29-2 自由电子按能级的分布
元素的电子结构能级与轨道的分布规律
元素的电子结构能级与轨道的分布规律元素的电子结构是指元素的原子中电子的分布情况，包括电子的能级和轨道。
电子的分布规律对于理解元素的化学性质以及元素周期表的排列规律具有重要意义。
本文将介绍元素的电子结构能级与轨道的分布规律，并探讨其对元素性质的影响。
一、元素的电子能级与轨道元素的电子能级是指电子在原子中所具有的能量级别。
每个能级可以容纳一定数量的电子。
根据量子力学理论，每个能级又可以分为不同的轨道，其中最常见的轨道有s、p、d、f轨道。
s轨道是最内层的轨道，能容纳2个电子。
p轨道是第二层的轨道，能容纳6个电子。
d轨道是第三层的轨道，能容纳10个电子。
f轨道是第四层的轨道，能容纳14个电子。
二、元素电子结构能级的填充规律元素的电子遵循填充轨道的原则，即按照能级的顺序填充电子。
根据晶体场理论，元素的电子结构填充顺序遵循一定的规律。
首先填充的是1s轨道，它是最低能级的轨道，能容纳2个电子。
接着填充的是2s轨道，也是能级较低的轨道，同样能容纳2个电子。
然后依次填充2p、3s、3p、4s、3d、4p轨道。
填充顺序遵循“能量最低、电子数最少”的原则。
一般情况下，每个能级的轨道都应当填满电子，直到能够容纳的最大电子数。
然而，由于元素的化学性质不同，填充电子的具体顺序可能会有些特例。
三、元素电子结构能级与化学性质的关系元素的电子结构能级与化学性质有密切关系。
电子的分布情况决定了元素的化学反应性质以及化合价的确定。
原子的外层电子数目决定了元素的化学反应性质。
具有相似电子结构的元素，往往具有相似的化学性质。
例如，所有碱金属元素都有一个电子位于外层的s轨道，因此它们具有相似的反应性质。
元素的化合价也与电子的分布情况有关。
化合价是指元素在化合物中与其他元素形成化学键时所具有的电荷数。
根据元素的电子结构能级，我们可以预测元素的化合价。
例如，2s轨道上的元素通常具有化合价为2的倾向。
此外，元素的电子结构能级还与元素周期表的排列顺序有关。
1.1 自由电子理论g
• • •
•
实际测量的电子自由程比经典理论估计值大许多； 电子的比热容测量值只是经典理论值的百分之一； 霍尔系数按经典自由电子理论只能为负，但在某些金 属中发现有正值； 无法解释半导体，绝缘体导电性与金属的巨大差异。
这些表明经典电子论的不完善，它问题根源在于 立足于牛顿力学，机械地搬用经典力学去处理微观质 点的运动，因而不能正确反映微观质点的运动规律。 微观粒子的运动问题需要用量子力学的概念来解决
•
独立电子近似（independent electron approximation）—— 忽略金属中电子和电子之间的相互作用 碰撞近似（collision approximation)——瞬时，直线，遵循 经典力学运动规律，象理想气体分子一样，服从麦克斯 韦—玻耳兹曼统计规律！ 弛豫时间近似(relaxation approximation)——
第1章 材料的电子理论
材料物理性能 理论基础
原子间的键合
晶体结构
电子能量结构与状态 (电子理论)
1.1 金属的电子理论
原子最外层活跃的价电子的运动规律
金属的电子论大致划分为三个阶段： 1. 古典自由电子理论
连续能量分布的价电子在均匀势场中的运动
2. 量子自由电子理论
不连续能量分布的价电子在均匀势场中的运动
1909密立根油滴实验给出最早的电子电荷精确值为 e= 1.60×10-19C me=9.11×10-31kg
经典物理
粒子 波
运动状态
非局域（散布在 局域性（有一定 整个空间或部分 尺度） 空间） 频率 波长 振幅 等
描写运动及其规 坐标 动量 能量 律的物理量 等
电子的波动性
人类对光的认识过程: 波动说－－微粒说 • 19世纪末前，人们坚信光是一种电磁波，服从 Maxwell电磁波动理论。 • 波动学说无法解释黑体辐射、光电效应、康普顿效 应！（光的发射和吸收现象） • 1900年，普朗克提出（谐振子）能量量子化假说 • 1905年爱因斯坦受普朗克量子假定启发，提出光由 “光量子（光子）”组成假说并成功解释了光电效 应。
29-2 自由电子按能级的分布
EF
29-2 自由电子按能级的分布
EF
第二十九章 固体中的电子
Etotol Eg (E )dE
0
(2me ) 12 E E d E 2 3 0 2 52 1 3 3 2 EF (2me ) nEF 2 3 5 5
EF
32
电子的平均能量
Etotol 3 E EF n 5
2a z , nz
p x nx , a
p y ny , a
2
p z nz , a
电子的能量（按非相对论情况考虑）
1 p 1 2 2 2 2 E mev ( px p y pz ) 2 2me 2me
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
电子具有波动性，因此在金属中的电子只 要它们的德布罗意波长比周期势场的空间周期 大得多，它们的运动就不受到这种势场的明显 影响。 因此，金属中的公共的电子可认为是自由 电子，而其集体称为自由电子气。
U
d
r
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例1：铜的密度为 8.9×103kg/m3，试求铜 离子的间距. 解：已知铜的密度
费米能量
EF (3 )
2 23
23 n 2me
2
费米能量EF仅决定于金属的自由电子数密度 费米速度：和费米能量对应的自由电子具有 一定的最大速
2 EF vF me
费米速度可达106 m/s !
