小学奥数5-3-5 分解质因数(二).专项练习
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。
答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。
各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。
A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。
第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。
此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。
题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。
每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。
题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。
一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。
第二十四讲 分解质因数-小学奥数
第二十四讲 分解质因数告诉你本讲的重点，难点如果把一个自然数写成因数连乘的形式，常常有多种写法，如⨯=⨯=⨯=3122241248…… 但是把一个自然数写成质数（素数）连乘的形式，在不计较质数的排列顺序的前提下，其形式却是唯一的．如.322224⨯⨯⨯=把一个合数写成质数相乘的形式就叫做分解质因数．看老师画龙点晴，教给你解题诀窍【例1】用短除法分解质因数：90 42分析与解 把一个合数分解质因数，我们可以用短除法，用由小到大的质数作除数，一直除到 所得的商是质数为止，再把所有的除数和商连乘起来，5323532902⨯⨯=⨯⨯⨯= 73242⨯⨯=【例2】 三个连续自然数的积是120，这三个数分别是多少？分析与解 这三个自然数一定藏在120的质因数里，所以将120分解质因数就能找出这三个数． 6545321203⨯⨯=⨯⨯=答：这三个数分别是4，5，6．【例3】求72的所有因数的和，分析与解 求一个数的所有因数的和也可以列表整理：从表中的数据可以看出：72有12个因数．第一行的和是15)8421(1=+++⨯第二行的和是45)8421(3=+++⨯第三行的和是135)8421(9=+++⨯所有因数的总和就是.1951315)931()8421(1354515=⨯=++⨯+++=++这样可以总结出一个方法：一个数所有因数的和等于每一类质因数中所有因数的和相乘，如：,327223⨯=所有因数的和是)333()2222(2103210++⨯+++195)931()8421(=++⨯+++=【例4】 6153432548⨯⨯⨯的末尾有几个零？分析与解 我们先来研究乘积末尾的O 与什么有关．为此，将末尾有0的数进行分析：,5210⨯=52220⨯⨯=53230⨯⨯=5522100⨯⨯⨯=55222200⨯⨯⨯⨯=55322300⨯⨯⨯⨯=…末尾只有一个O 的数都含有质因数2和5，而且只有一组2和5．末尾有两个O 的数都含有质因数2和5，而且有两组2和5．一个数末尾的0的个数与这个数含有几组质因数2和5有关，也就是决定于2和5中个数较少的那个数的个数，例如一个数的质因数中含有3个2和2个5，那么这个数的末尾就有2个0．要想知道这四个数的乘积的末尾有几个零，就要把这四个数分别分解质因数．32484⨯=1353252⨯=17234⨯=4135615⨯⨯=所以，6153432548⨯⨯⨯的乘积中一共有5个2和3个5，所以末尾有3个0．【例5】一个自然数a 与2550的积是一个完全平方数，a 最小是多少？这个乘积是哪个数的平方7 分析与解 因为完全平方数是两个完全相同的数的乘积，所以完全平方数的质因数中，每个不同的质因数的个数一定是偶数，我们先将2550分解质因数：.1755322550⨯⨯⨯⨯=要使2550Xa 是一个完全平方数．至少还要补1个2，1个3和1个17，所以a 最小是.1021732=⨯⨯这样，.51017532255022222=⨯⨯⨯=⨯a 即这个乘积是510的平方．做题也有小窍门噢!把一个数分解因数和分解质因数是不同的，一般的分解因数通常是求最大公约数，是把它所含有的因数找出来，每个因数不一定全是质数，而分解质因数时，记住一定要用质数去除，直到商也是质数时为止，用短除法分解后，一定要把这个数写成质因数与商连乘的形式，快来试一试你的身手吧！1． 用短除法分解质因数：2002 4902．有四个学生，他们的年龄恰好是四个连续的自然数，他们年龄的积是3024，你知道他们的年龄吗？3．求100的所有的因数的和．4. ⨯⨯⨯⨯895765472325( )的积的最后六位都是“O”，那么括号内填入的自然数最小是多少？ （提示：先看看已知数的质因数中含有几个2和几个5，要想积的最后六位都是“0”，至少要有6个2和6个5，以此为标准，看还缺几个2和几个5．）5．一个自然数A 与2940的乘积正好是B 的立方，A 最小是多少？这时B 是多少？通往初中名校的班车 1．华华参加数学竞赛，她说：“我的成绩和我的年龄以及我的名次乘起来是3916分，满分是1OO 分．”你知道华华的年龄、成绩及考试名次各是多少吗？2. ,5054321⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 积的末尾一共有多少个0？3. b a b a ,,11764=⨯都是自然数，求a 的最小值．4．将275,175,105,77,45,18,14,12这8个数平均分成两组，使这两组的乘积相等，应怎样分？5．A ，B 两数都恰只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A 数有12个因数，B 数有10个因数，那么A ，B 两数的和是多少？答 案。
【教师版】小学奥数5-3-2 质数与合数(二).专项练习及答案解析
1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。
模块一、偶质数2 【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，例题精讲知识点拨知识框架5-3-2.质数与合数（二）乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。
小学奥数系列：第二讲 质数、合数和分解质因数
第2讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
小学奥数5-3-4 分解质因数(一).专项练习及答案解析
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【答案】3⨯⨯⨯23753【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【解析】210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
质因数分解练习题
质因数分解练习题质因数分解是数学中的重要概念，它用于将一个数分解成多个质数的乘积形式。
在这篇文章中，我们将提供一些质因数分解的练习题，帮助你巩固和理解这个概念。
练习题 1：将以下数分解为质因数的乘积形式：a) 36b) 90c) 120解答：a) 36 = 2^2 × 3^2b) 90 = 2 × 3^2 × 5c) 120 = 2^3 × 3 × 5练习题 2：将以下数分解为质因数的乘积形式：a) 72b) 150c) 210解答：b) 150 = 2 × 3 × 5^2c) 210 = 2 × 3 × 5 × 7练习题 3：将以下数分解为质因数的乘积形式：a) 48b) 75c) 180解答：a) 48 = 2^4 × 3b) 75 = 3 × 5^2c) 180 = 2^2 × 3^2 × 5练习题 4：将以下数分解为质因数的乘积形式：a) 56b) 96c) 300解答：b) 96 = 2^5 × 3c) 300 = 2^2 × 3 × 5^2练习题 5：将以下数分解为质因数的乘积形式：a) 64b) 112c) 500解答：a) 64 = 2^6b) 112 = 2^4 × 7c) 500 = 2^2 × 5^3通过以上的练习题，我们可以看到质因数分解的过程。
要想将一个数分解为质因数的乘积形式，我们需要找出该数的所有质因数，并将它们相乘得到最后的结果。
质因数是指只能被1和自身整除的数，例如2、3、5、7等。
在进行质因数分解时，我们从最小的质数2开始，依次往上找到能够整除原数的质数，直到最后剩余的数为1为止。
