高二数学(理)《椭圆及其标准方程》(课件)
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高中数学人教版高二必修《椭圆及其标准方程》教育教学课件
人教版高中选修一
01
椭圆定义
概 念 辨 析
当：
1 + 2 = 1 2
F2
F1
动点M的轨迹：
线段F 1 F 2
椭圆及其标准方程
当:
M
|1|+|2|<|12| 时，
动点M的轨迹：
不存在
人教版高中选修一
概 念 辨 析
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)
的距离之和为4的点的轨迹.
轴，线段 F F 的垂直平
(-c，0)、F (c，0)
1
1 2
2 1
2
又设M与F1，F2的距离之和等于2a.
分线为 y 轴,建立直角坐
标系．
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
椭圆方程的推导
p
由椭圆的定义可知，
1 = 2 =
y
1 = 2 =
2a>2c,即a>c;
∴ 2 − 2 >0
求椭圆标准方程的方法
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
你能从图中找出表示
a ,c,
2
−
2
的线
段吗？
椭圆及其标准方程
=
F1
O
F2
x
2 − 2
令 = =
2 − 2
那么原方程可化为
+
=
−
+ =
>>0
人教版高中选修一
03
结 论
p
y
其中，>>0
F1
O
F2
x
它的焦点坐标在x轴上，分别是
《椭圆及其标准方程》课件
感谢观看
THANKS
《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
3.1.1椭圆及其标准方程-高二数学课件
且经过点( , − )，求它的标准方程.
练习巩固
练习5 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的
垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的
中点M的轨迹是什么？为什么？
练习巩固
练习6 设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0). 直线AM,BM
相交于点M，且它们的斜率之积是- ，求点M的轨迹方程.
(0,-b) (0,b)
a,b,c关系
F1(0,-c)，F2(0,c)
2c
(0,-a) (0,a)
(-b,0) (b,0)
a>b>0，且a2=b2+c2
三、焦点三角形
P
焦点三角形：由椭圆上一个点P及两个
焦点构成的三角形
F1
O
F2
Q
三角形PF1Q：由椭圆的一个焦点和过焦点的弦构成的三角形
练习巩固
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2a > 2c
椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
练习1 平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足
|PA|+|PB|=6，则点P的轨迹是( C
A.直线
B.射线
C.椭圆
)
D.圆
练习巩固
练习2
椭圆
+
= 的焦点坐标为( C )
A.(5,0) (-5,0)
B.(0,5) (0,-5)
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
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F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
湖南长郡卫星远程学校
x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
F(±c, 0) ±
F(0, ±c)
制作 09
2009年下学期 2009年下学期
定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
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制作 09
2009年下学期 2009年下学期
***讲授新课 讲授新课*** 讲授新课 1. 椭圆定义： 椭圆定义： 平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1F2的距离和等 于常数(大于 1F2|)的点的轨迹叫作椭圆 的点的轨迹叫作椭圆 于常数 大于|F 大于 的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 椭圆的焦点 的距离叫做椭圆的焦距。 的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆的焦距
M x F1 O F2
叫做椭圆的标准方程。
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y
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2
M x F1 O F2
叫做椭圆的标准方程。
在 , 它所表示的椭圆的焦点 x轴上 焦点是 F (c, 0), F2 (c, 0),中心在坐标原点的椭 1 , a 圆方程 其中 2 = b2 + c2 .
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x O y F2
x y F1 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
焦点在y轴 焦点在 轴:
2
2
F2 M O F1
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y x + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
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2
2
x
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定 义 图 形
2
2
(5) 3x 2 y = 1
2 2
2 2
x y x y (3) 2 + 2 + =1 = 1 (6) 24 k 16 + k m m +1
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a= 焦点在x轴上 焦点在 轴上； 6,b=1,焦点在 轴上； (2) 焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5; 焦点为 － ， 且 (3) 两个焦点分别是 1(－2,0)、F2(2,0),且 两个焦点分别是F － 、 且 过P(2,3)点； 点 (4) 经过点 －2,0)和Q(0,－3). 经过点P(－ 和 －
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
F(±c, 0) ±
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图 设M(x, y)是椭圆上任意一 是椭圆上任意一 椭圆的焦距 点,椭圆的焦距 椭圆的焦距2c(c>0),M 的距离的和等于 与F1和F2的距离的和等于 正常数2a 正常数 (2a>2c),则F1、F2 则 的坐标分别是(－ 的坐标分别是 －c,0)、(c,0). 、
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图
2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
F F 由椭圆的定义得，限制条件 由椭圆的定义得，限制条件: | M 1 | + | M 2 |= 2a
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y
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图 设M(x, y)是椭圆上任意一 是椭圆上任意一 椭圆的焦距 点,椭圆的焦距 椭圆的焦距2c(c>0),M 的距离的和等于 与F1和F2的距离的和等于 正常数2a 正常数 (2a>2c),则F1、F2 则 的坐标分别是(－ 的坐标分别是 －c,0)、(c,0). 、
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
探讨建立平面直角坐标系的方案
y M x F1 O F2
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|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F1 O F2 x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
焦点在y轴 焦点在 轴:
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x F1 O F2
定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
[例1] 下列各式哪些表示椭圆？若是 例 下列各式哪些表示椭圆？若是, 则判定其焦点在何轴？并指明 则判定其焦点在何轴？并指明a2，b2，写 出焦点坐标. 出焦点坐标
x y (1) + =1 16 16
2 2
(4) 9x 25 y 225 = 0
2 2