费米温度：电子具有费米能量费米温度均高于104 K
29-2 自由电子按能级的分布
0
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
电子在各量子态中的分布
−3
f (E,T )
1
T=0K T≠0
这时， ， 这时，f≠0， 即E> EF的状态被电子占据的 几率不为零， 几率不为零，表示有电子占据
E
0 EF
分布函数 f ( E , T ) 的图形
要研究激发态电子的分布， 要研究激发态电子的分布，重新确定 µ (T )
即：
V 2m 3 / 2 ∞ E 1 / 2 dE N= ( 2 ) ∫ ( E − µ ) / k BT 2 0 e 2π ℏ +1
下面先讨论T=0K的基态，然后再讨论 的基态，然后再讨论T≠0K的激发态 下面先讨论 的基态 的激发态
二 基态
当T=0K时，分布函数为： 时 分布函数为：
lim f ( E , T ) = lim
T →0 T →0
1 e ( E − µ ) / k BT
f =1 f =0
1 − − − − E 〈 µ (0) = + 1 0 − − − − E 〉 µ (0)
k BT 范围内
第五章 金属电子论
§5.4 电子热容
π 2 (k BT ) 2 3 电子的平均能量为 E = E F + 5 4 π 2 (k B T ) 2 E = E = [ EF + ] V V 5 4 EF
对热容的贡献为： 对热容的贡献为
，
γ =
µ (T )
经过复杂运算， 经过复杂运算，可得出激发态下每个电子的平均能量为
(k BT ) 2 3 π E = EF + 5 4 EF
2
第一项是T=0K时的平均能量 时的平均能量 第一项是 第二项是由电子的热激发的贡献 按泡利原理，只能是费米面内能量为 按泡利原理， 的电子可以激发到费米面外的空状态 这部分电子数约占总数的 k BT / EF 每个受激发的电子获得的热能平均为 k BT 所以总的激发能量约为 k BT (k BT / EF )
金属的费米-- 索末菲电子理论
温度高于0K时电子分布情况 温度高于0K时电子分布情况 0K
E EF , f ( E ) = 0 E > EF 1 E − Ev ≤ kT , f ( E ) < 2
E EF , f ( E ) = 1 E < EF EF − E ≤ kT , f ( E ) < 1
金属的费米-1.2 金属的费米-- 索末菲电子理论
电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。 电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。对 固体电子能量结构和状态的认识， 固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状 态的认识。 态的认识。 金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。
美国物理学家。生于意大利罗马。 美国物理学家。生于意大利罗马。 1922年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位 1923年前往德国。在玻恩的指导下从事研究 年前往德国。 玻恩的指导下从事研究 年前往德国 工作。 工作。 1925年一月至 年一月至1926年秋季在佛罗伦萨大学 年一月至 年秋季在佛罗伦萨大学 工作，开始研究费米-狄拉克统计问题 狄拉克统计问题。 工作，开始研究费米 狄拉克统计问题。 1929年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士 1934年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象 开始中子物理学研究。被誉为“ 开始中子物理学研究。被誉为“中子物理学 恩利克•费米 恩利克 费米 之父” 之父”。 1936年出版的热力学讲义。成为后人教学用 （Enrico Fermi 年出版的热力学讲义。 年出版的热力学讲义 书的著名蓝本。 书的著名蓝本。 1938年由于 “通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 年由于 通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 1941年底，费米在哥伦比亚大学主持建造了世界上第一座原 年底， 年底 子反应堆 他于1954年去逝。100号化学元素镄就是为纪念他而命名的 他于 年去逝。 号化学元素镄 年去逝 号化学元素
固体物理课后习题答案
