第五章控制工程基础
控制工程基础ch5_15.1.2 电子教案
§5-1 线性系统的稳定性
稳
不
定
稳
的
定
摆
的
摆
§5-1 线性系统的稳定性
跨越华盛顿州塔科马峡 谷的首座大桥，开通于 1940年7月1日。只要有 风，这座大桥就会晃动。
1940年11月7日，一阵 风引起了桥的晃动，而 且晃动越来越大，直到 整座桥断裂。
§5-1 线性系统的稳定性
Y G R 1 GH
用于线形定常系统。
(a)外加扰动
§5-1 线性系统的稳定性
(b)稳定
(c)不稳定
注意：控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。
§5-1 线性系统的稳定性
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
(a)大范围稳定
§5-1 线性系统的稳定性
(2)实际系统参数的时变特性； (3)系统必须具备一定的稳定裕量。
第五章 控制系统的稳定性分析
§5-1 控制系统的稳定性分析
§5-2 §5-3 §5-4
系统稳定的充要条件 代数稳定性判据 乃奎斯特稳定判据
§5-5 乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性
§5-6 伯德图判据 §5-7 系统的相对稳定性
§5-1 线性系统的稳定性
一、稳定性的概念 定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的 作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系 统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系 统是稳定的，否则，不稳定。 •上述稳定是“渐近稳定”的 •“线性”系统通常是线性化的 因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论
否则系统就是小范围稳定的。
(b)小范围稳定 注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
《控制工程基础》5.1
当给定ω，G(jω)是复平面上的一矢量。
幅值：A(ω) = | G(jω)| 相角（与正实轴的夹角，逆时针为正）：φ(ω) = ∠G(jω)
实部：U(ω) = A(ω)cosφ(ω)
虚部：V(ω) = A(ω)sinφ(ω) ω从0 → ∞ 时，G(jω)端点的轨迹：频率特性的极坐标图。
第 5 章
5.2 频率特性的Nyquist图
2 2 2 2
实频：
虚频： 幅频： 相频：
U ( )
K (1 T 1 T 2 )
2
(1 T 1 )( 1 T 2 )
2 2 2 2 2
V ( )
K (T1 T 2 )
(1 T 1 )( 1 T 2 )
2 2 2 2
第 5 章
G ( j )
典型环节的Nyquist图
1．比例环节
传递函数：
G (s) K
频率特性： G ( j ) K 幅频： 相频：
G ( j ) K
G ( j ) 0
U ( ) K V ( ) 0
实频：
虚频：
第 5 章
5.2 频率特性的Nyquist图
典型环节的Nyquist图
2 2 2 2
2 幅频： G (→ ∞ 实频： V ( ) 当ω从0 j ) 时，即λ从0 → ∞ ，振荡环节的Nyquist图就是始于点（1， 2 2 2 2 2 2 2 2
1
j0），而终于点（0，j0）。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频 2 1 2 相频： G ( j ) arctan 虚频： U ( ) 率ωn，此时的幅值为1/(2ξ）。振荡环节的阻尼比ξ取值不同，其Nyquist
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
控制工程基础第五章 控制系统稳定性
s2 u1 u2
s1 v1
s0 w1
.
其中
b1
a 1a 2 a 0a 3 a1
b2
a 1a 4 a 0a 5 a1
b3
a 1a 6 a 0a 7 a1
c1
b 1a 3 a 1b 2 b1
c2
b 1a 5 a 1b 3 b1
c3
b 1a 7 a 1b 4 b1
实部为正的特征根数＝
s 6 2 s 5 8 s 4 1 2 s 3 2 0 s 2 1 6 s 1 6 0
用劳斯判据判断稳定性。
劳斯阵列表
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0 s4 1 6 8 s3 0 0 0
4 12 s2 3 8
Ass46s28 dAs 4s3 12s
ds
s1 4 3
临界稳定
Im
[s]
Im [F]
O
Re
C
O
Re
C’?
顺时针绕原点1圈，角度增量 2 C包围z个零点，C’绕原点 顺时针z.圈
Fs
1
sa1sa2
sap
Im
[s]
Im [F]
O
Re
C
O
Re
C’?
C包围1个极点，C’ 逆时针绕原点1圈
C包围p个极点，C’绕原点 逆时针. p圈
Fsss a a1 1ss a a2 2
.
