中级微观经济学第三讲
中级微观经济学讲义 ch03-E
MU x = ∂U ∂x
• The magnitude of marginal utility depends on the magnitude of utility
• E.g.，if we multiply utility by 2, then the marginal utility would also be multiplied by 2
7
Utility
• Assume that an individual must choose among consumption goods x1, x2,…, xn • The individual’s rankings can be shown by a utility function of the form: utility = U(x1, x2,…, xn; other things)
• used to analyze individuals’ responses to relatively small changes in income and prices
4
Utility
• Given these assumptions, it is possible to show that people are able to rank in order all possible situations from least desirable to most • Economists call this ranking utility
dy MRS = − dx U =U1
y1 y2
U1
x1
x2
Quantity of x
12
Marginal Rate of Substitution
中级微观经济学 第3讲不确定性
第三讲第讲不确定性下的选择教材第⏹5章⏹不确定性和风险⏹风险偏好⏹存在风险时的需求不确定性y和风险Uncertainty Risk什么是不确定性？在许多情况下我们不能确⏹什么是不确定性？在许多情况下，我们不能确定哪个结果会实现。
也就是说，有若干结果发生的概率都是正的。
我们用不确定性来描述这生的概率都是正的我们用不确定性来描述这类情况⏹有时我们不知道每种结果发生的概率(可能性)，但有时知道每种结果发生的客观概率。
后一种类型的不确定性通常称为风险在本章中我们始终只分析风险在术语中通⏹在本章中，我们始终只分析风险，在术语中通常不区分风险和不确定性如何描风险如何描述风险？⏹为了描述某个事件的风险，我们需要知道：❑该事件所有可能的结果❑每个结果发生的客观概率，或概率密度⏹为了简化起见，我们把每个具有风险的事件都看作一个彩票(lottery)，每个可能的结果都用每个可能的结果都用收入(货币) 来表示即使是没有不确定性的事件也可以被认为是一张退❑化的彩票期望值和方差⏹给定一个彩票，可能的结果是，相应给定个彩票可能的结果是相应的概率分别是，或概率密度expected value ⏹期望值(expected value ):⏹方差(variance ):标准差(standard deviation ): 方差的平方根⏹直观上，期望值表示彩票的平均回报，而方差刻画彩票的风险(是对风险的客观度量)一些性质性质E X+bY E⏹(aX+bY)= aE(X)+bE(Y)⏹D(aX+b)= a2D(X)⏹D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)cov X Y)❑(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX·EY❑如果X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)存在风险时的决策⏹如果一个人面临两个选择：彩票A B 如果个人面临两个选择：彩票和彩票，他会选择哪一个？⏹这取决于他在有风险情况下的偏好❑期望效用(Expected utility )❑风险态度(Risk attitude )彩票空间和偏好彩票间和偏好为简便起见，如果一个彩票⏹为简便起见，如果个彩票A只有两种结果，我们用表示。
中级微观经济学讲义-3