第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-Tk E E BF e gn ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-Tk E E BF e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=Tk i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n:()3/222032πn mE F=,()3/2220310353πn mE EF ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移)(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式xk Sxx ESv e j Fετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率E S v e k S xF ∇=⎰d 4222τπσ看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比.13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因?[解答]按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=mB mB T k pTk ce v eD V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1,作变量变换T k x B ω =,得到甚低温下333232T v Ak n p Bπ=,其中⎰∞-=021d xe x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B DB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x xe x x e x x B 。
南昌大学材料性能学重点 材料电学性能
第二章材料电学性能内容概要：本章介绍金属的导电机理，以及影响金属导电的因素，导电率的测量方法及其它材料的电学性质。
具体内容和学时安排如下：第一节导电性能及本质要求学生掌握导电的三大理论：经典电子理论；电子的量子理论；能带理论。
这三大理论的成功或不足点。
理解自由电子、能级和能带、周期性势场、能带密度、K空间的概念。
第二节金属导电性能影响因素理解温度、相变、应力和热处理（淬火和退火）对材料导电性能的影响。
第三节合金的导电性能理解固溶体和化合物的导电性第四节电阻率的测量电阻率的测量方法有单电桥法；双电桥法；电子四探针法。
重点要求掌握单电桥法。
第五节电阻分析应用根据电阻率与温度的线性关系，可来研究材料的相变，材料的组织结构变化。
第六节超导电性掌握超导的两大性能：完全导电性和完全抗磁性。
掌握超导态转变为正常态的三个条件：临界温度；临界电流；临界磁场。
超导的本质－BCS理论。
第七节材料的热电性能了解三大热电现象：第一热导效应、第二热电效应、第三热电效应。
第八节半导体导电性的敏感效应了解半导体能带结构特点；半导体导电有本征导电和杂质导电;实现导电的条件。
第九节介电极化与介电性能掌握电介质极化机理和介电常数的本质第十节电介质的介电损耗了解电介质的能量损耗。
（共12个学时）第一节导电性能及本质材料的电学性能是指材料的导电性能，与材料的结构、组织、成分等因素有关。
一、电阻与导电的概念Ｒ＝Ｕ/I R 不仅与材料的性质有关，还与材料的几何形状有关 。
SL R ρ=L 与材料的长度，ｓ与材料的横截面积，ρ为电阻率，单位为 m Ω∙ρσ1=值越小，a 值越大。
ρ 值愈小，σ值愈大。
纯金属：e 为10-8～10-7合金： 10-7～10-5半导体：10-3～109绝缘体：﹥109导电性能最好的金属是银、铜、金，其电阻率分别为1.5×10-8Ω⋅m 、1.73×10-8Ω⋅m 、等 二、导电机理及能带理论关于材料的导电机理有三大理论：经典电子理论；电子的量子理论；能带理论。
第一章 热电子发射 第1讲
引言
热电子发射定义：
利用加热的方式使固体内部电子动能增加，其中一部 分电子动能大到足以克服表面势垒而逸出固体表面，
形成发射。
3
引言
托马斯·阿尔瓦·爱迪生 （Thomas Alva Edison， 1847.2.11—1931.10.18）
1883年，美国科学家爱迪生为 了寻找电灯泡最佳灯丝材料，曾 做过一项小小的实验。他在真空 电灯泡内部碳丝附近安装一小截 铜丝，希望铜丝能阻止碳丝蒸发。 实验结果使爱迪生大失所望，但 在无意中，他发现，没有连接在 电路里的铜丝却产生了微弱的电 流。爱迪生并不重视这个现象， 只是把它记录在案，申报了一个 未找到任何用途的专利，称之为 “爱迪生效应”。
7
§ 1 金属中的电子
量子自由电子论
1928年， 索末菲（A.Sommerfeld）从量子力学观点阐明 了金属的自由电子模型：金属内部的自由电子速度分布遵 从费米-狄拉克统计分布，在金属表面存在足够高的势垒， 如果把电子从金属内部移到外部，必须对电子做相当的功。
8
§ 1.1 金属的索末菲自由电子模型
解为
x Aei2kx Bei2kx
利用索末菲模型,当x 0时,有A B 0,得A B,式1.4变为
x A ei2kx ei2kx
1.4 1.5
金属中共有化运动的价电子的波函数与真空中自由电子的波函数一样,
是一平面波, k为波矢.