设n(t)为单位脉冲函数， N s 1
XOsb a00ssm n b a1 1ssm n 1 1
bm 1sbm an1san
i
ci si j
s22d jjjs2 j s22e jjsjs2 j
控制工程基础- 第5章 控制系统的稳定误差
控制系统的稳态误差
静态误差系数法—— r(t) 作用时 ess 的计算规律
G(s)
G (s)H(s) 1
K (1s 1) (ms 1)
sv (T1s 1) (T nv s 1)
K sv
G
0(s
)
K：开环增益 v：类别(类型)
G (s) (1s 1) (m s 1)
0
(T1s 1) (T nv s 1)
lim
s0
G 0(
s
)
1
R(s)
e(s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)H (s)
1
1
K
v
G0(s)
s
E(s)
G1 ( s )
C(s)
H(s)
ess
lim
s0
se (s)R(s)
lim
s0
s
R(s)
1
1
K sv
G0(s)
稳态误差 ess 与输入r(t)的形式、系统的结构参数(K，v)有关。
Kn
en (s)
E(s) N(s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kn s(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
sen (s)N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kn s(Ts 1) 1) s(Ts 1)
K
1 s2
Kn K
e ess
essr
essn
1 Kn K
控制系统的稳态误差
ess
lim
s0
控制工程基础：第五章 系统校正
PD控制的作用（特点）
L()
1. 某系统的开环频率特 性——Bode图如图所示。
2. 加相位超前校正。
系统的频率特性发生变化。
60
[20]
40
20
0
( ) 900
[20] [40]
c
[40]
c
[60]
3. 对系统性能的影响
00
(1)改善了系统的动态性能(幅 900
值穿越频率ωc 增大，过渡过程1800
X
i
(s)
(
s)
Gc (s)
U(s)
G(s)
B(s)
H (s)
X 0 (s)
若按控制器与系统 的组成关系，此控制 方式为串联校正。
xi (t)
比例
积分
微分
测量变送
被控对象
x0 (t)
PID控制器是一种线 性控制器。它将偏差的比
例、积分和微分通过线性
组合构成控制量，对被控
对象进行控制。
一、PID控制规律
TD s)
40 20
(1
1 Ti s
TDs)
Ti
s
1 TiTDs2 Ti s
0
1
( )
Ti
1 TD
k(1s 1)( 2s 1) 900
Ti s
00
iD
即：由比例、积分、一阶微 900
分 (2个)环节组成。
由此可见：在低频段，PID控制器主要起积分控制作用， 改善系统的稳态性能；在高频段主要起微分控制作用，提高 系统的动态性能。
§5.1 概述
例如：在车削螺纹时，要求主轴与刀架有严格的运动关系。
主轴转1转→刀架移动一定距离
《控制工程基础》课件-第五章
件：伺服电动机、液压/气动伺服马达等；
测量元件依赖于被控制量的形式，常见测量元
件：电位器、热电偶、测速发电机以及各类传
感器等；
给定元件及比较元件取决于输入信号和反馈信
号的形式，可采用电位计、旋转变压器、机械
式差动装置等等；
4/21/2023
3
第五章 控制系统的设计和校正
放大元件由所要求的控制精度和驱动执行元件 的要求进行配置，有些情形下甚至需要几个放 大器，如电压放大器（或电流放大器）、功率 放大器等等，放大元件的增益通常要求可调。
显然，由于 c arctgTi 90 0 ，导致引
入PI控制器后，系统的相位滞后增加，因此，
若要通过PI控制器改善系统的稳定性，必须有
Kp< 1，以降低系统的幅值穿越频率。
综上所述：PI控制器通过引入积分控制作用以
改善系统的稳态性能，而通过比例控制作用来
调节积分作用所导致相角滞后对系统的稳定性
-20 已校正
-20
-40
'c c -40
()
-90° -180°
(c) ('c)
(rad/s)
若原系统频率特性为L0()、0()，则加入P控
制串联校正后：
L L0 () Lc L0 () 20 lg K p
4/21/2023
0 c 0
19
第五章 控制系统的设计和校正
H(s)
27
第五章 控制系统的设计和校正
()
L()/dB
0
90° 0° -90° -180° -270°
4/21/2023
PD校正装置
-20 0
1/Td c
+20
'c
控制工程基础第五章——校正
三 系统常用校正方法（2）
前馈校正 （复合控制）
对输入的
对扰动的
系统校正的基本思路
系统的设计问题通常归结为适当地设计串 联或反馈校正装置。究竟是选择串联校正还是 反馈校正，这取决于系统中信号的性质、系统 中各点功率的大小、可供采用的元件、设计者 的经验以及经济条件等等。