中级微观经济学讲义-3西方经济学第三讲生产者理论本课件借鉴了国内有关教材的内容,特此致谢!本课件借鉴了国内有关教材的内容,特此致谢!西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(一)生产可能性集化为产出的过程.生产是各种投入组合转化为产出的过程.这个技术的可行性.过程受到的基本约束是技术的可行性.式是生产可能性集,描述技术约束的一般方式是生产可能性集,即YRn,其中y=(y1,y2...yn)∈Y是一个生产计划,是一个生产计划,产出的数量.分量代表了各种投入和产出的数量.例如y=(5,1,6,2,0).有效率的生产是指对于y,生产可能性集中不存在y'≥y,y'≠y.西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(二)生产函数局部均衡分析中,一种产出的情况.局部均衡分析中,关注一种产出的情况.生产函数描述了有效率的生产.生产函数一般表示为y=f(某)=(某1,某2...某n),可以理解为对应的生产可能性集是{y≤f(某)},生产函的最上界.数达到了生产可能性集的最上界.西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(三)生产中的替代性的投入组合的集合,投入要求集是指至少可以生产一定产出的所有的投入组合的集合,可以表示为等产量集,为V(y).投入要求集的边界称为等产量集,在两种投入的情况下即等产量线.f(某)d某j 某i际技术替代率表示为:=任意两种要素投入的边际技术替代率表示为:MRTSi,j=dy=0f(某)d某i某jd(同替代弹性来表示:为剔除计量单位的影响,同替代弹性来表示:σi,j=d(某j某i某ififjfj))=dln(dln(某j 某ififj))某jfi西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(四)生产中的时间性1.可变比例(短期)可变比例(短期)f(某)边际产出MPi(某)=fi(某),平均产出APi(某)=某产出弹性i(某)=fi(某)某if(某)=MPi(某)APi(某)i2.固定比例与规模报酬(长期)固定比例与规模报酬(长期)规模报酬不变.对于所有t>0和任意某,如果f(t某)=tf(某),规模报酬不变.规模报酬递增.对于所有t>1和任意某,如果f(t某)>tf(某),规模报酬递增.规模报酬递减.对于所有t>1和任意某,如果f(t某)<tf(某),规模报酬递减.质用规模弹性(总弹性):度量局部的规模报酬性质用规模弹性(产出的总弹性):ndy(t)t(某)=dtyt=1df(t某)t=dtf(t某)t=1dlnf(t某)=dlntt=1=∑f(某)某i1if(某)西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(五)产出增长的分解假设生产函数为y=A(t)f[k(t),l(t)],其中A(t)表示技术因素(中性技术进步).两边对时间求导得dydAydkdly=+[fk+fl].再除以产量dtdtA(t)dtdtf(k,l)dyy,整理得dt=ydAdt+fkkAf(k,l)dkdt+fllkf(k,l)dldt.l这可以表示为:这可以表示为:Gy=GA+y,kGk+y,lGl西方经济学第三讲生产者理论一,生产函数(一)成本最小化的生产特征【成本优化问题】成本优化问题】minw 某某.t.f(某)≥y其中w=(w1,w2...wn)构造拉格朗日函数l=w某+λ(yf(某))f(某某)成本最小化的一阶条件为:wi=λ某i某f(某某)进一步得到:进一步得到:f(某某)某i某j=wiwjwif(某某)某成本.拉格朗日乘数λ=可以理解为产出的边际成本.某i 练习:1.根据包络定理说明拉格朗日乘数的经济含义根据包络定理说明拉格朗日乘数的经济含义.练习:1.根据包络定理说明拉格朗日乘数的经济含义.西方经济学第三讲生产者理论二,成本最小化(一)成本最小化的生产特征-续(1)成本最小化的生产特征-【条件要素需求的性质某(w,y)】1.关于w是零次齐次的.是零次齐次的.某i(w,y)2.要素需求法则:要素需求法则:<0wi某i(w,y)3.替代性:替代性:>0wj思考:1.要素需求函数和消费者行为理论中的哪个函数是类似的要素需求函数和消费者行为理论中的哪个函数是类似的思考:1.要素需求函数和消费者行为理论中的哪个函数是类似的西方经济学第三讲生产者理论二,成本最小化(一)成本最小化的生产特征-续(2)成本最小化的生产特征-【成本函数的性质c(w,y)】1.对于所有的w>>0,关于产量严格递增且无上界.无上界.2.关于w是递增的.是递增的.3.关于w是一次齐次的.是一次齐次的.4.关于w是凹的.是凹的.5.如果规模报酬不变c(w,y)=yc(w,1).思考:1.