质心参考系
质心系
质心系前面我们回顾了Newton 定律以及由它导出的一些重要的推论，主要有由于Newton 定律只在惯性系中才是成立的，因此作为其推论，这些定理的成立的前提当然也要求所涉及的量都是相对于某个惯性系测量或计算出的。
但是，存在一个可能是非惯性系的特殊参考系，这些推论在其中也都是成立的，其中一些，譬如动量定理，其形式来的还要更加简单。
这个特殊的参考系就是质心系，也就是以质心为原点并随质心一起平动的参考系。
如果我们用表示粒子在某个惯性系中的位矢，而a r K a a r ′K 则表示它在质心系中的位矢，它们之间有如下关系：CM a r R r a ′=+K K K (1) 在质心系中质心当然始终是位于原点的，因此0a a am r ′=∑K (2)另一方面，体系的总动量就是质心的动量，因此，体系在质心系中的总动量就该为零。
当然，上式两边对时间求微商也就得到了同样的结论。
， 0a a a a a ad p m r m r dt ′′==∑∑K K ′=K (3) 这个方程其地位就相当于在一般惯性系中的质心运动定理。
利用这些关系，你会发现描述体系状态的那些量——如角动量以及动能——都可以表示为两部分之和：一部分描述质心的运动，另一部分则描述体系相对于质心的运动。
如角动量()()CM CM CM CM CM a a a a a a a a a a a aa a a a a L L r p R r m R r R m R r m r R m r a′′==×=+×+⎛⎞′′=×+×⎜⎟⎝⎠′+×∑∑∑∑∑∑K K K K K K K K K K K K K K a a a m r ′+∑K CM R ⎛⎞×⎜⎟⎜⎟⎝⎠K (4) 其中第一项正是质心的角动量，而最后一项则是体系相对于质心的角动量： CM CM CM , a a aL R P L r m ar ′′=×=×′∑K K K K K K (5) 而中间两项则显然是等于零的，因此CM L L L ′=+K K K (6) 角动量变化的原因，即力矩，也可以作类似的分解，一部分对质心的运动负责，另一部分则负责相对于质心的运动：()CM CM CM CM CM with and a a a a a a a a a a aa a a aa r F R r F R F r F R F r F ττττττ′==×=+×′=×+×′′=+=×=×∑∑∑∑∑∑K K K K KK K K K K K ′K K K K K K K K (7)由于总的外力，第一项正是质心角动量的变化率，而我们又知道CMF MP =K K Lτ=K K ，由此L τ′′=K K (8) 即不管质心系是否是惯性参考系（也就是说，不管体系是否受到外力的作用），在质心系中角动量定理依然成立。
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
太阳系质心参考系中日心运动规律的研究
太阳 3 ． 33 × 10 5 地球 木星 土星 天王星 海王星 1 ． 00 318 ． 05 95 ． 21 14 ． 63 17 ． 22
1
模型的简化 2ຫໍສະໝຸດ 图1太阳系简化模型除太阳外还有八大行星及其他们各 太阳系中， 自的卫星和小行星带， 本文将质量较大的行星按照 质量由大到小排序分别是： 木星、 土星、 海王星、 天王 星、 地球、 金星、 火星和水星， 其中， 木星、 土星、 海王 星、 天王星 4 颗行星的质量又比其他行星大得多 ， 具 ［3 ， 4 ］ （ m 、 A 分别为地球的质 体行星参数如表 1 所示 量、 轨道半径） ． 本文主要考虑地球和木星、 土星、 天王星、 海王星 5 颗大行星的运动对太阳系质心的影响， 从表 1 可以 5 颗大行星的轨道面相对于黄道面的倾角和偏 看出，
是太阳半径的 2． 15 倍， 另外从图中还可以看出， 日心 ， ， 只在某些时刻与太阳系质心重合 其他时刻 不仅不 重合， 且很多时候太阳系质心在太阳之外．
图4
24 年内日心运动轨迹
图2
日心 x 坐标随时间变化
在图 3 中， 给出了 200 年内日心的 y 坐标随时 间的变化关系． 结合图 2 可以发现， 日心位置随时间 作类周期性的变化， 但又不具有绝对的周期性， 或者 ． ， 说绝对周期很长 但从短期来看 日心位置的变化 仍在 y 轴原点附近震荡， 满足一定的规律性． （ 4 ） 两式还可以得到太阳系质心运动的 由（ 3 ） 、
3
总结与讨论
