2019-2020年电大考试工程数学复习题精选及答案
国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案
国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A ）． A.B. －1C.D. 1⒊乘积矩阵中元素（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）． A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．A. B. C. D.⒍下列结论正确的是（A ）． A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则a a ab b bc c c 1231231232=a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=000100002001001a a=a =12-121124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥c 23=A B ,n A BAB+=+---111()AB BA--=11()A B A B +=+---111()AB A B ---=111A B ,n k >0k ≠1A B A B +=+AB n A B =kA k A =-=-kA k A n ()A A -1A B ,n AB A B ,n AB A B ,n AB ≠0⒎矩阵的伴随矩阵为（C ）．A. B. C. D. ⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．A.B.C.D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．A. B. C.D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. B.C.D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈ 7 。
⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 。
⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵。
⒋二阶矩阵 [151]。
⒌设，则 [6―35―18]。
⒍设均为3阶矩阵，且，则 72 。
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)
工程数学电大历年期末试题及答案第一章：复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题：1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么？给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案：1.复数是由实数和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
复数的性质有：–复数可以相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号，即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下：–定义：对于任意复数z=a+bi，其共轭复数为z* = a-bi。
–性质：(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2，即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1：–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题：1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案：1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达，即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示，即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$：–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
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工程数学（一）一、、计算下列行列式： 1、29092280923521534215 =100028092100034215 =10002809206123 =61230002、D n =n 333333333233331 解：D n =n 333333333233331 (把第三列的-1倍加到其余各列) =3n 3030003100302=3n 0030000100002=6(n -3)! (n 3) 二、已知X=AX+B ，其中A= 101111010, B=350211，求X解：(E -A)X=B X=(E -A)-1BE -A= 100010001- 101111010= 201101011,(E -A)-1= 11012312031X= 11012312031 350211=1102133133063931 三、求向量组 1=(1,-2,3,-1,2), 2=(3,-1,5,-3,-1), 3=(5,0,7,-5,-4), 4=(2,1,2,-2,-3)的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组线性表示出其它向量。
解：令A=( 1T , 2T , 3T , 4T )=~34122531275310122531~242000004840510502531000000000000121025311, 2,为一极大线性无关组，且 3= - 1+2 2, 4=- 1+ 2四、求方程组0x x 0x 0x x 41241的一个基础解系。
解：A= 100100101001~ 200000101001~100000100001 同解方程组是： 0x x x 0x 0x 43321 所以基础解系是：0100五、已知线性方程组 2x x 3x 3x 4x 5b x 6x 2x 2x 0x 3x x x 2x 3ax x x x x 5432154325432154321，问a,b 为何值时,方程组有解?并求其通解。
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案一、单项选择题1.若10010020*******=aa ，则=a （12）．⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c （10）． ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是()AB BA --=11）．⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）．D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵）．⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ）． ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（A ≠0）⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C. [,,]--'1122 ）．⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ 有唯一解）．⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ 3）． ⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα，则（ααα123,, ）是极大无关组．⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ A ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B.()A B B A +-⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D. 307032⨯⨯..）． 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的．C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D.)1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（6, 0.8）．7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a PD.f x x ab()d ⎰）．10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵，B 是52⨯矩阵，当C 为（ B 24⨯）矩阵时，乘积AC B ''有意义。
2019年电大工程数学（本科）期末考试试题及答案
2019年电⼤⼯程数学（本科）期末考试试题及答案电⼤⼯程数学(本科)期末考试试题及答案⼀、单项选择题1．设B A ,都是n 阶⽅阵，则下列命题正确的是(AB A B= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是( ()BAAB 11=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（B A B A '+'='+)( ）．4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（ BAAB = ）．5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容）是不正确的． 6．设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ? )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）8．设矩阵?--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的⼀个特征向量α=( ??011 ) ． 10．设是来⾃正态总体的样本，则（321535151x x x ++ ）是µ⽆偏估计．11．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=µH 采⽤统计量U =（nx /15-）．12．设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13．设??~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体22,)(,(σµσµN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成⽴． 16．若（）成⽴，则元线性⽅程组AX O =有唯⼀解．17. 若条件（ ?=AB 且A B U += ）成⽴，则随机事件，互为对⽴事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独⽴，则⽅差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．