江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)
2014高考数学一轮特级教师整理《不等式证明》典型例题解析十六含解析
学必求其心得，业必贵于专精
典型例题十六
例16 已知
x 是不等于1的正数,n 是正整数,求证
n n n n x x x ⋅>+++12)1)(1(． 分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．
证明：∵x 是不等于1的正数, ∴02
1>>+x x ， ∴n n n x x 2)
1(>+． ① 又0
21>>+n n x x ． ② 将式①，②两边分别相乘得
n n n n n x x x x ⋅⋅>++22)1)(1(,
∴n n n n x x x ⋅>+++12)1)(1(．
说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为1≠x ，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．。
江苏省一轮复习数学试题选编：不等式选讲教师 含答案
江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证:22cos sin a b c θθ+<.【答案】D.由柯西不等式,得 22cos sin a b θθ+11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b c θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,求12131a b c +++++的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ++++++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =--(14)ab =--41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥, 当且仅当23123x y z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()12f x x x a =++-+.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x y z 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,当且仅当2311123x y z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,|a -1|3,解得a4,或a-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以1232332x x x ++++-< 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。
江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编26 二项式定理 苏教版
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理（教师版）填空题1 ．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】 答案 10 解析T r +1=C r 5x 5-r yr(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3,∴含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10.2 ． (6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【答案】-160【解析】(6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.3 ．(2012年高考(上海文))在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ .【答案】 [解析] 展开式通项r r r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为2036-=-C .4 ．(2013上海高考数学(文))设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【答案】 2- 解:2515()(),2(5)71r rr r aT C x r r r x-+=--=⇒=, 故15102C a a =-⇒=-.5 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））若1223211333385n n n n n n n C C C C ---++++=,则n=_________________【答案】4 6 ．若2013220130122013(21)x a a x a x a x -=++++,则201312022013222a a a a ++++=________. 【答案】 0 提示:在2013220130122013(21)x a a x a x a x -=++++中,令201312022013102222a a a x a =⇒=++++7 ．(2012年高考(陕西理))5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.【答案】解析:5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .8 ．(2013上海高考数学(理))设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】 解:2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=,故15102C a a =-⇒=-. 9 ．若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.【答案】 1 10． 81()2x x+的展开式中2x 的系数为____. 【答案】 答案7【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数.【解析】根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.11．(2012年高考(大纲理))若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.【答案】答案56【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5856C =.12．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．【答案】答：2(1)(2)n n n ⨯-⨯-，13．(2010年上海春季高考数学试题详细解答、评分标准与简析)在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项是___________.【答案】【解】60.由通项公式()6626123166C 2C 2rr rr r r rr T x x x-----+==,令1230r -=,所以4r =. 所以常数项是4256C 260T =⋅=.14．(2013浙江高考数学(理))设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】 10- 解:由15153232155()(1)r r rrrrrr T C x xC x ----+=-=-,由已知得到:50323r r r --=∴=,所以335(1)10A C =-=-,所以填-10; 15．(宁夏银川一中2012届高三数学第三次模拟考试+理(98))若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则123452345a a a a a ++++等于_________.【答案】 10解答题16．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,且123,,a a a 是1(1)2m x +展开式的前三项的系数.(Ⅰ)求1(1)2mx +展开式的中间项; (Ⅱ)当2n ≥时,试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小.【答案】解:(Ⅰ)122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =,212a m =,3(1)8m m a -=,由2132a a a =+可得1m =(舍去),或8m = 所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为:44458135()28T C x x ==; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,32n a n =-, 当2n =时,212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=>当3n =时,212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++> 猜测:当2n ≥时,2121111n n n n a a a a ++++++13> 以下用数学归纳法加以证明: ①3n =时,结论成立, ②设当n k =时,212111113k k k k a a a a ++++++>, 则1n k =+时,2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知,23730k k --> 即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得,当2n ≥时,212111113n n n n a a a a ++++++> 17．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知2*012(1)(1)(1)(1)()n n n x a a x a x a x n =---∈+++++N .⑴求0a 及1nn i i S a ==∑;⑵试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,并说明理由.【答案】⑴令1x =,则02na =,令2x =,则03nni i a ==∑,所以132nn n n i i S a ===-∑⑵要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小. 当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+,当4n =或5时,23(1)22n n n n >-+,猜想:当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+.下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当4n =时,结论成立②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立,即23(1)22k k k k >-+,两边同乘以3,得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++, 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++,所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++, 即1n k =+时结论也成立.由①②可知,当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+成立综上所述,当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+; 当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+18．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n rn n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N . ⑴当2n ≥时,求函数()f x 的极大值和极小值;⑵是否存在等差数列{}n a ,使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立?并说明理由.【答案】(1)101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --, 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+,令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-, 因为2n ≥,所以123x x x << 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表:x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n --1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时,121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大;当1x =时,0y =极小 当n 为奇数时()f x 的增减性如下表:所以0x =时,0y =极大;当121n x n -=-时,121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小 (2)假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立, 由组合数的性质C C m n m n n-=, 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅, 两式相加,因为{}n a 是等差数列,所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+,故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅,所以11n a a n ++=再分别令12n n ==，,得121a a +=且132a a +=,进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N19．