通过不断练习质因数分解的习题，我们可以提高自己的分解能力，更好地理解和应用这一概念。
希望这些练习题能对你有所帮助！请继续努力，加油！。
小学奥数5-4-4 完全平方数及应用(一).专项练习及答案解析
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
小学奥数5-1-2-5 最值的数字谜(二).专项练习
1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
模块一、横式数字谜【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、⨯、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.12345□□□□例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-5.最值中的数字谜（二）【例2】将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
11111□□□□23456【例3】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为．÷++=÷+【例4】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【例 5】 0. 2.0080.ABCC AB∙∙=∙∙，三位数ABC 的最大值是多少？模块二、乘除法中的最值问题【例 6】 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．【例 7】 在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。
小学奥数5-3-4 分解质因数(一).专项练习
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【例3】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?【巩固】已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.【例4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。
五年级奥数解析5.质数和合数
小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题,通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说："任何7个连续整数中一定有质数．"请你举一个例子,说明这句话是错的．[分析与解]例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除,电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的,翻质数表还是……,我们注意到<n+1>!+2,<n+1>!+3,<n+1>!+4,…,<n+1>!+<n+1>这n个数分别能被2、3、4、…、<n+1>整除,它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积,即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12．[分析与解] 我们知道12是2、3的倍数,如果开始的质数是2或3,那么后一个数即23或与12的和一定也是2或3的倍数,将是合数,所以从5开始尝试．有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数,它们都大于80,那么其中质数最多有多少个?[分析与解]大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数,于是奇数越多越好,9个连续的自然数中最多只有5个奇数,它们的个位应该为1,3,5,7,9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数,所以最多只有4个数．验证101,102,103,104,105,106,107,108,109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数,其中质数最多能有4个．4. 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数?[分析与解]要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986,则这3个质数之和为多少?[分析与解]设这3个质数从小到大为a、b、c,它们的倒数分别为1a、1b、1c,计算它们的和时需通分,且通分后的分母为a×b×c,求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分,那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986,分母1986=2×3×331,所以一定是a=2,b=3,c=331,检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477,余数是49．求满足这样条件的所有两位数．[分析与解]有1477÷除数=商……49,那么1477-49：除数×商,所以,除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428,有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?[分析与解] 有140=2×2×5×7,因为这些分数的分子与分母的乘积均为140,当分母越大时,分子越小,所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师,14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?[分析与解]这个学校最少有35+14×30=455名师生,最多有35+14×45=665名师生,并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133,在455～665之间的约数只有5×133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时,小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?[分析与解]1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口,其中某个口为8, 一一验证只有：1872=48×39,1872=78×24满足．当为1872=48×39时,小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时,小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1,它们的积是2924,那么它们的差等于多少?[分析与解]2924=2×2×17×43=A×B,且有A+B被5除余l,则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l,也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是"0"<脱靶>,或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?[分析与解]1764=2×2×3×3×7×7,1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24,乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?[分析与解]如下图,设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×<c+b>=209,而209=11×19．当a=11时,c+b=19,当两个质数的和为奇数,则其中必定有一个数为偶质数2,则c+b=2+17;当a=19时,c+b=11,则c+b=2+9,b为9不是质数,所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?