x y (2) + =1 25 16
2 2
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程: x2 2 (1) a= 6,b=1,焦点在 轴上； 焦点在x轴上 焦点在 轴上； + y =1 6 (2) 焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5; 焦点为 － ， 且 (3) 两个焦点分别是 1(－2,0)、F2(2,0),且 两个焦点分别是F － 、 且 过P(2,3)点； 点 (4) 经过点 －2,0)和Q(0,－3). 经过点P(－ 和 －
3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x O y F2
x y F1 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
焦点在y轴 焦点在 轴:
2
2
F2 M O F1 x
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
F(±c, 0) ±
F(0, ±c)
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|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
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***讲授新课 讲授新课*** 讲授新课 1. 椭圆定义： 椭圆定义： 平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1F2的距离和等 于常数(大于 1F2|)的点的轨迹叫作椭圆 的点的轨迹叫作椭圆 于常数 大于|F 大于 的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 椭圆的焦点 的距离叫做椭圆的焦距。 的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆的焦距
M x F1 O F2
叫做椭圆的标准方程。
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y
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2
M x F1 O F2
叫做椭圆的标准方程。
在 , 它所表示的椭圆的焦点 x轴上 焦点是 F (c, 0), F2 (c, 0),中心在坐标原点的椭 1 , a 圆方程 其中 2 = b2 + c2 .
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x O y F2
x y F1 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
焦点在y轴 焦点在 轴:
2
2
F2 M O F1
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y x + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
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2
2
x
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定 义 图 形
2
2
(5) 3x 2 y = 1
2 2
2 2
x y x y (3) 2 + 2 + =1 = 1 (6) 24 k 16 + k m m +1
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a= 焦点在x轴上 焦点在 轴上； 6,b=1,焦点在 轴上； (2) 焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5; 焦点为 － ， 且 (3) 两个焦点分别是 1(－2,0)、F2(2,0),且 两个焦点分别是F － 、 且 过P(2,3)点； 点 (4) 经过点 －2,0)和Q(0,－3). 经过点P(－ 和 －
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
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|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
F(±c, 0) ±
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图 设M(x, y)是椭圆上任意一 是椭圆上任意一 椭圆的焦距 点,椭圆的焦距 椭圆的焦距2c(c>0),M 的距离的和等于 与F1和F2的距离的和等于 正常数2a 正常数 (2a>2c),则F1、F2 则 的坐标分别是(－ 的坐标分别是 －c,0)、(c,0). 、
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图
2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
F F 由椭圆的定义得，限制条件 由椭圆的定义得，限制条件: | M 1 | + | M 2 |= 2a
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y
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2 2
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探讨建立平面直角坐标系的方案 取过焦点F 的直线为x轴 线段F 法1: 取过焦点 1、F2的直线为 轴，线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系(如图 如图). 垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 如图 设M(x, y)是椭圆上任意一 是椭圆上任意一 椭圆的焦距 点,椭圆的焦距 椭圆的焦距2c(c>0),M 的距离的和等于 与F1和F2的距离的和等于 正常数2a 正常数 (2a>2c),则F1、F2 则 的坐标分别是(－ 的坐标分别是 －c,0)、(c,0). 、
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
y M x F1 O F2
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2. 求椭圆的方程： 求椭圆的方程：
探讨建立平面直角坐标系的方案
y M x F1 O F2
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|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F1 O F2 x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
焦点在y轴 焦点在 轴:
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x F1 O F2
定 义 图 形
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间 之间 的关系
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|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O F2 x O
[例1] 下列各式哪些表示椭圆？若是 例 下列各式哪些表示椭圆？若是, 则判定其焦点在何轴？并指明 则判定其焦点在何轴？并指明a2，b2，写 出焦点坐标. 出焦点坐标
x y (1) + =1 16 16
2 2
(4) 9x 25 y 225 = 0
2 2
x y (2) + =1 25 16
2 2
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程: x2 2 (1) a= 6,b=1,焦点在 轴上； 焦点在x轴上 焦点在 轴上； + y =1 6 (2) 焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5; 焦点为 － ， 且 (3) 两个焦点分别是 1(－2,0)、F2(2,0),且 两个焦点分别是F － 、 且 过P(2,3)点； 点 (4) 经过点 －2,0)和Q(0,－3). 经过点P(－ 和 －
3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
焦点在x轴 焦点在 轴:
y M x O y F2
x y F1 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
焦点在y轴 焦点在 轴:
2
2
F2 M O F1 x
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3. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:
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x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)