一般来说，串联校正可能比反馈校正简单， 但是串联校正常需要附加放大器和（或）提供隔离。 串联校正装置通常安装在前向通道中能量最低的地方。 反馈校正需要的元件数目比串联校正少，因为反馈校 正时，信号是从能量较高的点传向能量较低的点，不 需要附加放大器。
显然不满足要求。
令 20lgG(j0)0 或 G0(j0) 1 可求得ω0，再求得γ。
☆ 超前校正设计的伯德图
☆ 超前校正设计⑵
☆ 超前校正设计⑶
⒊确定超前校正装置的最大超前相位角
m4 52 75 23
⒋确定校正装置的传递函数
①确定参数α ②确定ωm
1 1 s sii n n m m1 1 s sii2 2n n 3 32.28
PID 传递 函数
G c(s)U E ((s s))K PK I1 sK D s
Gc(s)KP(1T1IsTDs)
KP——比例系数；TI——积分时间常数； TD——微分时间常数
二 PID控制器各环节的作用
比例环节 积分环节 微分环节
即时成比例地反映控制系统的偏差 信号，偏差一旦产生，控制器立即产 生控制作用，以减少偏差。
为了充分利用超前装置的最大超前相位角，一般取校正后系统的
开环截止频率为 0 m 。故有 Lc(m)L(0 ' )0d B
于是可求得校正装置在ωm处的幅值为
2 lG 0 g c (jm ) 1 l0 g 1 l2 0 g .2 3 8 .5 d8 B最后得校正装置
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍解释控制工程的定义强调控制工程在工程学中的重要性概述课程的目标和内容1.2 控制系统的基本概念介绍控制系统的定义解释控制系统的组成部分讨论控制系统的分类和特点1.3 控制理论的发展历程简述控制理论的发展历程强调现代控制理论的重要性第二章：数学基础2.1 线性代数基础介绍矩阵和向量的基本运算解释行列式和逆矩阵的概念讨论矩阵的秩和特征值2.2 微积分基础复习微积分的基本概念介绍导数和微分方程的概念讨论积分的概念和方法2.3 离散时间系统介绍离散时间系统的定义解释离散时间系统的差分方程讨论离散时间系统的性质和特点第三章：连续时间系统3.1 连续时间系统的描述方法介绍连续时间系统的微分方程描述解释状态空间描述的方法讨论两种描述方法的关系和转换3.2 连续时间系统的稳定性介绍连续时间系统的稳定性概念解释李雅普诺夫稳定性的判断方法讨论稳定性条件和不稳定性的原因3.3 连续时间系统的时域分析介绍连续时间系统的时域分析方法解释零输入响应和零状态响应的概念讨论时域分析的应用和意义第四章：离散时间系统4.1 离散时间系统的描述方法介绍离散时间系统的差分方程描述解释离散时间系统的状态空间描述讨论两种描述方法的关系和转换4.2 离散时间系统的稳定性介绍离散时间系统的稳定性概念解释离散时间系统的稳定性条件讨论稳定性判断方法和不稳定性的原因4.3 离散时间系统的时域分析介绍离散时间系统的时域分析方法解释离散时间系统的零输入响应和零状态响应讨论时域分析的应用和意义第五章：控制器设计5.1 概述控制器设计的目标和方法解释控制器设计的目标介绍常见的控制器设计方法5.2 PID控制器设计解释PID控制器的作用和原理介绍PID控制器的参数调整方法讨论PID控制器的应用和优点5.3 状态反馈控制器设计介绍状态反馈控制器的作用和原理解释状态反馈控制器的设计方法讨论状态反馈控制器的优点和应用第六章：频域分析6.1 频率响应分析介绍频率响应的概念和重要性解释传递函数和频率响应之间的关系讨论频率响应分析的方法和步骤6.2 传递函数的性质介绍传递函数的定义和基本性质解释传递函数的零点和极点讨论传递函数的稳定性和频率特性6.3 频域设计方法介绍频域设计方法的概念和原理解释截止频率和滤波器设计的要求讨论常用频域设计工具和技术第七章：频域设计实例7.1 低通滤波器设计介绍低通滤波器的作用和应用解释低通滤波器的设计方法和步骤讨论低通滤波器的性能指标和选择7.2 高通滤波器设计介绍高通滤波器的作用和应用解释高通滤波器的设计方法和步骤讨论高通滤波器的性能指标和选择7.3 其他类型滤波器设计介绍带通滤波器和带阻滤波器的作用和应用解释带通滤波器和带阻滤波器的设计方法讨论不同类型滤波器的性能指标和选择第八章：状态空间分析8.1 状态空间表示介绍状态空间的概念和表示方法解释状态空间矩阵和状态方程讨论状态空间表示的优点和应用8.2 状态空间稳定性和可控性介绍状态空间稳定性和可控性的概念解释李雅普诺夫稳定性和李雅普诺夫可行域讨论状态空间稳定性和可控性的判定方法8.3 状态空间最优控制介绍状态空间最优控制的概念和原理解释哈密顿-雅可比方程和解法讨论状态空间最优控制的应用和实现方法第九章：非线性控制9.1 非线性系统的定义和特点介绍非线性系统的定义和特点解释非线性系统的常见类型和行为讨论非线性系统分析和设计的方法和挑战9.2 非线性控制器设计介绍非线性控制器的设计方法和工具解释非线性PID控制器和滑模控制器的设计讨论非线性控制器的应用和效果9.3 非线性控制的应用实例介绍非线性控制在实际系统中的应用实例解释非线性控制在控制和航空航天领域的应用讨论非线性控制的优势和局限性第十章：控制系统仿真10.1 控制系统仿真概述介绍控制系统仿真的概念和重要性解释控制系统仿真的方法和工具讨论控制系统仿真的优点和局限性10.2 