第二章 实时参数估计—2-5-2

开始
5．算法框图 终判：
6．递推最小二乘法（RLS）的特点
T ˆ θˆN +1 = θˆN + K N +1 y N +1 − ϕ N +1θ N
ˆ = 0, P = 106 I , y , u 置初值， θ 0 0 0 0
1) 预先决定结束辨识 1→N 的总递推步数。 构成 ϕ N 计算K N , PN 2) 绝对误差 θˆN−θˆN −1 < ε 采样 y N , uN 相对误差
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
六、递推最小二乘估计（RLS） 一次完成算法需要计算机存储全部测量数据， 占用的存储单元较多 在已知1～N 由 Y = Φθ + e 构成 YN , Φ N 求出θˆN 共N组数据后
基本思路：
θˆN +1 = θˆN + 修正项
一次完成算法：每取得一次新数据要重新计算， 计算量大，且没有实时能力。 递推LS法：取得一次数据，估计一次参数。
(
)
−1
B T A −1
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3．递推公式 −1 T 对 P N + 1 = ( PN− 1 + ϕ N + 1ϕ N +1 ) 由求逆引理（推论一）,有
PN +1
T P ϕ +1ϕ N + 1 PN = PN − N N T 1 + ϕ N +1 PN ϕ N +1
将 ④PN +1 , ②Φ N +1 , ①YN +1 ,代入θˆN +1③
令 K N +1 =
PN ϕ N +1 T 1+ϕN + 1 PN ϕ N + 1
——卡尔曼增益阵
②
T T 则 θˆN +1 = ⎡ ⎣ PN − K N +1ϕ N +1 PN ⎤ ⎦ ( Φ N YN + ϕ N + 1 y N + 1 )
T T = PN Φ T N YN + PN ϕ N +1 y N +1 − K N +1ϕ N +1 PN Φ N YN
max
i
(
)
θˆ ( i ) 表明 ˆ 向量中的第i个分量 θ ε为精度要求的权
ˆ (i) ˆ ( i ) −θ θ N N +1 <ε θˆN +1 ( i )
计算 θˆ
1) 新的估计量 θˆN +1 先前一步 的估计量
N N+1→N
校正项
N
终判 Y ˆ 输出 θ N 停机
线性组合 构成递推公式
θˆN +1 = θˆN + 修正项
①
ˆ = ( ΦT Φ ) ΦT Y θ N +1 N +1 N +1 N +1 N +1
−1
2．递推最小二乘估计： 已取得N组数据 y1 , , y N , u1 , , u N T ⎡ϕ 1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ˆ = ( Φ T Φ ) −1 Φ T Y Φ = YN = ⎢ ⎥ θ N ⎢ ⎥ N N N N N T ⎥ ⎢ϕ N ⎢ ⎥ y ⎣ ⎦ ⎣ N⎦
(A
(
X −1 = Y ←⎯ ← 有⎯ XY = I
(
)
(
)
−1
− A−1B C −1 + DA−1B
(
)
−1
DA−1
)
= I + BCDA−1 − B I + CDA−1 B C −1 + DA−1 B
= I + BCDA−1 − B C−1 + DA−1B DA−1 − BCDA−1B C−1 + DA−1B DA−1
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2-5 线性参数模型最小二乘辨识
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
利用递推公式，可以在线实时估计 初值 θˆ0
T 构成 ϕ1 = [ y0
4．初值的确定： 递推时要已知初值 θˆ0 , P0 , 可用如下方法： 1) 取一批观测值 y0 , 用LS估计 θˆn , 计算 PN
, yn , u0 ,
)
=I
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2-5 线性参数模型最小二乘辨识
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
推论一：当D=BT有，
当又获得一组新的测量数据 y N + 1 , u N + 1 时，
−1
( A + BCB )
T
−1
= A −A B C +B A B
T
−1
(
−1
−1
)
−1
B A
T
−1
推论二：当C=I有，
( A + BD )
PN
则 PN + 1
(Φ