19若X 1、X 2是线性⽅程组AX =B 的解⽽21ηη、是⽅程组AX = O 的解则（213231X X +）是AX =B 的解．20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（）．22. 若0351021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（22-X ），则． 23. 若满⾜（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独⽴．24. 若随机变量X 的期望和⽅差分别为)(X E 和)(X D 则等式（22)]([)()(X E X E X D -= ）成⽴．25. 若线性⽅程组只有零解，则线性⽅程组（可能⽆解）．26. 若元线性⽅程组有⾮零解，则（）成⽴．27. 若随机事件,满⾜，则结论（与互不相容）成⽴．28. 若?=4321432143214321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若??=5321A ，则=*A （ --1325 ）．30．向量组--732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的⼀个极⼤⽆关组可取为（21,αα）．33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．34．对给定的正态总体),(2σµN 的⼀个样本),,,(21n x x x Λ，2σ未知，求µ的置信区间，选⽤的样本函数服从（t 分布）． 35．对来⾃正态总体，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（∑=-312)(31i i X µ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成⽴．37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．39. 下列数组中，（1631614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr ⾄多是（ 2）．41. 已知=??-=21101210,20101B a A ，若??=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,21-==b a ）．43. ⽅程组=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，44. 线性⽅程组=+=+013221x x x x 解的情况是（有⽆穷多解）．45. n 元线性⽅程组有解的充分必要条件是（)()(b A r A r M= ） 46．袋中有3个红球，2个⽩球，第⼀次取出⼀球后放回，第⼆次再取⼀球，则两球都是红球的概率是（25） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87）．48．=-15473（ 7543--??）⼆、填空题1．设B A ,均为3阶⽅阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8．2．设B A ,均为3阶⽅阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设互不相容，且，则0 ．6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独⽴．8．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发⽣，但C B ,⾄少有⼀个不发⽣的事件表⽰为)(C B A +. 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（42? ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵⽅程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．13．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???，则a14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．16．设随机变量的概率密度函数为≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = π4 ．17. 设随机变量??-25.03.0101~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量?5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为≤≤=其它0103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81．20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．22．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时23．设θ是未知参数θ的⼀个估计，且满⾜θθ=)?(E ，则θ?称为θ的⽆偏估计． 24．设θ是未知参数θ的⼀个⽆偏估计量，则有?()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的⾏列式21=A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表⽰，则表⽰⽅法唯⼀的充分必要条件是n ααα,,,21Λ线性⽆关． 27．设4元线性⽅程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次⽅程组的基础解系含有 3 个解向量．28. 设1021,,,x x x Λ是来⾃正态总体)4,(µN 的⼀个样本，则~101101∑=i i x )104,(µN ．29. 设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体的⼀个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D n2σ30．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设??=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．34．若样本n x x x ,,,21Λ来⾃总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x )1,0(nN35．若向量组：-=2121α，=1302α，-=2003k α，能构成R 3⼀个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 3137. 若线性⽅程组的增⼴矩阵为=41221λA ，则当λ＝（ 21）时线性⽅程组有⽆穷多解． 38. 若元线性⽅程组0=AX 满⾜，则该线性⽅程组有⾮零解． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A PB A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．40. 若参数θ的两个⽆偏估计量1θ和2?θ满⾜)?()?(21θθD D >，则称2?θ⽐1θ更有效． 41．若事件A ，B 满⾜B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若⽅阵满⾜A A '=，则是对称矩阵．43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极⼤线性⽆关组是（）．47．不含未知参数的样本函数称为统计量． 48．含有零向量的向量组⼀定是线性相关的．49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．50. 已知随机变量?-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量??-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3． 52．⾏列式701215683的元素21a 的代数余⼦式21A 的值为= -56 ．53. 掷两颗均匀的骰⼦，事件“点数之和为4”的概率是（ 121）. 54. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知⽅差，检验均值）．55. 1111111---x x 是关于x 的⼀个多项式，该式中⼀次项x 系数是 2 ．56. =-1--451231． 57. 线性⽅程组b AX =中的⼀般解的⾃由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则⽅程组增⼴矩阵)(b A r M = 3 ． 58. 齐次线性⽅程组0=AX 的系数矩阵经初等⾏变换化为--→→000020103211ΛA59. 当λ= 1 时，⽅程组-=--=+112121x x x x λ有⽆穷多解．1．设矩阵，且有，求X ．解：利⽤初等⾏变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．设矩阵??=--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利⽤初等⾏变换得--→--102340011110001011100322010121001011----→----→14610013501000111146100011110001011 ??-----→146100135010134001 即 ??-----=-1461351341A 由矩阵乘法得-----=-----=-52012515105158500050002146135 1341B A 3．设矩阵=--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ．解：（1）因为2100110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []--=100100010110001132I A--→--→10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 ??--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ??=--，求1()AA -'．解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --'=-=----- 利⽤初等⾏变换得100201001111→-??100201011101001112??→---即 1201()011112AA -'=??5．设矩阵??---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解：（1）1100110211210110211423532211=---=---=---=A（2）利⽤初等⾏变换得-----→---1032100121100012 11100423010532001211即6．已知矩阵⽅程B AX X +=，其中--=301111010A ，?? --=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且-----→---=-1012100111100010111002010101010010----→-----→11010012101012000111010011110010101即 ??