[分析与解]方法一：39270=2×3×5×7×11×17,为三个连续自然数的乘积,而34×34×34即334最接近39270,39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×<长×宽+宽×高+高×长>=2×<33×34+34×35+35×33>=6934<平方厘米>．方法二：39270=2×3×5×7×11×17,为三个连续自然数的乘积,考虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立,再考虑质因数7,与34接近的数32～36中,只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l,所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×<3927033+3927034+3927035>=2×<1190+1155+1122>=2×3467=6934<平方厘米>．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米,它的体积是1998立方厘米,那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?[分析与解] 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时,它们相互越接近,和越小．如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小,为8．1998=2×3×3×3×37,37是质数,不能再分解,所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时,即1998=6×9×37时,这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52<厘米>．15．如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少?[分析与解]4875=3×5×5×5×13,有a×b为4875的约数,且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知,当两个数的和一定时,这两个数越接近,积越大,所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024,而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65,195,325,375,975等．我们再对65,195,325,375,975等一一验证．严格的逐步计算,才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中,既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41,那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积,这两个自然数的和最小可以达到_____.9.从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10.今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2,3,5,7,11,…都是质数,也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以与油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。
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1. 能够利用短除法分解
2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212
263
，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；
二、唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：
312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯
一的.该式称为n 的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
三、部分特殊数的分解
111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯. 知识点拨
教学目标
5-3-4.分解质因数
模块一、分数的拆分
【例1】算式“1
希
＋
1
望
＋
1
杯
＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋
杯”＝。
【例2】3个质数的倒数之和是1661
1986
，则这3个质数之和为多少．
【例3】一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴分子和分母各加一个相同的一位数；⑵分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一
种方法组成一个新分数，新分数约分后是7
13
．那么原来分数的分子是多少．
【例4】将1到9这9个数字在算式()
()
()
()()()
1
-=的每一个括号内各填入一个数字，
使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?
例题精讲
【例 5】 求满足条件
1111001a b +=的a 、b 的值(a 、b 都是四位数)．
【巩固】 若1112004a b
=+，其中a 、b 都是四位数，且a <b ，那么满足上述条件的所有数对（a ,b ）是
【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）
()()11110=-
【例 7】 如果
1112009A B
=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？
【巩固】 ()()()()()()()()()()
1111111111145=+=-=++=--
【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
()()()()()()
111111110=--=++
【例 9】 已知等式11115a b
=+其中a ，b 是非零自然数，求a+b 的最大值。
模块四、分解质因数的综合应用
【例 10】 A ，B 都是整数，A 大于B ，且2009A B ⨯=,那么A B -的最大值
为 ，最小值为 。
【例 11】 写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数：________．
【例12】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?
【例13】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的
乘积不能被6整除，那么它等于多少？
【例14】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，
但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少？
【例15】某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，
那么平均每人捐款多少元?
【例16】张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少
学生？每人种了几棵树？
【巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？
【例17】幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。
但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。
原来有个小朋友。
【例18】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完．若有1人退出，不参加分球，并
且弹珠增加10个，则每人可以多分8个．原来有人．
【例19】已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：++=，那么，这5个数当中最大的数至多是。
()()2890
a b c d e。