72紧致性与分离性公理
第六章 分离性公理
H
10
6.3 Urysohn引理和 Tietze扩张定理(2)
定理6.3.4(Tietze扩张定理) X是正规空间对X的任一闭集A及连续映射f: A[a, b], 存在连续映射g: X[a, b]是f的扩张, 即g|A=f.
定理
6.3.1
fAB来自g定理f
6.3.4
H
11
6.4 完全正则空间, Tychonoff空间
证 设X是正则空间, YX. yY及不含y的闭集B, X的闭集 B*使B*∩Y=B, 那么yB*, X中不交开集U*, V*使yU*且B*V*, 从而yU*∩Y, B=B*∩YV*∩Y.
三、T0T3.5、正则、完全正则是有限可积性质, T4、正规不是有 限可积的
H
16
6.5 分离性公理与 子空间、积空间和商空间(3)
6.5 分离性公理与 子空间、积空间和商空间(4)
本节习题3表明: 实数下限拓扑空间Rl是T4空间, 但是Rl2不是正规空间. 有例子说明, 分离性都不是可商性质. 例3.3.1表明, 存在商映射q: RR/~使R/~是由两点组成的平庸空间. R具有下述介绍的所有分离性质, 但是R/~不是T0空间. 因此, 分离公理Ti 不是可商性质.
定 理 6.2.2 X 是 正 规 空 间 对 X 的 闭 集 A 及 A 的 开 邻 域U, 存 在 开 集 V 使 AVVU.
与定理6.2.1的证明类似.
例6.2.1 正则+正规 T0.
令X={1, 2, 3}, T={, {1}, {2, 3}, X}, 则(X, T)是拓扑空间. 由于X的开集也是闭集, 所以X是正则, 正规空间. 由两点2, 3可见, X不是T0空间.
在T1空间中, 定理6.1.5可以不成立. 如对例6.1.1中的空间X, X中的任一由两两不同 点构成的序列{xi}收敛于任意xX. 事实上, 设U是x的开邻域, 则U是有限集, nZ+, 使 当i>n时有xiU, 所以xix.
拓扑学第四章-紧致性
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。
〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。
〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。
〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
《点集拓扑学》第7章 §7.2 紧致性与分离性公理
§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。
拓扑学第四章 紧致性
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出） （1） 有限子集总是列紧的。
（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。
（5） 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
U 是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃U，则称U 为A 在X中的开覆盖；若U 中只有有限个子集，称U 为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
《点集拓扑讲义》第八章 紧致性
定 理 8.1.4 设 X1, X2, , Xn 是 n 个 紧 致 空 间 (n2)，则拓扑积空间 X1 X2 Xn也是一个紧致 空间，即紧致性质是一个有限可积的性质.
证明：我们只需对 n=2 的情形给以证明.
设 (X1,T1) , (X2,T2) 是紧致拓扑空间,由积空间定 义 可 知 B {U V |U T1,V T2} 是 积 空 间 X1 X 2 的 一个基，根据定理 8.1.3，我们只需证明由 B 的元 素构成的 X1 X2的任意一个开覆盖都有一个有限 子覆盖即可得 X1 X 2是一个紧致空间.
定理 8.1.4(一点紧化定理)每一个拓扑空间必
定是某一紧致空间的开子空间.
证明 ：设(X,T) 是一个拓扑空间，令 是一个 不属于 X 的元素，令
X X {},T T T1
其中 T1 {E X | X E 是拓扑空间(X,T )中的紧致闭 集}
第一步，验证 T *是 X *的一个拓扑. (1) 据定义 T T ,又由于 X X ,而是 X 中的一个紧致闭集,因此 X T1 T .
x)则
M
x
是包含点
x
的开集，
根据
(U
1 x
Vx1)
(U
2 x
Vx2
)
(U
n(x) x
Vxn( x )
)
(M x Vx1) (M x Vx2 )
(M x Vxn(x) )
= M x (Vx1 Vx2
Vxn( x) )
=Mx X2
可见 Ax 是集合 M x X2的一个覆盖，(图 8.1.1)，此外
11. 设 X 是一个拓扑空间,B 是 X 的一个拓扑基, 则 X 是一个紧致空间当且仅当由 B 中的元素构成的 X 的每一个覆盖都有一个有限子覆盖.