T N +1
Φ N +1 )
−1
⎧ ⎪ = ⎨ ΦT N ⎪ ⎩
(
ϕ N +1 ) ⎜ ⎜
⎛ Φ N ⎞⎫ ⎪ ⎟ T ⎟⎬ ⎪ ⎝ ϕ N +1 ⎠ ⎭
−1
( = (P
T = ΦT N Φ N + ϕ N + 1ϕ N + 1
−1 N T + ϕ N + 1ϕ N +1
)
−1
(
)(
)
为预报误差 或拟合误差
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且不需进行矩阵求逆计算，存储量和计算量 大大降低了。
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2-5 线性参数模型最小二乘辨识
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
5) 先前数据一直起作用，是无限增长记忆算法。 y ,u θN ˆ ⎯⎯⎯⎯ → θ N +1
N +1 N +1
2．当随机干扰序列{ek}是白噪声时，若数据量 N→∞时，lim θˆN → θ N →∞
递推最小二乘估计实际上是对估计值不断修正的
T ˆ ˆN +1 = yN +1 − ϕN 过程，它把每一步的预报误差 ε +1θ N
ˆ ˆ + K N +1 yN +1 − ϕ θ =θ N
(
T N +1 N
)
预报误差
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作为基本修正量，然后用卡尔曼增益阵 K N +1对基 本修正量进行适当调整以产生实际修正量。
ˆ = P ΦT Y θ N +1 N +1 N +1 N +1
③
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ˆ θ N
T − K N +1ϕ N +1 PN ϕ N +1 y N +1
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2-5 线性参数模型最小二乘辨识
将 θˆN = PN ΦT N YN 代入
KN +1 =
PNϕ N +1 T 1 + ϕN +1 PNϕ N +1
T N N
采样 y1 , u1
y2 , u2 ⎯⎯⎯ → θˆ2
ˆ P0 → K 1 → θ 1
un
−1
, u0
]
→ K 2 → P2 P1 ⎯⎯ ϕ2
yN +1
原有信息
ΦN +1 新观测值
2 6 2) 人为地给定 ˆ = 0, 或任意 P = α 2 I , α为充分大正数 θ 0 0
( Φ Φ ) , 分别取作 θˆ , P (一般取 α = 10 ∼ 10 )
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1．矩阵求逆引理：避免矩阵和求逆 设A、C和A+BCD或(C-1+DA-1B)非奇方阵，则
( A + BCD)
(A
−1
− A−1B C −1 + DA−1B
(
)
−1
DA−1
)
( )
−1
( A + BCD)
−1
= A − A B C + DA B
−1
−1
(
−1
−1
)
−1
ˆ +e Y = Φ θ + e → YN = Φ N θ N
获得一组新 的测量数据
由 yN+1, uN+1 构成 YN+1, ΦN+1
ˆ 算出 θ N+1
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又取得一组数据 y N +1 , uN +1 ,
ˆ 有Y N + 1 , Φ 并算出 θˆN +1 N +1 ,
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2-5 线性参数模型最小二乘辨识
(W . P .1) 是一致性估计。
ˆ = θ 是无偏的， Eθ 3．当N→∞时， N
PN
KN
PN +1
七、LS和RLS 1．从RLS推导过程可以看出，LS和RLS在数学上 是等价的，都是使残差平方和为最小进行推导的 ， 在估计θˆ 时，不需对噪声序列{e }的概率特性有
2-5 线性参数模型最小二乘辨识
T ˆ θˆN +1 = θˆN + K N +1 y N +1 − ϕ N + 1θ N
ˆ = ⎡ P − K ϕ T P ⎤ ( ΦT Y + ϕ y ) θ N +1 N +1 N +1 N ⎦ N N N +1 N +1 ⎣ N
T ˆ ˆ −K ϕT θ =θ N +1 N +1 N + ( P Nϕ N +1 − K N +1ϕ N +1 PNϕ N +1 ) yN +1 N