数字信号处理第五章(经典)
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第五章 数字信号处理课后答案刘顺兰版
H α ( s ) = H αN (
ω c = 2πf c T = 2π × 400 HZ / 6000 HZ =
Ωc = 2 ωc 2 π 2 tg = tg ( ) = 0.2 × T T 2 T 15
2π 15
s=
2 1 − z −1 , T 1 + z −1
s = Ωc
1 − z −1 −1 π tg ( ) 1 + z 15 1 1
=
1 + 3z −1 + 3z −2 + z −3 0.005376(1 + 3z −1 + 3z −2 + z −3 ) = 186 − 412 z −1 + 318 z − 2 − 84 z −3 1 − 2.215 z −1 + 1.71z − 2 − 0.4516 z −3
5.24 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字高通滤波器，采样频率为 f s = 6 KHZ ，截止 频率为 f c = 1.5 KHZ （不计 3KHZ 以上的频率分量） 。 解法 1：三阶巴特沃思低通模拟滤波器的原型函数：
按照冲激不变条件，可以写出
因此系统函数为
H ( z ) = ∑ h(n) z − n
n =0
∞
1 1 2 2 = + 1 − e − aT e − jbT z −1 1 − e −aT e jbT z −1 = 1 − (e − aT cos bT ) z −1 (1 − e − aT e − jbT z −1 )(1 − e −aT e jbT z −1 )
所以
ω1 + ω 2
H BP ( z ) = H αN ( s )
s=
1 1+ z − 2 3 1− z − 2
数字信号处理-第五章
系 统 函 数
：
H (z) n M 0h (n )z n Y X ( (z z ) ) b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 b M z M
单位脉冲响应的值等于差分方程系数：
h
h(n)=bn
n=0,1,·····,M
33
FIR数字滤波器的特点：
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
h
26
还可以如下式这样进行分解： H (z)1 1 0 0..6 4z z 1 11 1 0 0..5 3z z 1 1H 3(z)H 4(z)
h
27
级联型结构的特点：
调整某一路的分子系数能单独调整滤波器的一组 零点，而不影响其它零极点； 调整某一路的分母系数能单独调整滤波器的一组 极点，而不影响其它零极点；便于调整滤波器频 率响应性能
直接型
h
38
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图所示。
级联型
h
39
5.5 线性相位网络结构
FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，0 n N 1 且满足：
偶对称： h (n ) h (N 1 n ) 或奇对称 h (n ) h (N 1 n ) ： 即对称中心在 (N-1) / 2处 则这种FIR滤波器具有严格线性相位。
bi zi
i0 N 1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
h
3
信号流图由基本支路构成
1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的 符号表示增益（缺省为1）
第五章 时域离散系统的基本网络结构
数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
第五章 数字信号处理- 微弱信号处理
第五章微弱信号处理5.1 微弱信号检测技术中气体浓度检测仪中的应用微弱信号不仅意味着信号的幅度小，而且主要指被噪声淹没中的信号。
为了检测被背景噪音淹没的信号，就需要分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点、相关性以及噪声的统计特性，以寻找出从背景噪声中检测有用信号的方法。
因此，微弱信号检测技术的首要任务是提高信噪比。
它不同于一般的检测技术，它注重的不是传感器的物理模型和传感原理、相应的信号转换电路和仪表实现方法，而是如何抑制噪声和提高信噪比。
由于被测量的信号微弱，传感器的固有噪声、放大电路及测量仪器的固有噪声以及外界的干扰噪声往往比有用信号的幅度大得多，放大被测信号的过程同时也放大了噪声，而且必然还会附加一些额外的噪声，因此只靠放大是不能把微弱信号检测出来的。
只有在有效地抑制噪声的条件下增大微弱信号的幅度，才能提取出有用的信号。
为了表征噪声对信号的淹没程度，引入信噪比SNR来表示，它指的是信号的有效值S与噪音的有效值N之比。
而评价一种微弱信号检测方法的优劣，经常采用两种指标：一种是信噪改善比SNIR，它等于系统输出端的信噪比SNR和系统输入段oSNR之比。
SNIR越大，表明系统抑制噪声的能力越强。
i另一个指标是检测分辨率，指的是检测仪器指示值可以响应与分辨的最小输入值的变化值。
检测分辨率不同于检测灵敏度，后者表示的是检测系统标定曲线的斜率，定义为输出变化量y∆之比。
一般情况下，∆的输入变化量x∆与引起y灵敏度越高，分辨率越好。
但提高系统的放大倍数虽可提高灵敏度，但却不一定能提高分辨率，因为分辨率要受噪声和误差额制约。
5.1.1 本检测系统的噪声源广义的噪声是扣除被测信号真实值以后的各种测量值，可以分为两类：一是干扰；另一被称为电子噪声（狭义）。
干扰是指被非被测信号或非测量系统所引起的噪声。
从理论上讲，干扰是属于理想上可排除的噪声。
不少干扰源发出的干扰是有规律的，有些具有周期性，有些只是瞬时值。
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第五章-unprotected
E[x(i)x( j)] −
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第5章
第5章 数字滤波器概论
5.3 实际滤波器的设计指标
5.3.1 图5.3.1是理想低通滤波器的幅频响应，该理想低通滤波
器具有截止频率ωd。可以看出，理想滤波器在通带内幅度为常 数(非零)，在阻带内幅度为零。另外，一般理想滤波器 要求具有线性相位(在第8章讨论)，这里假设相频响应 θ(ω)=0
