二次函数与商品利润
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
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综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
二次函数与商品利润问题
⼆次函数与商品利润问题《⼆次函数与商品利润问题》教学设计⼀、教材版本及内容分析本节课选⾃2011年⼈教版九年级上册第⼆⼗⼆章《⼆次函数》第三节《实际问题与⼆次函数》第⼆课时商品利润问题。
⼆次函数的应⽤本⾝是学习⼆次函数的图象与性质后，检验学⽣应⽤所学知识解决实际问题能⼒的⼀个综合考查。
新课标中要求学⽣能通过对实际问题的分析确定⼆次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。
⽽最值问题⼜是⽣活中利⽤⼆次函数知识解决最常见、最有实际应⽤价值的问题之⼀，它⽣活背景丰富，学⽣⽐较感兴趣，商品最⼤利润问题学⽣不易理解和接受，故⽽在这⼉做专题讲解。
⽬的在于让学⽣通过解决商品利润问题，学会⽤建模的思想去解决其它和⼆次函数有关的应⽤问题。
此部分内容既是学习⼀次函数及其应⽤后的巩固与延伸，⼜为⾼中乃⾄以后学习更多函数打下坚实的理论和思想⽅法基础。
⼆、学情分析对九年级学⽣来说，在学习了⼀次函数和⼆次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的⽅法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在⽐较复杂的实际问题中，还不能熟练的应⽤知识解决问题。
本节课正是为了弥补这⼀不⾜⽽设计的，⽬的是进⼀步培养学⽣利⽤所学知识构建数学模型，解决实际问题的能⼒，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
三、教学⽬标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会⽤⼆次函数的知识解决商品利润问题。
2、过程与⽅法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于⽣活，⼜服务于⽣活。
3、情感态度与价值观：培养学⽣的独⽴思考的能⼒和合作学习的精神，在⼩组交流过程中培养学⽣的交际能⼒和语⾔表达能⼒，促进学⽣综合素养的提升。
四、教学重点与难点1、教学重点：利⽤⼆次函数的知识对商品利润问题进⾏数学分析，即⽤数学的⽅式表⽰问题以及⽤数学的⽅法解决问题。
2、教学难点：从商品利润问题中建⽴⼆次函数模型。
五、教学⽅法与⼿段新课程标准强调⾃主探究与合作交流应该是学⽣学习数学的重要⽅式。
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
初中数学课件
二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
22.3 第2课时 二次函数与商品利润问题 课件(共20张PPT)
大家知道商家做这些广告的目的是什么吗？
如果你是商家，你该如何定价才能获得最大利润呢？
利润问题
一.几个量之间的关系.
1.总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润=售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润=单件利润×数量
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
小组讨论
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，那么销售单价应控制
在什么范围内？
(2)y=－5x²+800x－27 500=－5(x－80)²+4 500,其中x≥50,
∵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5<0,∴当x=80时，y 最大 =4 500,即销售单价为80元时，
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
【题型】二次函数与商品利润问题
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
二次函数与商品利润
第2课时二次函数与商品利润1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解:设销售单价为x元,销售利润为y元.根据题意,得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1 000-20x)=-20x2+ 1 400x-20 000,当x=-=35时,y最大值=4 500,这时,x-30=35-30=5.所以,销售单价提高5元时,才能在半月内获得最大利润4 500元.2.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图(甲)),一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份本钱最高(如图(乙)).根据图象提供的信息解答下面问题:(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-本钱)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式;(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?假设该公司能在一个月内售出此种商品30 000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?解:(1)一件商品在3月份出售时利润为6-1=5(元).(2)由图象可知,一件商品的本钱Q(元)是时间t(月)的二次函数,由图象可知,抛物线的顶点为(6,4),∴可设Q=a(t-6)2+4.又∵图象过点(3,1),∴1=a(3-6)2+4,解得a=-.∴Q=-(t-6)2+4=-t2+4t-8,由题知t=3,4,5,6,7.(3)由图象可知,M(元)是t(月)的一次函数,∴可设M=kt+b.∵点(3,6),(6,8)在直线上,∴解得∴M=t+4,∴W=M-Q=t+4-(-t2+4t-8)=t2-t+12=(t-5)2+,其中t=3,4,5,6,7,∴当t=5时,W最小值=元,∴该公司在一个月内最少获利×30 000=110 000元.3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y个.(1)求果园增种橙子树x(棵)与果园橙子总产量y(个)的函数关系式;(2)在上述问题中,果园要种多少棵橙子树,就可以使果园橙子的总产量为最多?(3)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上?从计算结果和数学的角度看,你有什么感想(不超过30字)?解:(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, ∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子,那么平均每棵树结(600-5x)个橙子.∴y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60 000.(2)∵y=-5x2+100x+60 000,∴当x=-=-=10时,y最大值=60 500.故当增种10棵橙子树时,橙子的总产量最多,为60 500个.(3)当y=-5x2+100x+60 000=60 420时,整理得x2-20x+84=0,(x-16)(x-4)=0,解得x1=16,x2=4,∵抛物线对称轴为直线x=10,∴增种5到15棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上.通过以上计算可以发现,果园的果树棵数并不是越多越好,产量的多少取决于科学的计算果树的棵数.。
九年级数学上册第二十二章二次函数2实际问题与二次函数第2课时二次函数与商品利润作业课件新版新人教版
一、选择题(共8分) 8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销 售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公 司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( D ) A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
二、填空题(共8分) 9．【易错题】经调查，某超市在防治新型冠状病毒期间，进价为2元/千克 的某品种橙子每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x ＋200，为了防止哄抬物价，物价部门限定售价不能超过5元/千克，则当售价 定为__5__元时，该品种橙子当天的销售利润到达最高，最高为_3_0_0_元．