本文通过简 化 的 太 阳 系 模 型 ， 使 用 MATLAB
计算了太 阳 系 质 心 坐 标 系 中 日 心 随 着 时 间 的 变 化 规 律， 并给出一段时间内日心的运动轨迹． 研 究 发 现， 日 心 往 往 不 与 太 阳 系 质 心 重 合， 且偏离 太阳系 质 心 的 最 大 距 离 约 为 太 阳 半 径 的 2 ． 15 倍 ． 此外 可 以 发 现 日 心 具 有 类 周 期 性 运 动 的 特 征， 但又不是绝对周期 性 的 ， 或者说周期会很长． 在给出日心的运动 轨 迹 后 还 可 以 发 现 ， 日心在半 0 ． 01 A ， 径为 的圆周范围内往复变化 但 几 乎 不 会 重复原来的路径 ． 由于在 研 究 过 程 中 只 考 虑 了 简 化 的 太 阳 系 模型即只考虑太阳 和 5 大 行 星 的 存 在 ， 这使得本 文的研究 结 果 与 太 阳 系 的 实 际 运 动 轨 迹 会 存 在 一 定 的 偏 差， 要 想 得 到 更 精 确 的 结 果， 需要进一 步考虑其他星体的存 在 ， 如 水 星、 金 星、 火星及小 行星带和其他弥漫 物 质 等 ， 同时需要考虑到它们
巧妙运用质心参考系和参考圆快速求解物理竞赛题
２ 口 一 ａ ）＝ 一３ （ ｍ（ ２ １ ｋ ２一 １一 ｚ） （ ） ０ ４
这是一 个以 Ａ为参考 系描 写Ｂ物体运动 的动力 学方程 ， 且是
简谐 的， 所以直接 写出解答 ，
～ ＝ Ａ ｅｓ ｏ
（ ， √ ｔ
＿＇ ０
＝ Ａｃｓ ＋ ） ｏ（ ，
速 度 随 时 间关 系为
求 解 了本 题 ．
烧 断 细 线 后 ， 于 系统 所 受 外 力 就 是 重 力 ， 以 质 心 运 由 所
动 是 简单 的 自由落 体 运 动 ．
解法三是 其中最简单的 ， 由于用到 了普通物理 中的 动 但 力学方程结论 ， 高 中生 而言还是 比较复 杂和 困难 的． 法 对 解
中学 物 理
Ｖ １ ９ Ｎｏ０ ｏ． ２ ．５
２１ 年 ３ ０１ 月
巧 妙 运 用 质 心 参 考 系 和 参 考 圆
快 速 求 解 物 理 竞 赛 题
武银 根
（ 江苏省 扬州 中学
第２ ２届全 国中学生物理竞赛 复赛试题 中第七题如下 ：
如 图 １ 示 ， 一 个劲 度 系数 为 ｋ 所 在 的轻 质 弹簧 两端 分 别 拴 着 一 个 质 量 为
结合初条件
ｌ ０＝ ａｏ￣ —ｚ ｅｓ ，
Ａ
７ ． ３＝一 ｏ ｓ （￣ ＋ ） Ａ ｉｏ ， ｎ ｔ
加 速 度 随 时间 关 系为
√
得 到
口 ＝ ０ ．
ａ ＝一 （ Ａｍｓｏ ＋ ） ￡ ’ （ｔ ， ￣
・
３ ・ ９
２１年 ３ ０１ 月
具体 解 法如 下 ：
ｍ 的 小球 Ａ 和 质 量 为 ２ 的 小 球 Ｂ． ｍ Ａ
质心
例:已知半圆环质量为M,半径为R 已知半圆环质量为M,半径为R M,半径为 它的质心位置? 求:它的质心位置? 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图 由对称性 x = 0
c
M 线密度 λ = πR
M dm = Rdθ πR
y = R sin θ
πபைடு நூலகம்
0
取dl → dm=λdl dl=Rdθ θ
M ∫ ydm = ∫ R sin θ π R Rdθ = yc = M M π R R 2R = ( cos θ ) = (1 + 1) = 0 π π π
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
p = ∑ mi vi = mvc 其中 m = ∑ mi = m1 + m2 + 为质点系的总质量
若令系统总动量 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动. 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点 的运动.
y
设小球质量为 0,则质量和质心坐标分别为: 小球质量为m 则质量和质心坐标分别为: 质量为 大球: 大球: m1 = 64m0 , x1 = 0 , y1 = 0 小球: 小球:m3 = m0 , x3 = R / 2, y3 = R / 4 系统的总质量为 m = m + m2 + m3 = 57m0 1 中球: 中球: m2
drc vc = dt
vc
如何确定这个 点的位置? 点的位置?