h(n) sin(nd )
第5章 数字滤波器概论
1. 根据H(ejω) 一般数字滤波器从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样， 可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频 响应如图5.2.2
第5章 数字滤波器概论
图5.2.2 (a) 低通; (b) 高通; (c) 带通; (d) 带阻
第5章 数字滤波器概论
需要注意的是，数字滤波器的频率响应H(ejω)都是以2π 为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高通频 带处于π
5.3.2 当滤波器形状为非理想时，要用一些参数指标来描述其关
键特性。图5.3.5表示低通滤波器的幅频响应。滤波器的通带 定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对 信号严重衰减。ωp和ωs分别称为通带截止频率(或通带上限频 率)和阻带截止频率(或阻带下限频率)。参数δ1定义了通带波 纹(Pass Band Ripple)，即滤波器通带内偏离单位增 益的最大值。参数δ2定义了阻带波纹(Stop Band Ripple)，即 滤波器阻带内偏离零增益的最大值。
截短脉冲响应自然会对频率响应产生影响。截短后，滤波 器幅频响应曲线不再是理想矩形，通带不再平坦，有过渡带， 同时阻带衰减不再为零。图5.3.4给出了因果脉冲响应 的幅频响应。当然，脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶
第5章 数字滤波器概论 图5.3.4 非理想低通滤波器因果脉冲响应的幅频响应
数字信号处理 第五章
G0
G0
x(n )
•
• • •
•
11
•
•
z
01
1
11
• •
•
y (n )
• •
或
x (n )
21
•
z 1
•
• 01 • • 11 z 11 • • • z y (n ) • 21 • •
1 1
并联型网络结构的优缺点： 优点：运算速度快，调整极点方便，乘法运算量化误差在输出端的 噪声功率最小。 缺点：调整零点不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开较麻烦。
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z k
w 令： 1 ( n) bk x( n k )
k 0
M
有： y( n) w1 ( n) ak y(n k )
k 1
N
直接Ⅰ型
x (n)
z
• b1 z 1 b2 •
z 1 •
1
•
b0
w1 ( n)
• • • •
1
• •
1
• • •
y(n)
z 1
a1
a2
•
•
z 1
bM
aN
直接Ⅰ型 之1
•
z 1
x (n)
1
w2 (n)
• • •
a1
a2
• 1 z •
z
1
z 1
• 1 z • b1 z 1 • b2
z 1
w2 (n) b0
• • •
•
y(n)
x (n )
• • a1 z 1 • • 1 a z • 2 •
G0
x(n )
•
• • •
•
11
•
•
z
01
1
11
• •
•
y (n )
• •
或
x (n )
21
•
z 1
•
• 01 • • 11 z 11 • • • z y (n ) • 21 • •
1 1
并联型网络结构的优缺点： 优点：运算速度快，调整极点方便，乘法运算量化误差在输出端的 噪声功率最小。 缺点：调整零点不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开较麻烦。
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z k
w 令： 1 ( n) bk x( n k )
k 0
M
有： y( n) w1 ( n) ak y(n k )
k 1
N
直接Ⅰ型
x (n)
z
• b1 z 1 b2 •
z 1 •
1
•
b0
w1 ( n)
• • • •
1
• •
1
• • •
y(n)
z 1
a1
a2
•
•
z 1
bM
aN
直接Ⅰ型 之1
•
z 1
x (n)
1
w2 (n)
• • •
a1
a2
• 1 z •
z
1
z 1
• 1 z • b1 z 1 • b2
z 1
w2 (n) b0
• • •
•
y(n)
x (n )
• • a1 z 1 • • 1 a z • 2 •
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LPAF
H ( j )
c
HPAF
c
H ( j )
c
BPAF
c
H ( j )
c1
BSAF
c2
H ( j )
c2 c1 c1
c2
5、数字滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( e j )
……… ……… ………
2 c c
IIR DF类型有：
直接型、级联型、并联型。 直接型结构：
直接I型、直接II型（正准型、典范型）
1、 IIR DF系统函数及差分方程
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
H (z)
b Z
i 0 N i i 1
M
i
1 ai Z
Байду номын сангаас
i
Y (z) X (z)
注：以下我们讨论M<=N情况。
H (z)
bi Z i 1 ai Z i
i 1 i 0 N
M
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
零、极点ci 和d i 只有两种情况： (a )或者是实根 (b)或者是共轭复根
系统函数系数分析
H (z) A (1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
3、直接II型（正准型/典范型）
直接II型原理 一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次 序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。 即： （1）交换两个级联网络的次序。
（2）合并两个具有相同输入的延时支路。
直接II型的结构流图：过程1--对调
x(n)
b0 a1 a2