1电子靠近原子核，即r〈rk rk是k层电子轨道半径
时，存在一个由整个原子核电荷Ze建立的库仑场，
其势能函数为eV C Ze2 / r ， C为常数。
2当r〈k r〈rl rl是L层电子的半径时，核电场被k层
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电子的能量
E
2 2
2me a
( n n n ) 2
2 x 2 y 2 z
对于任一由nx , ny , nz 各取一定值所确定 的空间或轨道状态，电子具有一定的能量。 且同一 ( n n n ) 值可以由许多nx , ny , nz 值组合而得，电子的能级是简并的。
2 x 2 y 2 z
第二十九章 固体中的电子
电子具有波动性，因此在金属中的电子只 要它们的德布罗意波长比周期势场的空间周期 大得多，它们的运动就不受到这种势场的明显 影响。 因此，金属中的公共的电子可认为是自由 电子，而其集体称为自由电子气。
U
d
r
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例1：铜的密度为 8.9×103kg/m3，试求铜 离子的间距. 解：已知铜的密度
第二十九章 固体中的电子
态密度：单位体积单位能Байду номын сангаас区间的量子态数， 记为g(E)
dns (2me ) 12 g (E) E 2 3 dE 2
g( E )
a
32
g( E ) g( E ) g( E )
b 0 E EF 电子态密度分布曲线和 0K时电子能量分布
E EF 电子态密度分布曲线和 300K时电子能量分布
费米能量
EF (3 )
2 23
23 n 2me
2
费米能量EF仅决定于金属的自由电子数密度 费米速度：和费米能量对应的自由电子具有 一定的最大速
2 EF vF me
费米速度可达106 m/s !
费米温度：电子具有费米能量时的温度
EF TF k
各金属的费米温度均高于104 K
29-2 自由电子按能级的分布
0
EF
29-2 自由电子按能级的分布
EF
第二十九章 固体中的电子
Etotol Eg (E )dE
0
(2me ) 12 E E d E 2 3 0 2 52 1 3 3 2 EF (2me ) nEF 2 3 5 5
EF
32
电子的平均能量
Etotol 3 E EF n 5
2a x , nx
2a 2a y , z , ny nz 量子数 nx , ny , nz 1,2,3, x
a a a y
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
电子在各方向的动量分量
2a 2a x , y , nx ny h 2 依 p
1 4 3 Ns 2 R 8 3 3 1 32 a 32 (2me ) E 2 3 3
nz
( nx , ny , nz )
ny
nx
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
单位体积内自由电子能量小于E 的可能 状态总数 32
Ns 1 32 E ns 3 (2me ) 2 3 a 3
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
金属价带中的电子能量较高为共有化电子， 且都要受晶格上正离子的库仑力的作用。因此 这些正离子对共有化电子形成周期性的库仑势 场，其空间周期为离子的间距 d。
对于波动，线度比波长小得多的障碍物对 波的传播是没有什么影响的。
U
d
r
29-2 自由电子按能级的分布
3
64 10 3 3 23 8.9 10 6.02 10 10 2.3 10 m
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例2：室温下电子的德布罗意波长。
3 kT 解：电子的方均根速率 v me 电子的德布罗意波长 h h h p mev 3me kT 34 6.63 10 31 23 3 9.1 10 1.38 10 300 9 6 10 m
与能量E 对应的量子态半径 R
nz
( nx , ny , nz )
2me a R E 2 2
2
ny
nx
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
能量小于E的状态数就是在此球内的所有 状态数。 当R足够大时，球内1/8体积内的状态数就 等于球内相应的体积。 该金属块具有的能量小于E 的可能状态总数
由能量最低原理和泡利不相容可知，电子 将从能量最低的状态开始一个个逐一向上占据 能量较高的能级。 用 n 表示金属中单位体积内的自由电子数。 费米能级：在T = 0时，金属中自由电子可能 占据的最高能级，相应的能量叫费米能量EF
n ns
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
0
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
例：求0K时单位体积内自由电子的总能量和 每个电子的平均能量。 解：依态密度
(2me ) 12 g (E) E 2 3 2
32
单位体积内，能量 E + dE 的状态数
dns g (E )dE
单位体积内自由电子的总能量
Etotol Eg (E )dE
m 3 3 8.9 10 kg/m V
铜的摩尔质量
M mol 64 10 kg/mol
3
单位体积内铜离子数
n
M mol
NA
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
单位体积内铜离子数
铜离子的间距
n
M mol
NA
1 d3 n
3
M mol NA
2a z , nz
p x nx , a
p y ny , a
2
p z nz , a
电子的能量（按非相对论情况考虑）
1 p 1 2 2 2 2 E mev ( px p y pz ) 2 2me 2me
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
波长比离子间距大得多，所以铜块中的电 子可以看成是自由电子。
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
由于在常温下，电子很难逸出表面，所以 金属表面对电子有一个很高的势垒。 作为一级近似，可认为金属中的自由电子 处于一个三维的无限深方势阱中。 三维的无限深方势阱中，粒子的每一个能 级本征态对应的德布罗意波为驻波，即要求三 个方向都为驻波的形式， z 设金属块的边长为a，则
29-2 自由电子按能级的分布
第二十九章 固体中的电子
以nx , ny , nz 为三个相互垂直的坐标轴建立 量子数空间，则各量子数均为正值的1/8空间内， 任一具有整数坐标值的点都给出一组量子数， 因而代表电子的一个可能的状态。
半径 R
n n n 的球面
2 x 2 y 2 z
上各点具有相同的能量。