自动控制原理-A2-非线性系统-相轨迹分析
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理非线性分析知识点总结
自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。
非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。
在这篇文章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。
一、非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受到系统自身状态和非线性特性的影响。
2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出会趋向于无穷大或无穷小。
3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。
二、非线性系统的分析方法1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线性行为。
相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分析系统的稳定性和动态特性。
2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。
通过分析系统的幅频特性和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行时间上的观察和分析。
通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。
4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。
通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行分析与计算。
5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和性能参数。
三、非线性系统的稳定性分析1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。
对于非线性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。
自动控制原理非线性控制系统分析
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
自动控制原理(非线性控制系统 )
3/31/2011 6:25 PM
1
§8.1 概述 1、意义 理想的线性系统不存在；非线性系统千差万别。 理想的线性系统不存在；非线性系统千差万别。
对于非线性程度不严重的系统，视为线性系统； 对于非线性程度不严重的系统，视为线性系统； 对于非线性程度严重的系统，不能视为线性系统， 对于非线性程度严重的系统，不能视为线性系统，采用相应的 非线性分析方法。 非线性分析方法。
4、典型非线性特性
控制系统中，常见的非线性特性： 控制系统中，常见的非线性特性： 1）、饱和特性：控制系统中的放大部件，由于器件性能及电路 ）、饱和特性 ）、饱和特性：控制系统中的放大部件， 参数等的限制，一般都具有输出饱和现象。 参数等的限制，一般都具有输出饱和现象。
y（t） （） b r（t） （） a r（t） （） y（t） （） k a r（t） （） y（t） （）
①晶体管放大器 晶体管放大器 特性（实际） 特性（实际） 3/31/2011 6:25 PM
饱和特性（理想） ② 饱和特性（理想）
③ 饱和特性的 增益曲线
3
根据图②可知： （ ） 根据图②可知： y（t）=
k·r（t） （） ∣r（t）∣≤ （ ）∣≤a b·sign r（t） ∣r（t）∣> a （） （） b = k·a —— 饱和度 r（t）> 0 （） r（t）< 0 （）
A1 B1
ϕ 1 = arctan
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1）、描述函数的定义 非线性元件稳态输出的基波分量与输入 ）、描述函数的定义: ）、描述函数的定义 正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数 描述函数。 正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数。 并用N（ ）表示： 并用 （A）表示：
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
自动控制原理之非线性控制系统的相平面分析总结
7-5 非线性控制系统的相平面分析一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在ee -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e eT +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v ee -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。
第7章非线性控制系统分析自动控制原理-课件
当用后一种关系曲线时,是
把曲线画在
xx
的直角坐标平面上,
而 t作为参变量
在
x
x
平面上并不出现.
设下图为式(1)在初始条件
xx0,xx0情况下的
x
(
t
)
与
x
(
t
)
的关系曲线. 当 t[0,)时, 平面上的点随时间的增大,
x
A(x0,
x0
)
将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 则曲线上任何一点的
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
非线性系统.
设一二阶系统可用下面常微分方程描述:
xf(x,x) (1)
上面微分方程的解可用 x(t )对t的关系曲线表示, 也可用
x
(
t
)
与
x
(t
)
的关系曲线表示,
但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相
轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得
一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有:
令 dx/dx为某一常数, 则 f(x,x)/x是关于x , x
的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲
线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于
x2
dx/
x
t1
x1
t
t2
t1
x2
dx/
自动控制原理-第七章 非线性系统分析
p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
自动控制原理非线性控制系统分析
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程 的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地 转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个 点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部 信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非 线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳 态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。
16
⑵ -1< ζ <0
相轨迹为离 心螺旋线，最 终发散到无穷。
0.5 , n 1
17
⑶ ζ>1(过阻尼）
相轨迹为 非周期衰减 曲线，最终 趋于原点。
1.25 , n 1
18
⑷ ζ< -1 相轨迹为非周期发散。
19
⑸ ζ =0
相轨迹为围绕 坐标原点的一 簇椭圆，椭圆 的参数由初始 条件及ωn确定。
点，代表了系统在该时刻的一个状态。
4
相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)= x0,
相点从(x0, x&0 )开始，随着时间的增加，系统的
状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述 这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成 了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹 线叫相轨迹，如图：
x&
t1
t4
自动控制原理第七章非线性系统分析
7-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中
的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。
x
（7-14）
（1）无阻尼运动 ( 0)
由方程（7-14），相轨迹方程为：
x2
(t)
x2 (t)
n2
A2
其中
A
x02
x02
2 n
（7-16）
相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心 的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
第7章 非线性系统分析
基本要求 7-1 非线性问题概述 7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响 7-3 相平面法基础 7-4 非线性系统相轨迹分析 7-5 描述函数 7-6 用描述函数分析非线性系统
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基本要求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系 统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。
若继电系统的方框图如图7—41 所示
图7-41
• 研究图中继电特性为图7-40(b) 的情况
e c时
KM c h
Tc(t)
c(t)
0
| c | h
KM c h
• 很明显，相平面以直线c h为界被分成
三个不同的区域，在每个区域里，系统的 相轨迹完全由一个线性微分方程所确定