成本函数作为凹函数的含义是什么成本函数作为凹函数的含义是什么思考:1.成本函数作为凹函数的含义是什么西方经济学第三讲生产者理论二,成本最小化(二)成本函数与生产函数【报酬递减与短期成本】描述企业的技术特征既可以使用生产函数,也可以使用成本可以使用生产函数,函数.函数.1.STC=w某(w,w,y;某)+w某STC2.SAC=y3.w某(w,w,y;某)SAVC=y4.5.w某SAFC=yAMC=STCy由于固定成本的分摊性质,平均固定成本随着产量上升递减.产量上升递减.报酬递减规律则意味着平均可变成本和边际成本呈U型.且边际和平均成本的最低点.成本穿过平均可变成本和平均成本的最低点.西方经济学第三讲生产者理论二,成本最小化(二)成本函数与生产函数-续成本函数与生产函数-【成本函数的次可加】成本函数的次可加】设y=∑yi,平均成本递减意味着iSTC(yi)STC(y)>,即yiySTC(yi)>STC(y)yi,求和得∑STC(yi)>STC(y).成本的次yi济或范围经济效应.可加性可以描述规模经济或范围经济效应.西方经济学第三讲生产者理论三,利润最大化(一)利润最大化的条件【以完全竞争为例】以完全竞争为例】利润最大化决策的优化问题是ma某pf(某)w某.某f(某某)一阶条件是p=wi(即每种要素投入的边际收益产品某iMRP等于这种要素投入的价格).进一步,对于任意两种要素进一步,wi=MRSTi,j.还有λ某=p(边际成本等于价格).满足wj海塞矩阵负半定.二阶条件是生产函数的海塞矩阵负半定.可以理解为凹函为规模报酬非递增.数(边际产出递减),多种投入下可以理解为规模报酬非递增.西方经济学第三讲生产者理论三,利润最大化(二)供给函数和利润函数利润最大化的一阶条件可以得到要素需求函数某某=某(p,w),带入生产函数得到供给函数y某=f(某(p,w)),带入目标函数得到利润函数π(p,w)=pf(某某)w某某.【利润函数的性质】利润函数的性质】ππ引理:1.Hotelling引理:=y(p,w),=某i(p,w).wip是递增的.2.关于p是递增的.是递减的.3.关于w是递减的.是一次齐次的.4.关于(p,w)是一次齐次的.5.关于(p,w)是凸的.是凸的.西方经济学第三讲生产者理论三,利润最大化(二)供给函数和利润函数-续供给函数和利润函数-【要素需求函数的性质】1.关于(p,w)是零次齐次的.是零次齐次的.某i(p,w)2.≤0.wi【供给函数的性质】供给函数的性质】1.关于(p,w)是零次齐次的.是零次齐次的.y(p,w)2.≥0.p西方经济学第三讲生产者理论三,利润最大化(三)利润最大化假设的现实性【利润满意化原则】利润满意化原则】意化.由于决策者的有限理性,企业往往追求利润满意化.【经理主义】经理主义】在缺乏有效监督和激励的前提下,掌握一定剩余控制权的前提下,利润最大化目标.的经理人员的选择偏离利润最大化目标.【产权结构】产权结构】利润最大化假设忽略了企业内部要素提供者之间的合约关系对企业行为的影响.西方经济学西方经济学112某消费者的效用函数是u(某1,某2)=某1某2,如果价格和收入分别为p1=1,p2=1,m=24.当p1提高为2时,求关于商品某1的斯勒茨基替代效应和收入效应.入效应.西方经济学122p1y为商品数量,为价格,函数某1=,其中某为商品数量,p为价格,p1+p2y收入.这个函数可以作为马歇尔需求函数吗请为马歇尔需求函数吗收入.说明理由(提示:效应).说明理由(提示:替代效应).西方经济学13消费者具有拟线性偏好,效用对于第二种商品是线性的,绘图说明第一种商品价格下降的价格是线性的,效用分解.效用分解.。
中级微观经济学第3章只是课件
线更富有弹性。 • 3.4.2 不同时期的供给弹性 • 长期中企业可以调整固定成本增加产量，所以长期供给弹
性要大于短期弹性。
例题详解3-1
• 已知需求弹性、供给弹性、均衡数量 和均衡价格，如何求出需求函数和供 给函数。
3.5 销售税的影响
单位弹性 ed=1
o
(a)
P
Qo
完全弹性ed=∞
Qo
(b)
P
Q
(c)
完全无弹性 ed=0
o
Q
(d)
o
Q
(e)
3.2.2 需求曲线上各点的弹性：点弹性
• 在位线置性越需 高求 那曲 么线 点上 弹，性点系edd d//Q P Q PC GO C G B G G O G G B C A C B F AO F
• 但是当需求曲线变得相对缺乏弹性时（ξ趋近于零）， 或者供给弹性变得相对富有弹性时（η变得更大）， 从量税的税负就主要由消费者承担。
• 例题详解3-2.