《点集拓扑学》第7章 §7.2 紧致性与分离性公理
§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。
半拓扑空间的S-分离性与S-紧致性
开集 ． 如 果 存 在 里 的开 集 ． 使 得
的一 个 半 拓 扑 空 间 ［ ： ， ３ ＿ ．
Ａ
全 体半 开集 族 记 为 Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ， 并称 （ ， Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ） 为 透过 半开集 。 并 由此 衍 生 了半 拓 扑 概 念 ． 以 及 准 半 连续 映 射 ． 特 别 是 半 拓 扑 性 质 的 引入 ． 使 得 这 方 面 的研 究 有 了 进 一 步 的发 展 ． 本 文 的 主 要 研 究 内容 是 Ｓ 一 紧致性与 Ｓ 一 分离性 ． 以 及 在 此 基 础 上研 究 它 们 之 间 的关 系 ．
２ Ｓ一 分 离性
本 小 节 的 主 要 内容 是 介 绍 半 拓 扑 空 间 的 Ｓ 一 分
往下给 出 ． ｓ 一 分 离 性 的一 些 性 质 ． 定理 ２ ． ２ Ｘ是 Ｓ ． 一 空 间铮 的单 点 集是 半 闭集 ． 证明 ： 必要性 ： 取ｘ ， ｙ∈Ｘ， 当ｙ ＃ｘ时 ， 按定义 ， 有 存 在 Ｕ∈５ ． ０ ． （ Ｘ） ， 使 得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ ． 所 以 隹（ ， ， ） 一 ．
广 东技 术 师范 学 院学报 （ 自然科 学 ） ２ ０ １ ３年第 １ ２期
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
半 拓扑空 间的 Ｓ 一 分 离性 与 Ｓ 一 紧 致 性
得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ 或 Ｙ∈Ｕ且 岳Ｕ．则 称 拓 扑 空 间
（ ， 厂） 满足 ． ｓ 分 离 性 公 理 ， 称（ ， ，） 为 ｜ ｓ 空 间．
（ ２ ） 如果对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如果 ］ 、 Ｖ∈Ｓ ． ０ ． （ ） ，
拓扑学第四章紧致性
第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（X,d）的一个子集。
如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A，则称A是列紧的；如果（X,d）本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
•下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。
（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3）若A是（X,d）的列紧子集，则A是（X,d）的有界闭集。
（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（X,d）是列紧空间，则A列紧A是闭集。
（5）列紧的度量空间必是可分的。
•进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
U U A，则称U为A在X 定义2设A是（X,d）的一个子集。
U是X的一族开集，满足U U中的开覆盖；若U中只有有限个子集，称U为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间［a,b］具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为［a,b］上这个特性取决于［a,b］上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。
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?3.推论7.2.3 在一个紧致的 Hausdorff 空间中， 一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致
Hausdorff 空间：闭集 ? 紧致子集
紧致的hausdorff 空间：闭集 ? 紧致子集
二、紧致空间中的分离性公理
紧致空间中：
T4 空间 ? T3.5空间 ? T3 空间 ? T2 空间
? ? T1
正规空间 ?
? ? T1
完全正 ?
则空间
? ? T1 正则空间
3.定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果 A是X 中的一个紧致子集， U是A的一个开邻域，则存 在A的一个开邻域 V使得 V ? U ．
证明 设A是正则空间 X中的一个紧致子集， U是A的一个开邻域．
这就证明了 X是一个正则空间．
2.定理7.2.5 设X是一个Hausdorff 空间．如果
A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有
开邻域U和V使得U∩V= ? ． ?紧致＋T ? 正规 ? T
2
4
证明 设A和B是X的两个无交的紧致子集．
对于任何x∈A，根据定理 7.2.1，点x和集合B
分别有开邻域 U ,V , 使得 U ? V ? ? ．
对于任何x∈A，点x有一个开邻域 Vx使得 Vx? ? U.
