第7章 运输问题

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有关闭回路的一些重要结果
定理1 设 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js x 是一个闭回 is j1 路，则该闭回路中的变量所对应的系数列向 量 Pi1 j1 , Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 ,, Pis js Pis 具有下面的关 j1 系：
形式的变量集合称为一个闭回路 , 并称式中变 量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不 相同, j1 , j 2 ,, j s 互不相同。
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练习 下面的折线构成的封闭曲线连接的顶点 变量哪些不可能是闭回路？为什麽？
（a）
（b）
（ c）
（d）
（ e）
表中的折线构成一条封闭曲线，且所有的 边都是水平或垂直的；为什麽？ 表中的每一行和每一列由折线相连的闭回 路的顶点只有两个；为什麽？
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 三产销地 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
定理的证明可借助定理1和高等代 数中“向量组中，若部分向量线性相 关，则整个向量组就线性相关”的定 理得到。
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定理3 不包含任何闭回路的变量组中必 有孤立点。
所谓孤立点是指在所在行或列中出现于该 变量组中的唯一变量。
可用反证法证明结论成立。
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xir对应的 定理4 r个变量 jr 系数列向量线性无关的充要条件是该变 量组不包含闭回路。
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证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x 21 , x 31 , , x m1 对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
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两个产地
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§1 运 输 模 型
一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、 B2、…、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj 的单位运价。 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量 问题的模型： Min f = cij xij
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2.运输问题的基变量总数是m + n -1
写出增广矩阵
x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2 n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn 1 a1 1 1 1 1 1 a 2 A 1 1 1 am 1 1 1 b1 1 1 b2 1 1 1 1 bn
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必要性的证明可考虑用反证法结合定理 2 的结果进行，充分性的证明可借助定 理 3 ，根据向量组线性无关的定义用归 纳法得证。 推论 m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是该变量组不含闭回路。
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§2 运输问题的计算机求解
例2、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量 一区 1.80 1.60 M 2700 一区 1.80 1.60 0 300 二区 1.70 1.50 M 1000 三区 1.55 1.75 M 1500 三区 1.55 1.75 0 500 产量 4000 1500 500 6000 6000
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
产量 200 300
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§1
运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所 示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
产量 300 300 600
产大于销，生产能力富余，可 假想为库存，运费为零 管 理 运 筹 学
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§2 运输问题的计算机求解
例3、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每 件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相 同，有关数据如下表：
A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
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a1 a2 am b1 b2 bn
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1 1 D 1 1 1 1 按第一列展开 m 1 （ 1 ） 1 1 1 1 1 0 1 1 0
可以证明： m+n 个约束方程中的任意 m+n-1 个 都是线性无关的。
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运输问题的特点与性质
§1 运 输 模 型
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出上式的系数矩阵A，形式如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2 n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供 应能力分别为1500、4000吨，运价为：
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 6000 产量 4000 1500 5500
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
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Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
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3. m+n-1个变量构成基变量的充要条件是 它们不构成闭回路。
定义凡是能排成
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js xis j1
或
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js xi1 js
试求总费用为最低的化肥调拨方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D 销量 1’ 16 14 19 M 30 1” 16 14 19 0 20 2 13 13 20 M 70 3 22 19 23 0 30 4’ 17 15 M M 10 4” 17 15 M 0 50 210 产量 50 60 50 50 210
第七章
§1 §2 §3 §4*
运 输 问 题
运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
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§1
运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各 产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
ei1 em j1 (ei1 em j2 ) ei2 em j2 (ei2 em j3 ) eis em js (eis em j1 ) 0
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定理2 若变量组
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xir jr
中有一个部分组构成闭回路，则该变 量组对应的系数列向量线性相关。
件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费