3.5.3 从量税的税负
• 2. 弹性、税收和税收策略
• 需求的收入弹性或收入弹性是指需求量对收入Y百分
比变化的反应程度。 • 需求收入弹需 性：求的收入 需 收 弧求 入 弹量 变 性变 化 化 百 QY//百 QY分 分 比 QY比 QY
点弹性 lY i0 mYQYQ
dQY dYQ
• 根据需求收入弹性系数值，可以把商品分为：正常品
(>0)和劣等品( <0)。再进一步将正常品分为必需
• 销售税影响的三个方面问题：
• 1.销售税对均衡价格和数量有何影响？ • 2.生产者对将其自身征收的税赋转嫁给了消费者，
微观经济学第三讲 消费者理论II
（2）从代价角度去理解
MRS12 可以理解为消费者用商品 2 表示商品 1 的心理价格，或者说，是商品 1 在 消费者内心中的价值，P1/P2 是市场上用商品 2 表示商品 1 的（相对）价格。市
场价格是给定的，消费者会通过比较商品的心理价格和市场价格来决定是购买还 是出售。如果消费者认为商品所值（心理价格）大于其市场价格，即 MRS12 > P1/P2， 那么，他会选择增加持有。如，消费者认为商品 1 价值五单位的商品 2，但在市 场上只需付出一单位的商品 2 就可换得，所以通过交换，消费者相当于多赚了四 单位的商品 2，效用会相应增加。同理，如果消费者认为商品所值（心理价格） 小于其市场价格，即 MRS12 < P1/P2 ，那么，他会选择减少持有。如，消费者认为 一单位商品 1 就值一单位的商品 2，但是市场上却愿意为之出价五单位的商品 2， 那么，卖出商品 1 显然是划算的，因为可以多得到四单位的商品 2。简言之，与 我们内心对商品的评估相比，市场价格低则买入，市场价格高则卖出，买卖交易 直到商品的内心所值和市场价格价格相等为止，即，MRS12=P1/P2。
中级微观经济学 第三章
30 20 A C D E B
0 20 40 60
成本方程： PL L PK K C
C PL K L PK PK
dK PL 斜率 dL PK
80 = (C/PL)
10
L
25
等成本线
• 成本支出或要素价格变化对等成本线的影响
– 成本支出的变化 K A1
Q3>Q2>Q1
Q3 Q2 Q1
O
L
16
等产量曲线
• 特点
2) 等产量曲线两两不能相交；
K
A～B A～C
A C Q2 B Q1
B～C
矛盾
C＞B
O
L
17
等产量曲线
• 特点
3) 等产量曲线自左向右下方倾斜，即斜率为负；
K
5 C MRTSLK = 2
其斜率的相反数被 定义为边际技术替 代率，用以衡量两
4
5
65
75
85
90
100
105
110
115
115
120
14
等产量曲线
K
5 4
H A D E
B
C
G
等产量曲线图 The Isoquant Map
3 2
I F Q1 = 55 Q3 = 90
1
0
Q2 = 75 5
1
2
3
4
L
15
等产量曲线
• 特点 1) 离原点越远的等产量曲线所代表的产量水平越高；
K
当MC＜AVC，则dAVC/dQ<0，AVC递减；
当MC＝AVC，则dAVC/dQ=0，AVC最小。
中级微观经济学第三讲
Perfect Substitution Indifference Curves x
2
x1 + x2 = 5
13
x1 + x2 = 9
9
x1 + x2 = 13
5
V(x1,x2) = x1 + x2.
5 9 13 x1
All are linear and parallel.
Some Other Utility Functions and Their Indifference Curves
~
Goods, Bads and Neutrals
A
good is a commodity unit which increases utility (gives a more preferred bundle). A bad is a commodity unit which decreases utility (gives a less preferred bundle). A neutral is a commodity unit which does not change utility (gives an equally preferred bundle).
consider W(x1,x2) = min{x1,x2}. What do the indifference curves for this “perfect complementarity” utility function look like?
x2
Perfect Complementarity Indifference Curves
Equal
Utility Functions & Indiff. Curves
中级微观经济学第三讲
m3 m2 m1
x 1’ x1’’ x1’’’
x1*
完全替代
x2 MRS = -1
请画出X1的恩格尔曲线
请画出X2的恩格尔曲线
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
收入提供曲线
x1
m * x 1 p 1
m
m
m = px
* 1 1
* x 2 0.
