股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析

股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析康书隆2002级数量经济硕士研究生内容摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具.期权之所以能够规避市场风险是因为金融证券的收益同相应的金融衍生物的收益总是负相关的。

理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险利率，从而获得无风险收益。

这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。

上个世纪七十年代初期，Black 和Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推倒出了无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。

从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。

这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定，完善与繁荣。

本文首先将尝试着阐述期权定价理论产生的背景，过程及其带来的重大意义；在其后部分，我们将分析这一理论的数学基础以及Black---Scholes 随机微分方程的推导过程；最后我们将运用有限插分的方法来求解Black---Scholes 随机微分方程。

之所以这样做，是为了弥补Black---Scholes 随机微分方程解析解只能够对欧式期权进行定价的不足。

最后，我们将定量分析执行价格的变化和股票平均波动率变化对期权价格的影响。

并且绘制出一系列的图形帮助人们理解这种影响。

从而对于人们理解一些参数的变化对于期权价格的影响有一定的帮助。

关键词：维纳过程，伊藤过程，Black_Scholes 方程, 期权。

一、期权定价理论产生的背景，思想和重大意义１.1: 期权定价理论产生的背景Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为四个:预期股票价格、交割成本、股票价格波动幅度和时间。

其成功之处在于:第一,提出了风险中性(即无风险偏好)概念,且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数,大大简化了对金融衍生工具价格的分析;第二,该型创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能,创立了新的金融衍生工具——标准期权。

布莱克和斯科尔斯1971年提出这一期权定价模型, 1973年在《政治经济学报》上得以发表他们的研究成果。

一个月后,在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。

期权交易诞生后,许多大证券机构和投资银行都运用Black-Scholes期权定价模型进行交易操作,该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。

控制风险是Black-Scholes期权定价模型的重要意义之一。

70年代以后,随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快,汇率和利率的波动更加频繁,变动幅度也不断加大,风险增加。

控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。

Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权,同时,也为将数学应用于经济领域,创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。

Black-Scholes定价模型指出,在一定条件下,人的集合行为满足一定数学规律。

这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的旧观念。

通过数学的定量分析,不仅投资者可更好地控制自身交易的风险,更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。

由于布莱克的专业是应用数学和物理,最早从事火箭方面的研究,因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。

斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作,堪为“理论联系实际”的典范。

他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路,也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。

这对整个经济发展显然是有益的。

1.2 期权定价理论基本思想1.金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。

交易者既担心错估金融工具的价值,又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。

2.金融衍生物的价值依附于其标的物,其价格却受制于并反作用于标的物的价格。

金融衍生物如期货、远期等用于基本金融工具和金融现货反向交易手法,可规避风险免除交易者的担心。

股票期权是股票现货的衍生物,分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。

例如,一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月会下跌,于是就购买其“看跌期权”,这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。

如果这种股票的价格真的下跌,那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。

若股票价格上升,期权就变得分文不值,但投资者只是损失了购买期权的少量期权费,却在股票上获利。

但大量的投机者往往脱离基本金融工具和金融现货的基础进行投机交易,而这种交易又只需交纳少量保证金即可博取大量交易,所以风险大且频繁。

3.期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险,但又使他的估值和定价非常复杂和困难。

所谓“或有”即是在所期望的情况发生时,行使其对标的物的买权或卖权才有意义。

期权的作用一是保险:买者可以一个可能性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入,卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损失;二是转移风险:期权购买者有利则履约,无利则不履约。

期权卖者以权利金弥补接受履约的损失,若不需接受履约,则净赚期权费。

期权是对标的物的买权或卖权,期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。

期权并不直接代表其期权定价理论及其运用标的物,所以其定价和估值不能直接依据其标的物的价格和价值。

期权既然是一种权利,那么就有一种时间价值和内涵价值。

“有权不用,过期作废”,是指权利的时间价值。

有效期时间越长,权利的时间价值越大。

“谁的官大,就听谁的”,是指权利的内涵价值。

“官位”(标的物价格)越高,权利的内涵价值越大。

从“官位”看,期权的内涵价值与其标的物价格和价值是相关的,但为非线形相关;而时间价值既与有效期时间的长短有关,也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。

所以期权的定价要用到随机过程和随机微分方程等相当艰深的数学工具,因此非常困难。

4.期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映,而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。

