概率统计与随机过程 3.2

j=1 j=1
∞
∞
= ∑P( X = xi Y = y j )P(Y = y j )
j=1
∞
P(Y = y j ) = ∑ pij = ∑P( X = xi ,Y = y j ) = ∑P(Y = y j X = xi )P( X = xi )
i=1 ∞ i=1 i=1
∞
∞
i =1,2,L
j =1,2,L
注意：
FX Y (x y), f X Y (x y) 是 x 的函数, y 是常数, 对于每一 f Y (y) > 0 的 y 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数.
F X ( y x), fY X ( y x) 是 y 的函数, x 是常数, Y
对于每一 f X (x) > 0 的 x 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数. 类似于乘法公式： f (x, y) = f X (x) fY X ( y x) f X (x) > 0 = fY ( y) f X Y (x y) fY ( y) > 0
P( X = m,Y = n) P( X = m Y = n) = P(Y = n) 2 n−2 p (1− p) 1 = = 2 n−2 n −1 (n −1) p (1− p) m =1,2,L n −1 , 对每个m, (m =1,2,L )
P( X = m,Y = n) P(Y = n X = m) = P( X = m) 2 n−2 p (1− p) = = p(1− p)n−m−1 m−1 p(1− p) n = m +1, m + 2,L
0
1
P(Y = j X = 2)
1 2
1 2
另一方面，若已知联合分布律，则可由它求出 条件分布律. 假设已知本例的联合分布律如下表所示 求条件分布律即对矩形框中的数据进行运算
pij X Y 0 1 2 3 pi
•
0
1
2
3
p•
j
1 27 1 9 1 9 1 27 8 27
1 9 2 9 1 9
0
1 9 1 90 0源自1 270 0 0
8 27 4 9 2 9 1 27
1
4 9
2 9
1 27
例2 一射手进行独立射击, 已知每次他击中目标 的概率为 p ( 0 < p < 1 ), 射击一直进行到击 中两次目标为止. 令X 表示他首次击中目标 所进行射击的次数, Y 表示他总共进行射击的 次数. 求 X 和 Y 的联合分布律、条件分布律 和边缘分布律. 解 (Y = n) —— 第n 次击中目标，前 n – 1 次恰 有一次击中目标 故联合分布律为 2 n−2 P( X = m,Y = n) = p (1− p) m =1,2,L, n −1; n = 2,3,L (m =1,2,L n = m +1, m + 2,L ; )
同理，
σ2 2 2 fY X ( y x) ~ N µ2 + ρ (x − µ1),σ2 (1− ρ ) σ1
例5 设
8xy, 0 ≤ x ≤ y,0 ≤ y ≤1 f (x, y) = 其 他 0,
1
求 f X Y (x y) , fY X ( y x) 解
18xydy, 0 ≤ x ≤1 f X (x) = ∫x 其 他 0, 2 4x(1− x ), 0 ≤ x ≤1 = 0, 其 他
3−i− j
j = 0,L,3 − i
i = 0,L,3
i = 0,L,3 − j
1 1− 1 P( X = i Y = j) = C 2 2
由问题的意义可知 X 0 1
i
3− j−i
j = 0,L,3
2
3
P( X = i Y = 0)
1 8
3 8
3 8
1 8
Y
def.