----=--110121120)(1A I 所以 ??---=------=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．7．已知B AX =，其中??==108532,1085753321B A ，求X ．解：利⽤初等⾏变换得------→1055200132100013211001085010753001321----→---→12110025*********1121100013210001321 ??-----→121100255010146001 即 ??-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得--=????-----==-1282315138 1085321212551461B A X8．求线性⽅程组=++-=++--=+-+-=-+-234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形 ----→-------0462003210010101113122842123412127211131?---→---→0000002200010101113106600022000101011131 ⽅程组的⼀般解为：（其中为⾃由未知量）令=0，得到⽅程的⼀个特解)0001(0'=X .⽅程组相应的齐⽅程的⼀般解为：-===4342415xx x x x x （其中为⾃由未知量）令=1，得到⽅程的⼀个基础解系)1115(1'-=X .于是，⽅程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）9．求齐次线性⽅程组=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =??→--326001130012331203313596212331 →100001130012331??→100000130001031 ⼀般解为 ??=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是⾃由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原⽅程组的⼀个基础解系为 { X 1，X 2 }．原⽅程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．10．设齐次线性⽅程组=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时⽅程组有⾮零解？在有⾮零解时，求出通解．解：因为A =---λ83352231---→610110231λ??---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(⽅程组的⼀般解为： ==3231x x x x ，其中3x 为⾃由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则⽅程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．27．罐中有12颗围棋⼦，其中8颗⽩⼦，4颗⿊⼦．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦的概率；（2）取到3颗棋⼦颜⾊相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦”，2A =“取到的都是⽩⼦”，3A =“取到的都是⿊⼦”，B =“取到3颗棋⼦颜⾊相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+==273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．11．求下列线性⽅程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=??-++=??-++=? 解利⽤初等⾏变换，将⽅程组的增⼴矩阵化成⾏简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? →120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???⽅程组的⼀般解为：1243421x x x x x =+??=-+?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令042==x x ，得⽅程组的⼀个特解0(0010)X '=，，，．⽅程组的导出组的⼀般解为：124342x x x x x =+??=-?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以⽅程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数．12. 当取何值时，线性⽅程组+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求⽅程组的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形由此可知当时，⽅程组⽆解。
2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案【电大备考篇】
2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案一、1．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( B )矩阵． A ．s n ⨯ B ．n s ⨯ C ．t m ⨯ D ．m t ⨯2．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ A ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+C ．21X X -D ．21X X + 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1004. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A ．A B BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 5．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ D ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N6．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ C ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 7．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ B ）．A ．χ2分布B ．t 分布C ．指数分布D ．正态分布 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A ．2．若向量组：⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 3．设A B ,互不相容，且A )>0，则P B A ()=4．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D5．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ三、（每小题10分，共60分）1．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ． 2．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为 （1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是431,,ααα（或432,,ααα）．3．用配方法将二次型32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=322322232122)2(x x x x x x x -++++=232322321)()2(x x x x x x +-+++=令333223211,,2x y x x y x x x y =-=++=即得 232221321),,(y y y x x x f ++=由（*）式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=33322321132y x y y x y y y x 或写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知96.1975.0=u )设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I++=--．证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--一、 1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（D ）． A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B .2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B2．在下列所指明的各向量组中，（B ）中的向量组是线性无关的．A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ A ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中 5．设)1,0(~N X，)(x Φ是X的分布函数，则下列式子不成立的是（ C ）．A .5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD .1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体的样本，则（D ）是μ无偏估计．A . 321x x x ++ B .321525252x x x ++ C . 321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（A ）．A . 已知方差，检验均值B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，'-)(31A2为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则)(A r3．2.)(=A P ，则=+)(B A P4．若连续型随机变量X数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则)(X E 5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2θ满足)ˆ()(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----112313211151132212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准(C)⎩⎨⎧≤≤=其它,0π0,sin )(x x x f (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0π2π,cos )(x x x f 7．