刻画标的物的价格运动规律既是研究期权定价的出发点又是关键。

经典的期权分为欧式期权和美式期权,欧式期权在到期日才可执行,美式期权在到期日之前的任何一天都可以执行。

他们的原始研究是面向以不分红股票作为标的物的欧式期权。

在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一系列的假设条件后,对作为标的物的股票价格运动的规律作了一个基本的假定:即股票价格的运动是连续变化的,遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规律,在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。

布莱克和斯科尔斯用期权、标的物股票、和一种无风险证券构筑成一个无套利均衡组合头寸。

这个组合头寸要不断地进行动态调整才能保持住无套利均衡的条件。

依据伊藤过程的研究结果,他们建立起Black-Scholes随机微分方程。

这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。

按照期权到期时的情况,可以定出这个随机微分方程的终端条件,再倒向解出这个微分方程的初始值的表达式,就得出期权定价公式。

1.3 期权定价理论的重大意义期权定价理论的产生与完善,对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用.它避免了人们对期权定价的主观盲目性,式交易双方能够进行公平合理的交易.为在风云瞬息万变的市场中经营的人们提供了一条有效的规避风险的途径,使人们敢于承担风险,投资经营,极大的促进了市场经济的发展.并且,期权定价理论向我们提供了一种处理随机现象的思想,为我们处理其他带有随机扰动的问题提供了一种好的思路.二、期权定价方法的理论基础__布朗运动，伊藤公式和Black__Scholes 微分方程期权定价的主要研究工具是随机过程的一个分支——随机微分方程。

随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。

伊藤 (Ｉｔｏ)在探讨马尔可夫过程的内部结构时 ,认为布朗运动(又称维纳过程 )是最基本的扩散过程 ,能够用它来构造出一般的扩散运动。

布莱克—斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程 :ｄＳ =μＳｄｔ+σＳｄＺ ,这里Ｓ表示股票价格 ,股票预期收益率 μ及波动率σ(σ≠ 0)均为常数 ,ｔ代表时间 ,Ｚ为标准布朗运动。

在无交易成本、不分股利的假设下 ,得出欧式看涨期权价格Ｃ应满足如下微分方程 (γ为无风险利率 ) :s d z sGdt s s G t G s s G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 利用偏微分方程的理论求出的方程解析解 ,即著名的布莱克—斯科尔斯公式。

2．1 布朗运动股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。

布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。

布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。

股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。

关于这一点假设，文章中还会有比较详细的说明。

定义2．1随机过程}{0),(≥Z t t 如果满足：（1） 过程具有正态增量； （2） 过程具有独立增量； （3） }{0),(≥Z t t 是一个连续函数。

则称}{0),(≥Z t t 为布朗运动，也成维纳过程。

布朗运动的性质：（1）假设一个小的时间间隔为,t ∆定义，z ∆为在,t ∆时间内维纳过程z 的变化，则， z ∆=t ∆ε， )1,0(~N ε; （2） E z ∆=0； D z ∆=,t ∆ 则有，E [Z （T ）]=0； D[Z （T ）]=T ；下面几幅图片可以帮助我们理解布朗运动的几何意义 由于 ;dt dz ε=所以 t z ∆≈∆ε ; 当 0→∆t 时ε=dtdz ; 通过迭代方法,我们可以产生布朗运动的近似图像 .当t=0.01时，我们通过迭代方法近似的得到了布朗运动的给轨迹。

可以看出，布朗运动的轨迹确实没有什么规律可言。

.定义 2.2：设}{0),(≥Z t t 为布朗运动，则称 bdz adt t dx +=)( 唯一般化的维纳过程。

称 a 为漂移系数；b 为过程x （t ）的平均波动率。

并且我们有（1） t a t x E ∆=∆)( ； （2） t b t x D ∆=∆2)(； （3） aT T Ex =)(； （4） T b T Dx 2)(=。

在现实生活中, 我们用一般化的布朗运动来描述股票价格的变化.影响股票价格变化的因素主要有以下两点: 股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率.前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短;后者至取决于布朗运动造成的随机波动.所以,股票价格的变化可以看成是两个分以上力决定的.如果我们不计算 z ∆在内, 则 adt dS = ;即 at S S +=0 ;这说明股票价格具有线性增长的性质. 如果我们考虑z ∆项在内 ,则有);(0t Z at S S ++=.其中,最上边那条随机波动的曲线代表股票价格,斜向上的直线代表不计随机波动影响的股票价格,下面那条随机波动的曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动.由此可见,真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成.定义 2.3 ：如果随机过程}{0),(≥Z t t 是维纳过程，则称随机过程}{0),(≥t t x 为几何布朗运动，如果0,)()(≥=t e t x t z 。