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈.(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值;(2)当3=x 时, 求证:)(x f*)s N ∈的形式.【答案】解: (1)因为28812r rr r xC T -+=,所以6=r ,故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ,解得7=nx (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞ ()f x '+-++()f x极大值极小值无极值(2)由二项式定理可知,()()()()01201122(23)23232323nnnn n n nnnnC C C C --+=++++,设22(23)33n x y x y +=+=+,而若有(23)na b +=+,,a b N *∈, 则(23)na b -=-,,a b N *∈ ∵()()(23)(23)1n n a b a b +⋅-=+⋅-=, ∴令,a s s N *=∈,则必有1b s =-∴(23)n +必可表示成1s s +-的形式,其中s N *∈注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.20．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知1()()nkf x x x =+,且正整数n 满足26,{0,1,2,}.n n C C A n ==(1)求n;(2)若,,i j A ∈是否存在,,.,i jn n j i j C C j ≥≤当时恒成立若存在求出最小的,若不存在,试说明理由:(3),()6,k A f x ∈若的展开式有且只有个无理项求k. 【答案】。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲_有答案
2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞2已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++=_______.二、解答题 1选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】2选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】3不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为34 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-5 选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].6 在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 24．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．67．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．610．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)．14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x的值．难点突破16．(12分)如图K36－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上．(1)设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予以证明．图K36－1课时作业(三十六)【基础热身】1．A [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴y ＝x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2.故选A. 2．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时， M ≤－4.3．C [解析] 1x ＋13y ＝x ＋3y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4.当且仅当3yx＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故选C. 4．B [解析] 因为a >0，b >0，所以a ＋2b ≥22ab ，则ab ＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≥22，即ab ≥8.故选B.【能力提升】5．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xy xy＝4.故选D.6．D [解析] 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6，选D.7．D [解析] 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0，所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.故选D.8．D [解析] 因为x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＝x y ，2x ＋1y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，由此可得(x ＋2y )min ＝8.依题意，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故选D.9．C [解析] 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．4 [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.11．18 [解析] 由已知等式，运用基本不等式，可得xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，整理得(xy )2－22xy －6≥0，解得xy ≤－2(舍去)或xy ≥32，所以xy ≥18，即xy 的最小值为18.12．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.13．8 [解析] 依题意，设全部货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 14．解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0，4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2. 15．解：(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2yx＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】16．解：(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .① 又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)， ∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管，y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”号成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案76
学案76不等式选讲(三）算术-几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标：1.理解二元柯西不等式的几种不同形式。
2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3。
会用两个或三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式（1)如果a,b>0，那么____________,当且仅当a＝b时，等号成立．（2)如果a,b，c>0，那么________________,当且仅当a＝b＝c 时，等号成立．(3)对于n个正数a1,a2，…，a n，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即错误!≥错误!，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式（1）二维形式：若a,b，c,d都是实数,则（a2＋b2）(c2＋d2）≥____________,当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x1,y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。
自我检测1．若x,y∈（0,＋∞），且x＋y＝s，xy＝p,则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x＝y时,s有最小值2错误!；②当且仅当x＝y时,p有最大值错误!；③当且仅当p为定值时,s有最小值2错误!;④若s为定值,则当且仅当x＝y时，p有最大值错误!。
2．若x,y∈R，且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋错误!）(错误!＋4y2)的最小值为________．4．函数y＝3＋3x＋1x（x〈0)的最大值为________．5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1已知x,y，a，b∈R＋，且错误!＋错误!＝1,求x＋y的最小值．变式迁移1 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图(2）)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图），设容器高为h米，盖子边长为a米．(1）求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1）已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证:错误! cos2θ＋b sin2θ〈错误!。
高考数学一轮复习 不等式【题库】7.2 均值不等式
7.2 均值不等式一、选择题1.设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析 ∵(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4.∴A 成立；∵a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 成立；对于D ，如果a ＜b ，显然成立， 如果a ＞b ，则|a －b |≥a －b ⇔a －b ≥a －2ab ＋b ⇔2b (b －a )≤0，而2b (b －a )≤0成立，故D 也成立．所以选B.也可取特殊值，如a ＝1100，b ＝110，易验证B 不成立． 答案 B2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由均值不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由均值不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解析 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 答案 C 二、填空题8．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5， 等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立． 答案 59．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案 410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 4 三、解答题 13.(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (3)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析 将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．解析 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x ＝－22时，取“＝”号) ∴y max ＝－ 2. (2)∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5(当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取“＝”号)．∴y min ＝5.(3)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·[2x ＋a －2x2]2＝a 28(当且仅当x ＝a4时，取“＝”)．∴y max ＝a 28.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．15．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b . 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·ba 2＝2 1ab＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎨⎧a b 2＝b a 2，a ＝b取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－210 800x·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。