= P( X ≤ x Y = y)
定义 若f (x,y)在点(x,y)连续，f Y (y)在点y处连续 且 f Y (y) > 0, 则称
∂F(x, y) ∂y = dF ( y) Y dy
f (u, y) = ∫−∞ du fY ( y) 为Y = y 的条件下X 的条件分布函数，记作 f (x, y) FX Y (x y),称 为Y = y 的条件下X 的 fY ( y) 条件概率密度函数，记作 f X Y (x y)
2 2 2 2
2 r2 − x2 = πr2 , − r < x < r 0, 其 他
同理，
fY ( y) = ∫−∞ f (x, y)dx
2 r2 − y2 = πr2 , − r < y < r 0, 其 他
边缘分布不是均匀分布！
+∞
当 – r < y < r 时，
[F(x, y − ∆y) − F(x, y)] (−∆y) lim ∆y→0+ [F ( y − ∆ ) − F ( y)] (−∆ ) y y Y Y
∂F(x, y) ∂y = = dF ( y) Y dy
y
∫−∞ f (u, y)du
fY ( y) (y
x
y -∆y x
f (x, y)连 续 fY ( y) ≠ 0,连 续
∞
P( X = xi ,Y = y j ) pij 记作 则称 = = P(Y = y j X = xi ) P( X = xi ) pi• j =1,2,L 为在 X = xi 的条件下，Y 的条件分布律
若
p• j = P(Y = y j ) = ∑ pij > 0,
i=1
∞
P( X = xi ,Y = y j ) pij 记作 则称 = = P( X = xi Y = y j ) P(Y = y j ) p• j i =1,2,L
P( X ≤ x y − ∆y < Y ≤ y) P( X ≤ x, y − ∆y < Y ≤ y) = P( y − ∆y < Y ≤ y)
y y - ∆y
∆y x
F(x, y) − F(x, y − ∆y) = F ( y) − F ( y − ∆y) Y Y
[F(x, y − ∆y) − F(x, y)] (−∆y) = [FY ( y − ∆y) − FY ( y)] (−∆y)
1 2πσ2
e
( y−µ2 )2 − 2 2σ2
=
1 2πσ1 1− ρ
2
e
1 σ − 2 ( x−µ1 )−ρ 1 ( y−µ2 ) σ2 2σ1 (1−ρ2 )
σ1 2 2 f X Y (x y) ~ N µ1 + ρ ( y − µ2 ),σ1 (1− ρ ) σ2
x
∫−∞ f (u, y)du = ∫−∞ f (u, y)du +∞ fY ( y) ∫−∞ f (u, y)du
x
x
类似地, 若f (x,y)在点(x,y)连续，f X (x)在点x处 连续且 f X (x) > 0, 则称 ∂F(x, y) y y ∫−∞ f (x,v)dv = ∫−∞ f (x,v)dv ∂x = +∞ dFX (x) f X (x) ∫−∞ f (x,v)dv dx y f (x, v) = ∫−∞ dv f X (x) 为X = x 的条件下Y 的条件分布函数，记作 f (x, y) F X ( y x),称 为X = x 的条件下Y 的 Y f X (x) 条件概率密度函数，记作 fY X ( y x)
类似于全概率公式
f X (x) = ∫−∞ f (x, y)dy = ∫−∞ f X Y (x y) fY ( y)dy fY ( y) = ∫−∞ f (x, y)dx = ∫−∞ fY X ( y x) f X (x)dx
类似于Bayes公式 f (x, y) fY X ( y x) f X (x) f X Y (x y) = = fY ( y) fY ( y)
边缘分布律为
P( X = m) =
n=m+1
2
p2 (1− p)n−2 ∑
m−1
∞
p (1− p) = = p(1− p)m−1 1− (1− p)
P(Y = n) = ∑ p (1− p)
2 m=1
n−1
m =1,2,L
n−2
= (n −1) p2 (1− p)n−2
n = 2,3,L
条件分布律为 ) 对每个n, (n = 2,3,L
1
8xydx, 0 ≤ y ≤1 fY ( y) = ∫0 11 其 他 0, y 3 4y , 0 ≤ y ≤1 = 其 他 0, x 11 当0 < y < 1 时， 2x 2x , 0 ≤ x ≤ y f (x, y) 2 f X Y (x y) = = y fY ( y) 其 他 0, 当0 < x < 1 时， 2y , x ≤ y ≤1 f (x, y) fY X ( y x) = = 1− x2 f X (x) 0, 其 他
为在 Y = yj 的条件下，X 的条件分布律 类似于乘法公式
P( X = xi ,Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j X = xi )
或
= P(Y = y j )P( X = xi Y = y j )
i, j =1,2,L
类似于全概率公式
P( X = xi ) = ∑ pij = ∑P( X = xi ,Y = y j )
二维连续型随机变量的条件分布函数和 条件密度函数 设二维连续型随机变量(X,Y )的 联合分布函数为F (x,y), 联合密度函数为 f (x,y) X 的边缘分布函数为FX (x), 边缘密度函数为 f X (x) Y 的边缘分布函数为FY (y), 边缘密度函数为 f Y (y)