y(n) z-1
β1M
a21
则这一系统差分方程为：
y( n) a i y( n i ) bi x( n i )
i 1 i 0
N
M
2、直接I型
直接I型流图
y( n) a i y( n i ) bi x( n i )
i 1 i 0
N
M
IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表
其方框图及流图结构如下：
x(n) b0 y(n)
x(n) b0
a1 a2
z-1 z-1
y(n)
a1
a2
z-1 z-1
说明：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。 以后我们用流图来分析数字滤波器结构。
四、数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1、从功能上分；低通、带通、高通、带阻。 2、从实现方法上分：FIR、IIR 3、从设计方法上来分： Butterworth（巴特沃斯）、 Chebyshev(切比雪夫）、 Ellips（椭圆）等。 4、从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器
注：本课程主要讲经典滤波器
3、模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为： 1、低通滤波器（LPAF/LPDF)
(Low pass analog filter / Low pass digital filter)
2、高通滤波器（HPAF/HPDF)
(High pass analog filter / High pass digital filter)
五、研究数字滤波器结构意义
滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影 响复杂性，后者影响运算速度。
有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构 的误差及稳定性不同。
好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于 模块化实现，便于时分复用。
8 z 4 z 11z 2 5 2 3 1 3 z z z 4 4 8
3 2
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
必须将H(z)代为z-1的有理式
8 4 z 11z 2 z H (z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
第二节 IIR DF的基本结构
一、IIR DF特点 1、单位冲激响应h(n)是无限长的：n→∞ 2、系统函数H(z)在有限长z平面（0<|z|<∞) 有极点存在。 3、结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上 是递归型的。 4、因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。
二、IIR DF基本结构
1、经典滤波器
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自 占有不同的频带。 当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的 成分有效地去除。
|X(ej)|
无用 有用 c
|H(ej)|
|Y(ej)|
c
c
如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将 无能为力，此时可以设计现代滤波器来解决。
x(n) a1 对调 a2 z-1 z-1
b0 z-1 b1 z-1 b2
y(n)
z-1 b1 z-1 z-1 b2 bM
z-1
a N-1 z-1 aN z-1
-1 a N-1 z-1 z bM
aN
z-1
第一部分 对调
第二部分
直接II型的结构流图：过程2—合并
x(n)
a1 z-1
b0
z-1 b1
z-1
z-1
b2
bM
a2
a N-1 z-1
aN
z-1
直接I型DF结构的特点
1、两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实 现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。
2、共需(N+M)级延时单元。
3、系数ai、bi不是直接决定单个零极点，因而不能很 好地进行滤波器性能控制。 4、极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应 对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字 长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误 差。 注：直接型结构多用于低阶（2~3阶）滤波器。
二、数字滤波器的工作原理
设：x(n)是系统的输入，X(ej)是其傅立叶变换； y(n)是系统的输出，Y(ej)是其傅立叶变换； 则：
x(n)
LTI系统的输出为：
h(n)
y(n)
y( n)
m
x( m )h( n m ) F 1[ X (e j ) H (e j )]
3、带通滤波器（BPAF/BPDF)
(Bandpass analog filter / Bandpass digital filter)
4、带阻滤波器（BSAF/BSDF)
(Bandstop analog filter / Bandstop digital filter)
4、模拟滤波器的理想幅频特性
若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子，则：
H (z) A
(1 g i z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 ) (1 pi z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 )
i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
M1
M2
基本二阶节的级联结构