x1* Engel curve for good 1
消费者的理性行为是获得最大化效用。
最大效用水平间接地取决于购买商品 的价格以及消费者的收入。
U ( x1x2 ) x1x2
这是直接效用函数
maxU ( x1x2 ) x1x2
s.t.
p1 x1 p2 x2 I
L x1 x2 ( p1x1 p2 x2 I )
1 L 1 1 2 x1 2 x2 p1 0 x1 2 1 1 L 1 2 2 x2 x1 p2 0 x2 2
怎么得到需求曲线？ Fixed p2 and y. x2
p1
p1’’’ p1’’
p1’
x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x 1*
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1
普通物品(Ordinary Goods)
价格下降,需求量增加的商品
xi 0 pi
x* 2 bm . ( a b )p 2
x* 1
am . ( a b )p 1
练习
消费者的效用函数为U=X4Y3，则他在Y商品上 的支出占总支出的比例是多少？对Y的需求与 X的价格有什么关系？（北大2000研）
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U3虽高，但超出预算
U1与预算线相交，也不是最优
预算线与无差异曲线相切
消费者最优时
这和基数效用论推出的等边际原则是一致的
dx2 m u1 MRS12 dx1 m u2
m u1 p1 m u2 p2
m u1 m u2 p1 p2
消费者最优选择(特殊情形)
最优点上,无差异曲线不会穿过预算线,这一点 总是成立(相交时) 如果无差异曲线在最优选择点处是一个折点, 则没有切线 角点解情形,无差异曲线与预算线不相切 非凸时，无差异曲线与预算线的切点，不一 定是最优消费束
柯布道格拉斯偏好的一个扩展
a b U( x1 , x 2 ) x1 x 2
am . 1 可否变换成V ( x1 , x2 ) bx (a )p 1 1x2 x* 1
x* 1 am . ( a b )p 1
* x2
bm . ( a b )p 2
是各种消费品购买价 值所占的比重
正常物品(normal)
xi 0， 则xi是正常物品 m
X1是低档物品(inferior good)
xi 0， 则xi是低档物品 m
收入提供曲线(Income offer curve)
Fixed p1 and p2. x2
Increasing income
收入提供曲线指的是价格不变,收入改变时, 消费者均衡点的连线,又称收入消费曲线 两种正常物品,收入 提供曲线斜率为正
p1 怎么得到需求曲线？ Fixed p2 and y. x2
p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x 1*
x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1
普通物品(Ordinary Goods)
价格下降,需求量增加的商品
x2
价格提供曲线
ax* p1 2 * p2 bx1
bp1 * * x2 x1 . ap 2
* * p1 x1 x1
am * p2x 2 . m. ( a b )p 1
x* 1
am . ( a b )p 1
x* 2
bm . ( a b )p 2
练习
消费者的效用函数为U=X4Y3，则他在Y商 品上的支出占总支出的比例是多少？对Y的 需求与X的价格有什么关系？（北大2000研）
消费者最优点处，没有切线
相切并非消费者最优的 必要条件
角点解情形
MRS不等于P1/P2
非相切
非凸偏好
相切满足消费者最 优，偏好必须是凸 的
凹偏好消费者最优点是角点解
MRS>P1/P2
完全替代时均衡点
x2
y * x2 p2
MRS = -1
Slope = -p1/p2 with p1 > p2. x1
* * xp 2 1 x1
m
bm . (a b )p 2
* 2
b
p2 x m
b 1 b
比较静态分析
x* 1
** x 2 x
1
am . ( a b )p 1
m
bm . ( a b )p 2 0
( b) p1
* x1 m 0 2 p1 ( b) p1
x* 10
x2 MRS = -1
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
y * x1 p1
x1
完全替代下的选择
* * ( x1 , x 2 ) y ,0 p1
if p1 < p2
* * ( x1 , x 2 ) 0,
y p2
am 消费者的最优选择得出商品的需求 . ( a b )p 1 am * bm x1 . * x2 . ( a b )p 1 ( a b )p 2 bm * . 2 x 消费者的最优选择取决于消费者的收入和商品 ( a b )p 2 x* 1
的价格 需求函数:消费者最优时选择的消费数量。 X1=x1(p1,p2,m),x2=x2(p1,p2,m)
Min E(P,U) S.t. U(x1,x1)=u0
预算线与无差异曲线相切
等边际原则
希克斯需求
价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出 最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。
x ( P,U )
举例：
h i
min E( P,U ) p1 x1 p2 x2
x1x2 u0
s.t. U ( x1 , x2 )
…quantity of x demanded rises.