高考数学大一轮复习14.4不等式选讲教师用书理苏教版【含答案】
§14.4不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________． 答案 {x |－1<x <1}解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4，∴3x 2<3，∴－1<x <1. 方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －，或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋x －或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－x －＋x －不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．答案 (－4，－2)∪(0,2)3．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________． 答案 1解析 因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.4．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2014·广东)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)－3解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二 柯西不等式的应用 例2 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)∵6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，∴x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2.证明 由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)·(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16， 即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 题型三 不等式的证明方法例3 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)＝b ＋ca ＋c a ＋babc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．(1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维点拨 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分]所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分]温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解 |x ＋3|＋|x －4|≤9， 当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9， 即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9， 即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t－6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．2．(2014·江苏)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .3．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.5．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .6．(2014·辽宁)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x －∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16(x －14)2≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝{x |－14≤x ≤34}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－(x －12)2≤14.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．若n ∈N *，S n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋，求证：n n ＋2<S n <n ＋22.证明 ∵n (n ＋1)>n 2，∴S n >1＋2＋…＋n ＝n n ＋2. 又∵n n ＋<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12) ＝n n ＋2＋n 2 ＝n 2＋2n 2<n ＋22. ∴n n ＋2<S n <n ＋22.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 3．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.(1)解当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1,2,3}，可得A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)·q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0. 所以s<t.4．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.证明因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，当且仅当a＝b＝c且abc＝3时，取等号．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.。
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江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式
填空题
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．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔
直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .
【答案】14000 m .
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．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且
11121
a b b =+++,则2a b +的最小值为____.
【答案】 错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,
设222223111
p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103
错误！未指定书签。
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件
)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.
【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,
则21
x x +-的最小值为_________.
【答案】1
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．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两
块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积
梯形的周长）2
(,则S 的最小值是______________
【答案】 错误！未指定书签。
．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数
2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则
11a c c a
+++的最小值为_____. 【答案】4
错误！未指定书签。
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,
则19()x y x y y z
++++的最小值为________________. 【答案】7 错误！未指定书签。
．（江苏省
2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22
a b a b
+-的最小值等于_________.
【答案】
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．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y
1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.
【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法. 设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a x x a x a x d ++-+=-+-=
设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t x
x 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )
对称轴为a t =
分两种情况:
(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值
∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)
(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增,
∴a t =时,)(t f 取最小值
∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)
综上所述,1-=a 或10
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．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）过定点P (1,2)
的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422
a b +的最小值为_______.
【答案】32
错误！未指定书签。
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则22
21
x y x y +++的最小值是____.
【答案】14
解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,
所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t
--+=-++-+ 4141()(6(2s t s t s t
=+++-=+-. 因为41141149()()(5)444
t s s t s t s t s t +=++=++≥ 所以221214
x y x y +≥++. 错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足
2x+y-2 =0,则2x y xy
+的最小值为___________________. 【答案】92
错误！未指定书签。
．（2011年高考（江苏卷）
）在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数
x x f 2
)(=的
图象交于,
M N 两点,则线 段MN 长的最小值是________
【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力
4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数x
x f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ 的长4PQ =≥,当且仅当22k k
=即1k =时上式取等号.
错误！未指定书签。
．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足
16a b ⋅=,x a +2b y =1
2,若2x y +的最小值为64,则b a =________.
【答案】64
错误！未指定书签。
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x y x y x y
+++的最大值为______.
【答案】3
2.。