∑ =
dri mi vi ∑ mi dt = = m m
dri vi = dt
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
太阳系质心天球坐标系-概述说明以及解释
太阳系质心天球坐标系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述太阳系质心天球坐标系是一种重要的天文坐标系，用于描述太阳系中天体的运动和位置。
在这个坐标系中，太阳系的质心被视为参考点，其他天体相对于太阳系质心的位置被测量和描述。
太阳系质心天球坐标系的定义有助于研究太阳系内部天体之间的相对运动以及太阳系与其他恒星或星系的相对位置。
太阳系质心是太阳系中所有天体的质量中心，包括太阳、行星、卫星和小行星等。
太阳系质心并不在太阳的中心，而是在太阳与其他天体间的引力作用下产生的一个点。
这个质心不仅受到太阳和其他天体的引力影响，还受到其他星系和大质量天体的引力影响。
因此，确定太阳系质心的位置对于研究太阳系动力学和天体运动的影响非常重要。
天球坐标系是一种球坐标系，用于描述天体在天球上的位置。
在天球坐标系中，太阳系质心被定义为原点，而赤道是一个关键的参考面。
天球坐标系的两个基本坐标是赤经和赤纬，分别表示天体在天球上的经度和纬度。
这种坐标系使得天体的观测和测量可以更加方便和准确。
太阳系质心天球坐标系的重要性在于它提供了一个标准的参考框架，使得天文学家和研究者能够更好地理解太阳系中天体的运动和相对位置。
通过观测和测量太阳系中的天体在这个坐标系下的位置，我们可以推断出它们的轨道、运动速度和相互作用等重要信息。
此外，太阳系质心天球坐标系还与其他星系和宇宙中的天体位置相联系，有助于研究天体的演化、星系的相对位置以及宇宙的大尺度结构等问题。
综上所述，太阳系质心天球坐标系是一个重要且必要的工具，用于研究和描述太阳系中天体的运动与位置。
它为我们提供了一个标准的参考框架，使得我们能够更好地了解太阳系内部以及与其他星系和宇宙之间的关系。
通过进一步研究太阳系质心天球坐标系，我们可以对太阳系的演化和宇宙的结构有更深入的认识。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论太阳系质心天球坐标系。
首先，在引言部分概述太阳系质心天球坐标系的重要性和目的。
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
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r
' i
rc
(mi
' i
mivc
)
Lo L' Lc
r
' i
mi
' i
rc
mi
' i
mi
r
' i
c
rc
mic
4
第3章动量与角动量
质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心
处的一个质点对于参考点O的角动量。它反映了整个质
点系绕参考点的旋转运动。 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心 运动无关。它只代表系统的内禀性质 。
mi Fi
质点系整体随质心的运动；
ri ri
各质点相对于质心的运动
ri rC r'i
vi vC v'i
rC
×
C
c
xO
y
(mii ) ( mi )c ( mi )rc (miri )
可得
C 是质心兼质心
mii 0 坐标系原点
miri 0 ，
2
第3章动量与角动量
二、质心系的基本特征
LO LC L
LC rC MvC rC P
L r'i miv'i
3
第3章动量与角动量
质心系中的角动量
z i mi Fi
ri ri
rC
×
C
c
xO
y
对O点 对质心 C 对O
Lo ri (mii )
L ri(mii )
LC rC ( mi )C
可得
Lo ri (mii )
P
rC
dP dt
ri Fi 0 rC Fi
(ri rC ) Fi ri Fi M外
M 外
d L dt
6
第3章动量与角动量
四、质心系动能 克尼希定理
在相对速度为 V 的两个惯性系中，质点系各质点的速度按
伽利略变换,有如下关系:
i i V
S
S
V
i 任一质点相对S系的速度
i 任一质点相对S'系的速度
8
第3章动量与角动量
V S'系相对S系的速度
两参考系中的动能关系
Ek
i
12mii2
i
1 2mi
i V
2
i
1 2mi
i V
V
i 12mi (i2 V 2 2iV )
Ek
1 2
mV
2
(
i
mii) V
7
第3章动量与角动量
Ek
i
12mii2
Ek
1 mV 2 2
(
i
mii) V
若S 系为质心系，则
mii 0
(1) 质心系是零动量参考系。
两质点系统在其质心系中， 总是具有等值、反向的动量。
m11
m110
m220
m22
质心系中看两粒子碰撞
(2) 质点系的动量矩(角动量)可分为两项。
第一项：只包含系统的总
质量、质心的位矢和质心
的速度 ——轨道角动量
第二项：是质点系各质点
相对于质心的角动量的矢 量和 ——自旋角动量
mii 0,
i
V c
一般不 为零
Ek
Ek
1 2
mc2
又一次看到质心系的特殊地位 克尼希定理说明：
（克尼希定理）在实验室Biblioteka 考系中，1 2EK
1 2
mc2
EKC
mc2 轨道动能—整体随质心运动
E 质点系相对于质心的动能 KC
质点系的动能 等于质点系随质心 一起的轨道动能加 上质点系相对于质 心的内动能。
5
第3章动量与角动量
三、 质点系对质心的角动量定理
MvC P
d L dt
d dt (L Lc )
d d t (L rC P)
尽管质心系可能 不是惯性系，但 对质心系来说， 角动量定理仍然 成立。这再次显 示了质心的特殊 之处，同时也表 明了选择质心系 来讨论问题的优 点。
dL dt
d rC dt
§4.3 质心参考系
一、质心系 二、质心系的基本特征 三、 质点系对质心的角动量定理 四、质点系对质心的动能定理
1
第3章动量与角动量
一、质心系
讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。
质心系是固结在质心上的平动参考系。
O系为惯性系
质心系随着质心一起运动，不一定是惯性系。
zi
质点系的复杂运动通常可分解为：