二维离散型随机变量

F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
注意 联合分布
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
3、离散型随机变量的边缘分布律
定义设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
3 7
pj (Y ) P{Y yj}
4
7 3
7
1
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
记
pi ( X ) pij P{X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j (Y ) pij P{Y y j }, j 1, 2, , i 1
分别称 pi ( X ) (i 1, 2, ) 和 p j (Y ) ( j 1, 2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
FX ( x) F ( x,)
pij ,
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
解
YX
0
1
016
49
12 49
12
149
9 49
pi (X ) P{X xi}
4 7
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), (2,1), (2,2).
P{ X 1,Y 2} 1 2 1 , P{ X 2,Y 1} 2 1 1 ,
32 3
32 3
P{X 2,Y 2} 2 1 1 . 32 3
p11 0,
p12
p21
p22
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
1 2
12 0 13 13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时, 1 (1,1)
F ( x, y) p11 0;
o1
(2,2)
(2,1)
2x
(3)当1 x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p12 1 3;
第二节 二维离散型随机变量
1.二维离散型随机变量的定义 2. 二维离散型随机变量的分布律 3.离散型随机变量的边缘分布律
1.二维离散型随机变量的定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
P{ X
i,Y
j}
P{Y
j
X
i}P{ X
i}
11, i4

i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8 12 16
1
11
8 12 16
11
0 12 16
1
0
0 16
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. 1 2 2
y
2(1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
YX
0 1
0
33 55 23 55
1
3 2 55 22 55
本次课的主要概念：
1. 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的联合分布率与边缘分布率
本次课的主要问题：
1. 已知联合分布率求边缘分布率 2. 已知联合分布率求联合分布函数。
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为
边缘分布
例4 一个袋中有两只红球，三只白球，令
1, 第一次摸到红球； X 0, 第一次摸到白球。
Y
1, 0,
第二次摸到红球； 第二次摸到白球。
分（1）不放回，（2）放回 两种情形摸球三次，
求 ( X, Y ) 的分布律.
（1）不放回
YX
0 1
0
3 2 54 23 54
1
32 54 21 54
（2）有放回
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中 pij 0,