MATLAB控制系统仿真介绍MATLAB控制系统仿真的基本方法解释MATLAB中的仿真工具和函数讨论MATLAB控制系统仿真的应用和示例10.3 实际系统仿真案例分析介绍实际系统仿真案例的分析和实现方法解释实际系统仿真案例的仿真结果和分析讨论实际系统仿真案例的启示和应用前景第十一章：现代控制理论11.1 概述现代控制理论介绍现代控制理论的发展背景和意义解释现代控制理论的基本概念和原理讨论现代控制理论在工程应用中的重要性11.2 线性二次调节器（LQR）解释线性二次调节器的定义和特点介绍LQR控制器的设计方法和步骤讨论LQR控制器的性能分析和应用实例11.3 鲁棒控制理论介绍鲁棒控制的定义和目的解释鲁棒控制的设计方法和原理讨论鲁棒控制在系统不确定性和外部干扰下的性能第十二章：自适应控制12.1 概述自适应控制介绍自适应控制的概念和需求解释自适应控制的目标和原理讨论自适应控制在系统和环境变化中的应用12.2 自适应控制器设计介绍自适应控制器的设计方法和算法解释自适应控制器的自适应律和调整机制讨论自适应控制器的性能分析和应用实例12.3 自适应控制的应用介绍自适应控制在工业和农业领域的应用实例解释自适应控制在导航和飞行控制系统中的应用讨论自适应控制的优势和挑战第十三章：数字控制13.1 概述数字控制介绍数字控制的概念和与模拟控制的比较解释数字控制系统的组成和特点讨论数字控制在现代控制系统中的应用13.2 数字控制器设计介绍数字控制器的设计方法和算法解释数字控制器的离散化和实现方式讨论数字控制器的性能分析和优化方法13.3 数字控制的应用实例介绍数字控制在工业和家庭领域的应用实例解释数字控制在智能家居和工业自动化系统中的应用讨论数字控制的优势和局限性第十四章：控制系统实验14.1 控制系统实验概述介绍控制系统实验的目的和重要性解释控制系统实验的步骤和注意事项讨论控制系统实验在教学和研究中的应用14.2 实验设备和工具介绍控制系统实验中常用的设备和工具解释各种设备和工具的功能和操作方法讨论实验设备的选用和维护14.3 实验项目和解题方法介绍控制系统实验的项目和目标解释实验的解题方法和步骤讨论实验结果的分析和讨论第十五章：控制系统综合与应用15.1 控制系统综合概述介绍控制系统综合的目标和意义解释控制系统综合的方法和步骤讨论控制系统综合在实际应用中的挑战和解决方案15.2 控制系统应用实例介绍控制系统在工业和航空航天领域的应用实例解释控制系统在智能交通和智能中的应用讨论控制系统应用的挑战和发展方向15.3 控制系统未来的发展趋势探讨控制系统未来的发展趋势和机遇分析控制系统的创新技术和算法讨论控制系统在可持续发展和绿色能源领域的应用前景重点和难点解析本文档详细地介绍了《控制工程基础》这门课程的电子教案，内容涵盖了连续时间系统、离散时间系统、控制系统的基本概念、数学基础、控制器设计、频域分析、状态空间分析、非线性控制、仿真技术、现代控制理论、自适应控制、数字控制、实验项目和综合应用等多个方面。
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
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a0 0
系统稳定的充要条件是： 1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=0 2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主 子式全部大于零。 满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。
胡尔维茨行列式可列写为：
a1 a3 a5 0 0 a0 a2 a4 0 0 0 a1 a3 0 0
Xo (s)
1
G(s) G(s)H(s)
(s
s1)(s
G(s) s2 )
(s sn )
c1 c2
cn
n
ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
则输出为：
n
xo (t) ciesit
<1>
i1
从<1>式可看出，要想系统稳定，系统的特征根si， 必须全部具有负实部。
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式（实 根或共轭复根），线性系统稳定的充要条件为：所有特征 根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复 数平面的左半部分。
例 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.58S 2 517S 1670(1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的 系数必须全为正值。可得：
※※ 劳斯判据特殊情况
1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或 没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法 是以一个很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完 成劳斯表的排列。