集族{ Vx| x∈A}是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有有限子族，设为 { V1 ,V2 ,...Vn }，覆盖A．
令
V
?
?
V n
i?1 i
，它是 A的一个开邻域，并且
V
?
(?
V n
i?1 i
)
?
?
?
V n ?
i?1 i
?
U.
每一个紧致的正则空间都是正规空间．
y
x
A
U y ? Vy ? ?
证明 设A是一个紧致子集， x∈ A?．
对于 每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff 空间，
故存在x的一个开邻域 U y 和y的一个开邻域Vy
使得
U y
?
V y
?
?
.
集族{ Vy | y∈A}明显是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有一个有限子族，设为 { Vy1,Vy2 ,...Vyn }，覆盖A．
所以又是闭集 . 这证明f是一个闭映射．
因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射 即是一个同胚，所以我们有：
2.推论7.2.9 从紧致空间到 Hausdorff 空间的 任何一个既单且满的（即一一的）连续映射都 是同胚．
?2.推论7.2.2 Hausdorff 空间中的每一个紧 致子集都是闭集．
证明 设A是Hausdorff 空间X的一个紧致子集．
对于? x? X,若x? A,由定理7.2.1知 ?U ? U x V ?VA 使得U ? V ? ? ,即有U ? A? {x} ? ? , 故 x ? d ( A)，从而 d ( A) ? A，? A为闭集 .
xx
x
x
集族{U x| x∈A} 是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有一个有限子族，设为 {U x1,U x2 ,...U xn}，覆盖A．
令
U
?
?
n i?
1U
xi
,V
?
?
V n
i?1 xi
由于对于每一个 i＝1，2，…，n有 U x∩V= ? ， 所以U∩V= ? ．
?推论7.2.6 每一个紧致的 Hausdorff 空间都 是T4 的.
1.推论7.2.4 每一个紧致的 Haudorff 空间都是
正则空间．
?紧致＋
T 2
?
T 3
证明 设A是紧致的Hausdorff 空间X的一个闭子集， x是X中的一个不属于集合 A的点．
由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定 理7.1.5 ），所以 A是一个紧致子集．
又由定理7.2.1知 ?U ?U x ，V ? VA 使得U ? V ? ? ,
令
U
?
?
U n
i?1
yi
,V
?
?
in?1Vyi，它们分别是点 x和集
合A的开邻域．
此外，由于对于每一个 i=1，2，…，n有：
U ? Vyi ? U y1 ? U y2 ? ... ? U yn ? Vyi ? ?
所以 U ? V ? (U ? Vy1 ) ? (U ? Vy2 ) ? ... ? (U ? Vyn ) ? ?
§7．2 紧致性与分离性公理
本节重点 :掌握紧致空间中各分离性公理 的关系.
掌握Hausdorff 空间中紧致子集的性质 .
一、Hausdorff 空间中紧致子集
?1. 定理7.2.1 设X是一个Hausdorff 空 间．如果 A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集， 则点x和紧致子集 A分别有开邻域U和V使得 ? U∩V=
紧致的正规空间可以不是正则空间．
三、紧致空间到 T2的连续映射 1.定理7.2.8 从紧致空间到 Hausdorff 空间 的任何一个连续映射都是闭映射 ．
证明 设 X是一个紧致空间， Y是一个 Hausdorff 空间，f:X→Y是一个连续映射．
如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的 . （参见定理 7.1.5） 因此它的象集 f（A）是 Hausdorff 空间Y中的一个 紧致子集（参见定理 7.1.4），