效用比较
x
U1
U2
x1
x2
x3
Quantity of x
x’
x’’
x’’’
Quantity of x
希克斯Demand Curves
Quantity of y
p ' slope x py
xh(P,U)
Holding utility constant, as price falls...
maxU ( x1x2 ) x1x2
I I I V ( P, I ) U ( x1 x2 ) x1 x2 2 p1 2 p2 2 1 p1 p2
这就是间接效用函数
消费者最优的两种思路
相同支出下，追求效用最大化。 相同效用下，追求支出最小化。 这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经 济学称为对偶性。
支出最小化
x1
恩格尔曲线(Engel curve)
收入变动对需求变动的影响
m3 m2 m1
x 1’ x1’’ x1’’’
x1*
完全替代
x2 MRS = -1
请画出X1的恩格尔曲线
请画出X2的恩格尔曲线
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
收入提供曲线
x1
m * x 1 p 1
求希克斯需求函数，支出函数
构建拉格朗日函数：
L p1x1 p2 x2 ( x1x2 u0 )
L 1 p1 x x1 x1 2
1 2 2 1 2
0 0
0
L 1 p2 x x x2 2
1 2 1
1 2 2
x2 p1 x1 p2
L u0 x x
* X1 X1 ( p1, , pn , I )
* X2 X1 ( p1, , pn , I )
s.t. px I
代入：U ( X , X ) U [ X 1 ( p1 , pn , I ), X 2 ( p1 , pn , I )] V ( p1 , pn , I )
xi 0 pi
Downward-sloping p1 demand curve Good 1 is ordinary
x1
x 1*
吉芬商品（Giffen Goods
xi 0 ） pi
upward-sloping demand curve p1
x1
完全替代情形的需求曲线
Fixed p2 and y. x2
p1’’ =p2
p1’’’
p1
m x p1
* 1
m p2
p1 price offer curve
p1’
m 0 x p2
* 1
x 1*
x1
完全互补
Fixed p2 and y. x2
p1
p1’’’
m/p2
p1’’
p1’
m x p1 p2
* 1
x 1*
x1
替代品和互补品
商品2的价格上升,商品1的需求增加,称商品1为 商品2的替代品 x1 0 p2 商品2的价格上升,商品1的需求下降,称商品1为 商品2的互补品
x1 0 p2
间接效用函数
U（x1,x2）是直接效用函数 把求解出的马歇尔需求函数代入直接效用函 数，就得到间接效用函数
U U ( X1, X 2 )
px
…quantity demanded rises.
px ' ' py
slope
px’ px’’
slope px ' ' ' py
px’’’ xc
U2 x’ x’’ x’’’ x’ x’’ x’’’
Quantity of x
Quantity of x
效用最大化和支出最小化是对偶问题
bm 画出 x * X1的恩格尔曲线 . ( a b )p 2
收入提供曲线
x1
拟线性偏好
哪位同学能画出Ｘ２的恩格尔 曲线？
x2
收入提供曲线
m
恩格尔曲线
x1
~ x1
x1
价格变化对消费者均衡的影响
价格提供曲线：当价格变化时，消费者均衡 点的连线，又称价格消费曲线
x2
价格提供曲线
讨论：价格提供曲线的形状 判断：柯布-道格拉斯效用函数的价格提供 曲线是一条水平线（上海财大，2008） 。
1 2 1
1 2 2
p1 x1 u0 ( ) p2
1 2
p2 x2 u0 ( ) p1
1 2
这就是希克斯需求函数xh(P,U) 代入支出函数：
E( P,U ) p1 x1 p2 x2
p1 u0 p1 ( ) p2
1 2
p2 u0 p2 ( ) p1