(2)在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利第t天)
1 2 3 … 80
销售单价p/(元/kg) 49.5 49 48.5 … 10
解：(1)p＝－12 t＋50
(2)设每天获得的利润为 w 元，由题意得， w＝(2t＋100)(50－0.5t)－6(2t＋100)＝－t2＋38t＋4 400＝ －(t－19)2＋4 761，∵a＝－1＜0，∴当 t＝19 时，w 最大＝4 761， 答：第 19 天的日销售利润最大，最大利润是 4 761 元
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
1．(4分)学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元) 之间的关系式为y＝－4(x－2)2＋50，则下列叙述正确的是(A ) A．当x＝2时，利润有最大值50元 B．当x＝－2时，利润有最大值50元 C．当x＝2时，利润有最小值50元 D．当x＝－2时，利润有最小值50元
(Ⅱ)当 30＜x≤50 时，w＝(80－40)×(－2x＋120)＝－80x＋4 800， ∵w 随 x 的增大而减小，∴当 x＝31 时，w 最大值＝2 320，
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
22.3第2课时 二次函数与商品利润
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
侵权必究
练一练 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单
价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销 售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一 个月内获得最大利润？
侵权必究
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品 总利润为y元，填空：
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价 为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
侵权必究
当堂练习
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352. 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352.
1、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部 门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量 会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获 利润2 250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最 大，最大值是多少？
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二次函数与商品利润练习题
基础题
知识点销售中的最大利润
1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为() A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为() A．5元B．10元
C．0元D．6元
3．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
4．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系
为：每投入x万元，可获得利润P＝－
1
100(x－60)
2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5
年所获利润的最大值是________．
5．天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；
(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
6．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图．
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
中档题
7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是() A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月
8．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为________元．
9．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
10．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获的利润最大？最大利润是多少？
综合题
11．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x>0即售价上涨，x<0即售价下降)，每月饰品销售量为y(件)，月利润为w(元)．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
(3)为了使每月利润不少于6 000元应如何控制销售价格？
参考答案
基础题
1.B
2.A
3.3
4.205万元
5.(1)由题意得：y ＝(x －8)[20－4(x －9)]，化简得：y ＝－4x 2＋88x －448(9≤x ≤14)．
(2)y ＝－4x 2＋88x －448＝－4(x －11)2＋36.所以当x ＝11时，y 最大＝36.答：每件售价定为11元时，一天所得的利润最大，最大利润是36元．
6.(1)y ＝ax 2＋bx －75图象过点(5，0)，(7，16)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20.∴y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25.∴当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x ≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
中档题
7.C 8.25 9.22
10.(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩
⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638
(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.
∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214
.答：第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214
元/千克． 综合题
11.(1)由题可知：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x ≤30），300－20x （－20≤x<0）. (2)w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0）.化简得：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋100x ＋6 000（0≤x ≤30），－20x 2－100x ＋6 000（－20≤x<0）.即：w ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6 250（0≤x ≤30），－20（x ＋52）2＋6 125（－20≤x<0）.①当0≤x ≤30，x ＝5时，w 最大值为6 250；②当－20≤x<0，x ＝－52
时，w 最大值为6 125.由题意知x 应取整数，故当x ＝－2或－3时，w<6 125<6 250.故当销售价格为65
元时，月利润最大，最大月利润为6 250元．
(3)由题意知：w≥6 000，如图，令w＝6 000，得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，∴－5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6 000元．。