专题1-2 解三角形 重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破(建议用时：60分钟)三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．1．通过角之间的关系定“形”例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形2．通过边之间的关系定“形”例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋ca ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A为锐角，只有当a不小于b sin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的．当A为钝角时，只有当a大于b时才有解．2．解决问题的策略(1)正弦定理法已知△ABC的两边a，b和角A，求B.根据正弦定理asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa.若sin B>1，三角形无解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B<1，B有两解，再根据a，b的大小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解的取舍．(2)余弦定理法已知△ABC的两边a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，整理得c2－2bc cos A－a2＋b2＝0.适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解．(3)公式法当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>b a≤b a>b sin A a＝b sin A a<b sin A一解二解一解无解一解无解3．实例分析例在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个？挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围．隐含条件2.三角形的内角范围例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求ba 的取值范围．正弦、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例． 1．平面几何中的长度问题例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．2．求范围例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0<x <1时，f (x )＝x －1x为增函数)．3．判断三角形的形状例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案三角形定“形”记例1 分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b . 所以△ABC 是等腰三角形．故选B. 方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π， 所以A －B ＝0，即A ＝B .所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系． 例2分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋ca ，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )，即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ， 所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现．细说三角形中解的个数例 分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况．解 方法一 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得sin B ＝22sin 45°＝12<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°， 符合条件的△ABC 只有一个． 方法二 由余弦定理得22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos 45°，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1± 3.而1－3<0， 故仅有一解，符合条件的△ABC 只有一个．方法三 A 为锐角，a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个．挖掘三角形中的隐含条件例1 [错解] ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2＋(k ＋2)2－(k ＋4)22k (k ＋2)＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 又∵k 为三角形的边长， ∴k >0.综上所述，0<k <6.[点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，需满足k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0. [正解] ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了.例2 [错解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°，∴A ＝90°.则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.[点拨] 上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sin C ＝32可得C ＝60°或C ＝120°，它们都满足条件．[正解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3.温馨点评 利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错.例3 [错解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ⇔cos B cos A ＝sin Asin B ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B .∴△ABC 是等腰三角形．[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°. [正解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ⇔cos B cos A ＝sin Asin B ⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．温馨点评 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. 例4 [错解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵0≤cos 2A ≤1， ∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0<ba≤3. [点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致ba取值范围求错．[正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A .∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°.∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<ba<3.温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.正弦、余弦定理三应用例1 分析 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE 为所求的高．由∠BAD ＝60°，知∠ADC ＝120°，又边CD 与AC 的长已知，故△ACD 为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt △ADE ，需先求AD 的长，这只需在△ACD 中应用余弦定理． 解 由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°， 在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ， 即19＝AD 2＋4－2AD ×2×⎝⎛⎭⎫－12， 解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)． 在△ADE 中，DE ＝AD ·sin 60°＝332. 点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现． 2．求范围例2 分析 把BD 的长表示为∠ABC 的函数，转化为求函数的值域． 解 设∠ABC ＝α.因为∠ABC ＝∠C ，所以∠A ＝180°－2α， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝180°－2α＋α2＝180°－3α2，因为BC ＝1，在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝sin αsin 3α2＝2sin α2cos α2sin αcos α2＋cos αsin α2＝2cosα24cos 2α2－1＝24cos α2－1cosα2，因为0°<α2<45°，所以22<cos α2<1，而当cos α2增大时，BD 减小，且当cos α2＝22时，BD ＝2；当cos α2＝1时，BD ＝23，故BD 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，2.点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．例3 解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B . 又AB →·AC →＝BA →·BC →， ∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴b cos A ＝a cos B .方法一 ∴sin B cos A ＝sin A cos B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．方法二 利用余弦定理将角化为边， ∵b cos A ＝a cos B ，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知：a ＝b .∴AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.。