质心系中质点组的运动定律
质心运动定律
mi ai
i
N
m
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
质心的特点与求法 质心系
5
质心的求法
(1) 分立质点系的质心
rC
mi ri
i 1
N
m
在直角坐标系下可以表示为：
xC
m x
i
i i
m
, yC
m y
i i
i
m
, zC
m z
i
i i
m
6
D 三质点在某一时刻的位置坐标 B、 例4.1.2-1 A 、
N i
N
ac
Fi
i
质心位置矢量:
rC Biblioteka mi ri m应用： 运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆） F 0 ，自然界如没摩擦力 的情形设想……
4
质心速度:
drC vC dt
2
mi vi
i
N
m
d rC 质心加速度: a C 2 dt
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心
多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每 个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公
共质心。
例4.1.2-3 如例4.1.2-3图所示，半径为 R 、质量为 m 、
R 质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为 2 的小圆
盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
0, yC y边 ，则系统的质心为：
1 1 R Yc yC dm y边 (2 x边 dy边 ) m m 0
dy边
1 R 4R 2 2 y边 (2 R y边 dy边 ) m 0 3π
质心运动定理
物理
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为R。
求 此半圆形铁丝的质心。
y
解 选如图所示的坐标系
半圆对y轴对称，则质心应在y轴上
任取一微元长为dl，质量为dm
dm dl m dl
πR 由质心的位置坐标式，有
y R sin dl Rd
yC
ydl
m
C
d
R
dl
y
O
x
大学
3-3 质心运动定理
物理
3.3.1 质心
z
研究由质量为m1, m2 , mn的质点组成
······· F的外质点dd系Pt 质点系动量定理（微分形式）
C× rc
mi
ri
· F外
d dt
(
mivi )
vi
dri dt
F外
d2 dt 2
(
miri )
以m表示质点系的总质量
rC
yc
ydm m
π
yC
Rsin Rd
0
2 R2
m
m
2R π
第三章 守恒定律
4
大学
物理 3.3.3 质心运动定理
F外
m
d2 dt 2
rC
mac
ac称为质心加速度
质心运动定理
3-3 质心运动定理
d 2
F外 m dt 2 (
miri ) m
rC
mi
mi
m
ri
0
y
x
F外
m
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
第三讲 质心运动定理与刚体转动定律(教师版)
第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。
质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。
一、质心运动定理设系统由n 个质点组成，各质点的质量分别为n m m m ⋅⋅⋅21、，位矢分别是n r r r ⋅⋅⋅21、，则此质点系质心的位置矢量C r 为nn n C m m m r m r m r m r +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 因此，质心的加速度 nn n C m m m a m a m a m a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ，第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠，则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++22232122a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++∙∙∙∙∙∙将n 个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=，得n n n a m a m a m F F F +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121令F 21=+⋅⋅⋅++n F F F ，称为质点系所受到的合外力，m m m m n =+⋅⋅⋅++21，称为质点系的总质量，则C ma =F这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。
二、质心运动守恒定理如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。
三、刚体的转动定律刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
质心运动定理
F
r
2
m1 2
m 2
质心运动定理 动量定理
例2
e 已知：地面水平, 光滑, m1 , m2 , , 初始静止,
常量.
求: 电机外壳的运动.
质心运动定理
动量定理
解:
F (e) x
0
xC1 xC2
质心运动守恒 初始静止
设 xC1 a
xC2
m1(a s) m2 (a esin s)
质心运动定理
n
maC
F (e) i
i 1
是导出定理，描述 质心运动状态变化 规律
动量定理
在直角坐标轴上的投影式为:
质心运动定理
ma
Cx
Fx(e)
maCy
F(e) y
在自然轴上的投影式为:
maCz Fz(e)
m dvC F (e)
dt
t
m vC2
F (e) n
质心运动守恒定律
0
F (e) b
质心运动定理
动量定理
解: 分析整体，受力如图所示。
应用质心运动定理
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d 2Cx dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
c o s
t
Fx
F
r
2
m1 2
m2
c o s
t
最大水平约束力为
Fmax
动量定理
内力不能改变质心的运动
汽车发动机的气体
地面摩擦力
动量定理
n
maC
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
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质心系中质点组的运动定律
宁国强
. 引言
众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律。所以，以
牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成
立[]。在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非惯
性参考系可能会使问题简单化[]。在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动定律
可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达式又
如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非惯性
系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现象。
. 质心参考系
以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质
心参考系或质心系。
根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征。
由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为
0iiicmrmr
. （）
将cr对时间取一阶导数，得
0iicimvvm
. ()
由上式知 0iimv.
()
公式（—）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定义
的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。
因此，我们称质心参考系为零动量参考系。正是由于有了这一特征，才能使得质
心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系[]。
质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系。
由质心运动定理 dtvdmrmFcci 可知，我们所研究的系统，如果所受
的合外力为零，则质心在静止惯性参考系中以恒定速度cV作惯性运动，此时质心
参考系也是惯性参考系。如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加
速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。
. 质心系中质点组的运动定律
质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律
若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导
如下：
设有一质心系Cxyz(以下简称k系)相对另一惯性系Oxyz（以下简称
k
系）作加速运动，k系原点在k系中的加速度用ca表示，现有n个质点组成的质
点系相对k系作加速运动，nrrr,,,21表示各质点相对k系原点的位矢，
nvvv,,,21
表示各质点相对于k系运动的速度。相对于k系，第i个质点的运动
微分方程为
eiiiii
FfFdtvdm
， （）
式中eiiiFfF,,分别为作用于第i个质点上的外力、相互作用内力、惯性力。将式
（）两端对个质点求和，可得
1111nnnniiiieiiiiidmvFfFdt
， （）
式中niriiPvm1为质点系相对于质心系k的动量，eiicFma是由非惯性系引
起的第个质点受到的惯性力。注意到对质点系来说，有01niif，式（）就成为
cniinii
r
amFdtPd)(11
， （）
式中Mmnii1，为质点系的总质量。由惯性系中的质心运动定理，有
01niciaMF
，因此，（）式可进一步写为
01cniiraMF
dt
Pd
. （）