr arr1xr1arnxn cr
9.2 非齐次线性方程组
所以
x1 x2
c1 c2
(a1r1xr1 (a2 x r1 r1
aa12nnxxnn))
xr cr (ar x r1 r1 arnxn)
xr 1,xr2 ,xn任意取定的一组值，都可求
0 2 14
0 0 1 2
阶梯形矩阵B对应 的阶梯形方程组是：
x1
5 3
x2
x2
3x3 x3 1
3 ，
，
x14,x23,x32
x3 2 ．
9.1 线性方程组的消元法
另外，若将矩阵B用初等行变换化为行 简化阶梯形矩阵
1 0 0 4
0
1
0
3
0 0 1 2
则矩阵的最后一列元素就是方程组的解。
1．交换两个方程的位置；
2．用一个非零数乘某个方程；
3．用一个非零数乘某个方程加在另一个方程上。
将任一个方程组进行上述变换所得到的新方 程组与原方程组是同解方程组。上述三种变换称 为线性方程组的初等变换。
9.1 线性方程组的消元法
例1的求解过程用矩阵的初等行变换表示如下：
1 2
1 3
1
5 3
2
0
00
0
0
c
r
1
0
00
0 0
0
rn
9.2 非齐次线性方程组
当时cr+1=0，上式变成
1 0
00 10
a1 r 1 a2 r1
a1n a2n
c1 c2
0 0 1 ar r1 arn cr
0
0
0
0
0
0
9.2 非齐次线性方程组
当r<n时，这个线性方程组可相应地化为
第九章 线性方程组
9.2 非齐次线性方程组
9.2.1 解的判定
一般地，含有n个未知量、m个方程的线性 方程组为
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
a1n xn b1 ， a2n xn b2 ，
am1x1 am2x2 amn xn bm ．
9.2 非齐次线性方程组
其增广矩阵为
a11
A~
a21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
9.2 非齐次线性方程组
经过初等行变换后可以化成以下的形式：
1 0
0 0 a1 r1 a1n 1 0 a2 r1 a2 n
c1 c2
0 0 1 ar r1 arn cr
高等数第9章 线 性方程组
第九章 线性方程组
9.1 线性方程组的消元法 9.2 非齐次线性方程组 9.3 齐次线性方程组 9.4 应用与实践 9.5 拓展与提高
第九章 线性方程组
一 知识结构框图
第九章 线性方程组
二 教学的基本要求和重点、难点
1. 基本要求 (1)线性方程组的消元法。
(2)用矩阵的初等行变换判定关于线性方程组解 的情况和求齐次线性方程组一般解的方法。
x2 a2 x r1 r1 a2nxn c2 ，
xr ar x r1 r1 arnxn cr ，
0 cr1 ．
最后一个方程不成立，即原方程组无解。
9.2 非齐次线性方程组
定理9.1 设有m个方程、n个未知量的线性
方程组，其系数矩阵A的秩为r(A)，增广矩阵 A
的秩为 r(A~)，则有如下结论：
4 3
1 5 31 2 3 ( ① , ② ) 1 1 2 2
5 3
1 3
4 3
1 5 31 2 3 ② ③ ① ① (( 2 1 2)) 1 0 0 5 32 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2
1
5 3
3 3
1
5 3
3
3
② ( 2) 0 1 1 1 ③ ② 2 011 1 B
(1)线性方程组有解的充分必要条件是 r(A)r(A ~) (2)若r(A)r(A ~)n，线性方程组有且只有惟一解；
(3)若 r(A)r(A)n，则线性方程组有无穷多解； (4)若r(A)r(A ~)，则线性方程组没有解。
b2
am1
am2
amn
bm
9.1 线性方程组的消元法
例1 解线性方程组
1 2
x1
x1
2 x1
5 3 4 3
1 3 x2
x
x2 2
3x 5
x
3
x
3 3
1， 3， 2．
解：第一步：交换第一 个方程和第二个方程的 位置，得
x1
1 2
x1
2 x1
5 3
x2
3x3