s2 d1 d2 d3
s1 e1 e2
s0
f1
表中
b1
a1a2
a0a3 a1
, b2
a1a4
a0a5 a1
, b3
a1a6
a0a7 a1
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
…
f1
e1d2
e1
d1e2
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、 b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等
于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于 系统具有的正实部特征根的个数。
例 已知一调速系统的特征方程式为 S 3 41.5S 2 517S 2.3104 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
n 0 a0 a2 0 0
00 0 0 0 an1 0 0 0 0 an2 an
建立 n 规律：主对角线上元素从a0开始依次递增为an-1， 再写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0时用0代替。
例：系统的特征方程为： 2s4 s3 3s2 5s 10 0
试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充
要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
一般情况下，确定系统稳定性的方法有： 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。 2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。 应用第一种类型的两种方法是：(1)直接对系统特征方程求 解；(2)根轨迹法 应用第二种类型的两种方法是：(1)劳斯-胡尔维茨判据; (2)奈氏判据
解：由特征方程知：1) ai>0
15 0 0
2)
2 n
3
10 0
015 0
0 2 3 10
15
1 1 0
2 2
7 0 3
所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。
二、劳斯判据
当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计 算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的 稳定性。
劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：
第五章 系统稳定性
§ 5-1 § 5-2 § 5-3 § 5-4 § 5-5
系统稳定的条件 劳斯－胡尔维茨稳定判据 奈奎斯特稳定判据 稳定性裕量 根轨迹简介
§5-1 系统稳定的条件
一、稳定的概念和定义
一个能在实际总应用，其首要条件是保证系统稳定。 所谓系统稳定性，是指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后，系统 能够以足够的精度逐渐回复到原来的状态，则系统是稳定的，或具有稳定性。 否则系统不稳定，或不具有稳定性。 系统稳定性，是系统固有的一种特性，这种固有的稳定性之取决于系统结构 参数，而与初始条件及外界作用无关。
a0S n a1S n1 a2S n2 an1S an 0 a0 0
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3
5-3 奈奎斯特稳定判据(Nyquist
Stability Criterion)
一、奈氏稳定判据 R ( s )
C(s) G (s)
H (s)
闭环系统 考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为 C(s) G(s)
一、系统稳定的充要条件
依据稳定性定义，系统在初始条件为零时，受到干扰信号作用
时（单位脉冲信号 (t)），系统输出信号 X0(t)，若
Lim
tHale Waihona Puke X0(t)
0
则系统稳定
对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：
(s) Xo (s) G(s) Xi (s) 1 G(s)H(s)
设输入信号为单位脉冲信号，则有：
§5-2 劳斯－胡尔维茨稳定判据
劳斯－胡尔维茨判据是根据特征方程式（高 次代数方程）根与系数的关系，由特征方程 的系数间接判断特征方程根是否具有负实部 的，从而判断系统稳定性的方法，因此又称 做代数稳定性判据。
一、胡尔维茨稳定判据
将系统的特征方程式写成：
a0S n a1S n1 a2S n2 an1S an 0