H (z) A (1 g i z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 ) (1 pi z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 )
i 1 i 1
1 N1
M1 i 1 N1
M2
直接I型
x(n) 8 y(n) 5/4 -3/4 1/8 x(n) Z-1 5/4 Z-1 11 -2 Z-1 -3/4 1/8 11
1
2
3
直接II型
8 -4 y(n)
Z-1
Z-1 Z-1
-4
Z-1
Z-1
Z-1
-2
注意反馈部分系数符号
4、级联型结构
系统函数因式分解
一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示, 即系统函数的分子、分母进行因式分解：
i 1 i 1 N M
A
(1 g i z 1 ) (1 hi z 1 )(1 hi* z 1 ) (1 pi z 1 ) (1 qi z 1 )(1 qi* z 1 )
i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
M1
M2
式中：gi , pi为实根；hi , qi为复根。 其中 : N 1 2 N 2 N；M 1 2 M 2 M
第五章 数字滤波器结构 Digital Filter Structures
第一节 引言
一、什么是数字滤波器
顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用； 即DF是由差分方程描述的一类特殊的 离散时间系统。 功能： 把输入序列通过一定的运算变换成输出 序列。不同的运算处理方法决定了滤波 器的实现结构的不同。
三、数字滤波器表示方法
表示方法：方框图表示法、流图表示法
三种运算：相加、乘以常数、延时 基本运算单元：加法器、单位延时、乘常数的 乘法器。
1、方框图、流图表示法 方框图表示法 信号流图表示法
相加
a
乘常数
a
延时
z-1
z-1
例：二阶数字滤波器：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
2、现代滤波器
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类 滤波器的代表为维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线 性预测器、自适应滤波器。
H ( j )
c
HPAF
c
H ( j )
c
BPAF
c
H ( j )
c1
BSAF
c2
H ( j )
c2 c1 c1
c2
5、数字滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( e j )
……… ……… ………
2 c c
IIR DF类型有：
直接型、级联型、并联型。 直接型结构：
直接I型、直接II型（正准型、典范型）
1、 IIR DF系统函数及差分方程
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
H (z)
b Z
i 0 N i i 1
M
i
1 ai Z
Байду номын сангаас
i
Y (z) X (z)
注：以下我们讨论M<=N情况。
H (z)
bi Z i 1 ai Z i
i 1 i 0 N
M
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
零、极点ci 和d i 只有两种情况： (a )或者是实根 (b)或者是共轭复根
系统函数系数分析
H (z) A (1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
3、直接II型（正准型/典范型）
直接II型原理 一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次 序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。 即： （1）交换两个级联网络的次序。
（2）合并两个具有相同输入的延时支路。
直接II型的结构流图：过程1--对调
x(n)
b0 a1 a2
y(n) z-1
β1M
a21
则这一系统差分方程为：
y( n) a i y( n i ) bi x( n i )
i 1 i 0
N
M
2、直接I型
直接I型流图
y( n) a i y( n i ) bi x( n i )
i 1 i 0
N
M
IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表
其方框图及流图结构如下：
x(n) b0 y(n)
x(n) b0
a1 a2
z-1 z-1
y(n)
a1
a2
z-1 z-1
说明：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。 以后我们用流图来分析数字滤波器结构。
四、数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1、从功能上分；低通、带通、高通、带阻。 2、从实现方法上分：FIR、IIR 3、从设计方法上来分： Butterworth（巴特沃斯）、 Chebyshev(切比雪夫）、 Ellips（椭圆）等。 4、从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器
注：本课程主要讲经典滤波器
3、模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为： 1、低通滤波器（LPAF/LPDF)
(Low pass analog filter / Low pass digital filter)
2、高通滤波器（HPAF/HPDF)
(High pass analog filter / High pass digital filter)
五、研究数字滤波器结构意义
滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影 响复杂性，后者影响运算速度。
有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构 的误差及稳定性不同。
好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于 模块化实现，便于时分复用。
8 z 4 z 11z 2 5 2 3 1 3 z z z 4 4 8
