11-10幂级数
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
Ch11-3幂级数 (1)
n 0
说明:据此定理
n a x n 的收敛半径为 R lim n 0
n
an an 1
证明 对级数 a n x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
lim
a n 1 x n 1 an x n
n
a n 1 lim x x, n a n
O
R
发散区域
x
推论
如果幂级数
n a x n 不是仅在 x 0 一点收敛, n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全 确定的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛；
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
例3 求下列幂级数的收敛域.
(1)
n 2 1 n n ( 1) ( x ) ; (2) 2 n n 1
x 2 n 1 . n n 1 2
an 1 2 n 解(1) lim 2 lim n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛 , x ( 0,1)级数收敛 ; 2 2 1 级数为 , 发散; 当x 0时, n 1 n ( 1) n 当x 1时, 级数为 , 收敛. n n 1
第11章 无穷级数
11.1 常数项级数的概念和性质 11.2 常数项级数的审敛法 11.3 幂级数 11.4 函数展开成幂级数 11.5 函数的幂级数展开式的应用 11.6 傅里叶级数 11.7 周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
第四章级数（答案）
第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。
2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。
4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。
三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。
(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。
若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。
判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。
11-5幂级数展开式的应用
欲使 rn ≤ 10 ,
5
1 只要 ≤ 10 5 , n n!
而 8 8! = 322560 > 10 5 ,
即 n n! ≥ 10 5 ,
1 1 1 e ≈ 1 + 1 + + + + ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
一,近似计算
∵ A = a1 + a2 + + an + , ∴ A ≈ a1 + a2 + + an ,
误差 rn = an+1 + an+ 2 + .
两类问题: 两类问题: 1.给定项数 求近似值并估计精度 给定项数,求近似值并估计精度 给定项数 求近似值并估计精度; 2.给出精度 确定项数 给出精度,确定项数 给出精度 确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数 关健: 通过估计余项 确定精度或项数 确定精度或项数.
∵ ∑ an = lim ∑ an x , 求得s( x ) = ∑ an x n ,
n n= 0 ∞ x →1 n 0 = n= 0
∞
∞
∞
∴ ∑ an = lim s( x ).
n= 0 x →1
(逐项积分 逐项求导) (逐项积分,逐项求导) 逐项积分,
2n 1 例4 求∑ n 的和 . n=1 2
1 x 1 3 x x x + + + 2 3 24 5 原式= 原式 lim x →0 1 3 3 3 35 3 5 3 x x + 4 3! 5!
3 5
11-6函数项级数的一致收敛性
s( x) s( x0 ) sn ( x) sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
sn ( x) sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 ) (1)
级数 un ( x)一致收敛于s( x) ， n1
对 0，必 自然数N N ( ) ，使得当n N 时,
又 0 x1 R，级数
an
xn 1
收敛，
n1
由比较审敛法即得级数 nan xn1 收敛． n1 由定理 4，级数 nan xn1 在( R, R)内的任意 n1
闭区间[ a,b ]上一致连续，
故幂级数 an xn 在[a,b ]上适合定理 3 条件，从 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
例1 考察函数项级数 x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
对a,b上的一切 x 都有
同样有
rn
(
x)
3
rn ( x0 )
. 3
(2)
sn ( x)是有限项连续函数之和，
故sn ( x)(n N )在点 x0连续，
0当 x x0
时总有
sn( x) sn ( x0 ) 3
(3)
由(1)、(2)、(3)可见, 对任给 0 ，必有 0 ，
致收敛于s( x),则s( x)在[ a,b ]上可以逐项积分,
11-3(2) 函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
11-1常数项级数的基本概念和性质
S
S
0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
（2）1 2 3 4 （ 1）n1 n
2345
n1
解 (1)
lim
n
un
lim
n
1 nn
1
0,
故原级数发散.
故所给级数发散.
小结:
un 0
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证 令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
vn
n1
(1
1) 2
(1 3
1) 4
(1 5
1 6
1 7
1) 8
(1 1 1 )
9 10
16
( 1
1 2n1
2
1 2n1
2n111)
2n )
v1
1
1 2
1, 2
v2
1 3
1 4
1 4
1 4
1 , 2
v3
1 5
1 8
1 8
1 8
4
1 8
1 2
v4
1 9
函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
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eit −e−it sint = , 2i nπx nπx
an −ib inπx an +ib −inπx a0 n n e l + e l = +∑ 2 n=1 2 2 ∞Leabharlann a0 C 令 0= , 2
an +ib n C−n = , 2 nπx ( n = 1,2,3,L) ∞ −i inπx = C +∑ Cne l +C−ne l 0 n= 1
∞
( x ≠ 2k + 1, k = 0,±1,±2,L)
练
−x
习
题
的周期函数， 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数，它在 [−1,1) 上的 表达式为 f ( x ) = e ．试将 f ( x ) 展开成复数形式的傅 里叶级数． 里叶级数．
练习题答案
( −1)n (1 − inπ ) f ( x) = ∑ sinh1e inπx . 1 + ( nπ ) 2 n= −∞
二、小结
傅里叶级数的复数形式 傅里叶系数的复数形式
1 Cn = ∫ f (x)e 2l −l
l −i nπx l
f (x) = ∑ ne C
n=−∞
∞
i
nπx l
,
dx (n= 0,±1±2,L , )
注意:傅里叶级数的两种形式， 注意:傅里叶级数的两种形式，本质上 是一样的． 是一样的．复数形式较简洁且只用一 个算式计算系数． 个算式计算系数．
1 l nπx b = ∫ f (x)sin dx (n=12,3 L , , ) n l −l l
代入欧拉公式
eit +e−it cost = , 2
a0 ∞ f (x) = +∑ an cos ( ) +b sin n 2 n=1 l l
nπx nπx −i ibn inπx −inπx a0 ∞ an i l = +∑ e +e l − e l −e l 2 2 n=1 2
∞ i nπx l
an −ib n C = , n 2
是 C 于 有 f (x) = ∑ ne
n=−∞
,
傅里叶级数的复数形式
1 Cn = ∫ f (x)e 2l −l
l
−i
nπx l
dx (n= 0,±1±2,L , )
傅里叶系数的复数形式
为2 周 函 , 例 设f (x)是 期 2 的 期 数 周 为 在 − 它 [−1,1)上 表 式 f (x) = e−x , 的 达 为 其 成 数 式 傅 级 . 将 展 复 形 的 氏 数 解 cn = 1∫1e−x ⋅ e−inπxdx = 1∫1e−(1+inπ)xdx
第十节 傅立叶级数的复数形式
一、复数形式的标准形式 二、小结
一、复数形式的标准形式
以2L为周期的函数的傅里叶级数为 2L为周期的函数的傅里叶级数为
a0 ∞ nπx nπx f (x) = +∑ an cos ( +b sin ), n 2 n=1 l l n=
1 l nπx an = ∫ f (x)cos dx (n= 0,12,L , ) −l l l
2
− 1
− 2∫ 1
1 1−inπ −1 =− ⋅ π π 2 2 [e cosn −ecosn ] 2 1+ n π
1−inπ ) sinh1 , = (−1 2 2 1+n π
n
1−inπ f (x) = ∑ −1 ( ) sinh1⋅ einπx. 2 2 1+n π n=−∞
+∞ n
(x ≠ 2k +1 k = 0,±1±2,L , , )