设总体满足，又，其中是来自总体的个样品，则等式（B ）成立． (A)nX E μ=)( (B)μ=)(X E (C)22)(n X D σ=(D)2)(σ=X D1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-*02132．若λ是A 根．3．已知5.0)(,9.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P4.0．4．设连续型随机变量X的密度函数是)(x f ，则<<)(b X a P5三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡--=101111001A ，求1)(-'A A即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='-211110102)(1A A2．在线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=++153233232121321x x x x x x x x λλ中λ取何值时，此方程组有解．有解的情况下写出方程组的一般解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλ21110333032115323011321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλλλ2200011102101220001110321由此可知当1≠λ时方程组无解，当1=λ时方程组有解．此时方程组的一般解为⎩⎨⎧+-=--=113231x x x x 3．用配方法将二次型23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=232332223231212322217)96()4424(x x x x x x x x x x x x x x -+++--+++=2323223217)3()2(x x x x x x -++-+=令333223211,3,2x y x x y x x x y =+=-+=即得2322213217),,(y y y x x x f -+=由式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321135yx y y x y y y x或写成。
2019-2020年电大考试工程数学复习题精选及答案
《工程数学》期末综合练习题工程数学（本）课程考核说明（修改稿）I. 相关说明与实施要求本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。
本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。
工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。
考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。
本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。
工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。
因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。
试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。
考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。
期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。
考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。
三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。
电大 工程数学试卷及答案汇总(完整版)
dx f (x, y)dy 1
即 从而
dx ce(2x4y)dy 1
00
c=8
(2) P(X Y )
f
(x,
y)dxdy
x
dx
8e(2x4 y) dy
2
x y
00
3
(3) 当 x>0 时， f X (x) f (x, y)dy 8e(2x4y)dy 2e2x
0
12．求线性方程组
x1 3x2 x3 x4 1 x12x14x27x23x32x32x4x41 2
的
全
部
解
．
解
：
2x1 4x2 8x3 2x4 2
将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
2 7 2 1 2 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1 0 1 2 3 0
1 1 0 9 2 2 1 0 0 2 0 1 0 1 0 7 2 1 0 1 0 7 2 1
0 0 1 5 1 1 0 0 1 5 1 1
即
2 0 1
A 1
7
2 1
5 1 1
由矩阵乘法和转置运算得
2 0 1 2 0 1 1
X
A 1 B
7
2 11 1 11 3
5 1 1 5 1 6 2
=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52
(2)由贝叶斯公式
有
P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A)
=0.8x0.6/0.52=12/13
（2 分） （1 分） （2 分） （1 分） （1 分） （2 分） （1 分）
《工程数学》试题
第 6 页 共6 页
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《工程数学》期末综合练习题
工程数学（本）课程考核说明
（修改稿）
I. 相关说明与实施要求
本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。
本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。
工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。
考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。
本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。
工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。
因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。
试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。
考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。
期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。
考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。
三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。
试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。
试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。
单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。
三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。
期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
II. 考核内容和考核要求
考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。
工程数学（本）2013秋模拟试题（一）
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．A ，B 都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是( D ) ．
A ．AB=BA
B ．若AB =O ，则O A =或O B =
C ．2
222)(B AB A B A +-=- D ．B A AB = 2．向量组⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,333,022,001的秩是（ C ）． A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
3．设矩阵A 的特征多项式3
00020
001
---=-λλλλA I ，则A 的特征值为 ( D )． A ．1=λ B ．2=λ
C ．3=λ
D ．11=λ，22=λ，33=λ
4．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ B ）．
A ．)(9)(4Y D X D -
B ．)(9)(4Y D X D +
C ．)(3)(2Y
D X D - D ．)(3)(2Y D X D +
5．已知总体),(~2
σμN X ，2σ未知，检验总体期望μ采用（ A ）． A ．t 检验法 B ．U 检验法
C ．χ2检验法
D ．F 检验法
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设三阶矩阵A 的行列式2
1=A ，则1-A = 2 ． 2．线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 3 ．
3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ．
4．设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.03.04.021
0~X ，则E X ()= 0.9 ． 5．设θ
ˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 无偏 估计．
三、计算题（每小题16分，共64分）
1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=． 1．解：因为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12073000121
0010411100112010411001210 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201， 得 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-1232472351A
所以='=-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132．
2．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321
321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．
2．解：因为
A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．
方程组的一般解为： ⎩⎨
⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．。