3 2
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
必须将H(z)代为z-1的有理式
8 4 z 11z 2 z H (z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
第二节 IIR DF的基本结构
一、IIR DF特点 1、单位冲激响应h(n)是无限长的：n→∞ 2、系统函数H(z)在有限长z平面（0<|z|<∞) 有极点存在。 3、结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上 是递归型的。 4、因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。
二、IIR DF基本结构
1、经典滤波器
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自 占有不同的频带。 当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的 成分有效地去除。
|X(ej)|
无用 有用 c
|H(ej)|
|Y(ej)|
c
c
如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将 无能为力，此时可以设计现代滤波器来解决。
x(n) a1 对调 a2 z-1 z-1
b0 z-1 b1 z-1 b2
y(n)
z-1 b1 z-1 z-1 b2 bM
z-1
a N-1 z-1 aN z-1
-1 a N-1 z-1 z bM
aN
z-1
第一部分 对调
第二部分
直接II型的结构流图：过程2—合并
x(n)
a1 z-1
b0
z-1 b1
z-1
z-1
b2
bM
a2
a N-1 z-1
aN
z-1
直接I型DF结构的特点
1、两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实 现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。
2、共需(N+M)级延时单元。
3、系数ai、bi不是直接决定单个零极点，因而不能很 好地进行滤波器性能控制。 4、极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应 对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字 长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误 差。 注：直接型结构多用于低阶（2~3阶）滤波器。
二、数字滤波器的工作原理
设：x(n)是系统的输入，X(ej)是其傅立叶变换； y(n)是系统的输出，Y(ej)是其傅立叶变换； 则：
x(n)
LTI系统的输出为：
h(n)
y(n)
y( n)
m
x( m )h( n m ) F 1[ X (e j ) H (e j )]
3、带通滤波器（BPAF/BPDF)
(Bandpass analog filter / Bandpass digital filter)
4、带阻滤波器（BSAF/BSDF)
(Bandstop analog filter / Bandstop digital filter)
4、模拟滤波器的理想幅频特性
若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子，则：
H (z) A
(1 g i z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 ) (1 pi z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 )
i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
M1
M2
基本二阶节的级联结构
H (z) A (1 g i z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 ) (1 pi z 1 ) (1 1i z 1 2 i z 2 )
i 1 i 1
1 N1
M1 i 1 N1
M2
直接I型
x(n) 8 y(n) 5/4 -3/4 1/8 x(n) Z-1 5/4 Z-1 11 -2 Z-1 -3/4 1/8 11
1
2
3
直接II型
8 -4 y(n)
Z-1
Z-1 Z-1
-4
Z-1
Z-1
Z-1
-2
注意反馈部分系数符号
4、级联型结构
系统函数因式分解
一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示, 即系统函数的分子、分母进行因式分解：
i 1 i 1 N M
A
(1 g i z 1 ) (1 hi z 1 )(1 hi* z 1 ) (1 pi z 1 ) (1 qi z 1 )(1 qi* z 1 )
i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
M1
M2
式中：gi , pi为实根；hi , qi为复根。 其中 : N 1 2 N 2 N；M 1 2 M 2 M
第五章 数字滤波器结构 Digital Filter Structures
第一节 引言
一、什么是数字滤波器
顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用； 即DF是由差分方程描述的一类特殊的 离散时间系统。 功能： 把输入序列通过一定的运算变换成输出 序列。不同的运算处理方法决定了滤波 器的实现结构的不同。
三、数字滤波器表示方法
表示方法：方框图表示法、流图表示法
三种运算：相加、乘以常数、延时 基本运算单元：加法器、单位延时、乘常数的 乘法器。
1、方框图、流图表示法 方框图表示法 信号流图表示法
相加
a
乘常数
a
延时
z-1
z-1
例：二阶数字滤波器：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
2、现代滤波器
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类 滤波器的代表为维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线 性预测器、自适应滤波器。