复数乘除法的几何意义的应用教学案例
复数代数形式的乘除法教案
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
【教学目标】
1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算.
难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.。
优秀教案设计模板
优秀教案设计模板一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第四章第四节“复数的乘除运算”。
具体内容包括复数的定义、复数的代数形式、复数的乘法法则、复数的除法法则以及复数的几何意义。
二、教学目标1. 理解并掌握复数的乘除运算，能够熟练进行相关计算。
2. 了解复数的几何意义，能够将复数与坐标系中的点对应起来。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点难点：复数的除法法则，复数的几何意义。
重点：复数的乘法法则，复数的乘除运算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入复数的概念，如电路中的电流、信号处理等。
2. 复数的定义及代数形式复习：回顾复数的定义，引导学生用代数形式表示复数。
3. 复数的乘法法则：讲解复数乘法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
4. 复数的除法法则：介绍复数除法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
5. 复数的几何意义：讲解复数与坐标系中的点对应关系，引导学生通过实际操作，将复数与坐标系中的点对应起来。
六、板书设计1. 复数的定义及代数形式2. 复数的乘法法则例题：计算(3+4i)(23i)3. 复数的除法法则例题：计算(3+4i)/(23i)4. 复数的几何意义图形展示：复数与坐标系中的点对应关系七、作业设计(1) (2+3i)(45i)(2) (6+7i)/(34i)(1) 3+4i(2) 23i答案：1. (1) 7+i(2) 8/5 + 11/5 i2. 见解析。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对复数的乘除运算掌握情况较好，但部分学生对复数的几何意义理解不够深入，需要在课后加强辅导。
2. 拓展延伸：引导学生了解复数的其他运算，如加减运算，以及复数的应用，如电路分析、信号处理等领域。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 教学内容的组织与逻辑顺序。
2. 教学目标的明确性与具体性。
复数乘法、除法的几何意义
教学目的：能将代数中复数在三角形式下的乘除 运算，变换观点看成是几何中的图形变换。
教学重点：认识复数的辐角相加，即在某 一个角的基础上旋转；能将几何问题代 数化，把绕某点旋转一个角所得到的复 数看成是在原来对应的复数的基础上乘 以绕了的角度为辐角的一个数。
教学难点：认识积与因数的相互关系，积 对应的向量就是某一因数的向量旋转后 再伸缩。
七.深化认识
已知A、B两点对应的复数为1+i、
4+5i,把向量 AB 按逆时针方向绕点
A旋转600，得到 AB
及B’点对应的复数
'，求与向量
AB
'
AB '
3 2 3 (2 3 3 )i
2
2
B’ 5 2 3 (3 3 3 )i
2
2
八.应用巩固
《掌握学习指导》第45页达标题 第1、2、3题
（1）-4+3i 逆转900 (2) -3-4i 逆转1800 (3)4-3i 顺转900 (4)8-6i 顺转900再
伸长2倍
43
(5) -
i 55
逆转900再缩为原来的1/5
六.学懂会做---课本例题
例1 如图， 向 量 与复数－1＋i对 应，把 按逆时 针方向旋转120°。 得到 ’ 。求与 向量 '对应的复 数（用代数形式 表）。
2.积模：积的模等于各 复数的模的积,即把z1对 应的向量绕原点旋转后,
再伸长(缩短) r2倍.
四.结论 两个复数相乘可以先画出分别与z1、 z2 对逆时应针的方向向量O旋P1转，O一P2个然角后θ把2 ，向再量把O它P1 的按模 变为原来的倍r2 ，所得的向量 OP就表 示积z1 z2 （如果θ2<0就要把向量 OP1 按顺时针方向旋转一个角|θ2 | ）
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(教案)
第七章 复数7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义一、教学目标1.会进行复数三角形式的乘除运算；2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义;3.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养. 二、教学重难点1.复数三角形式的乘除运算;2.复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解． 课前准备：阅读课本思考并完成以下问题1.复数三角形式的乘、除运算如何进行？2.复数三角形式的乘、除运算的三角表示的几何意义是什么？ 三、教学过程： 1、创设情境：问题1：类比复数的乘法运算，试推导复数三角形式的乘法运算. 生答:复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i) ＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 所以设的三角形式分别是：简记为 ：模数相乘，幅角相加 问题2：类比复数的乘法运算的几何意义，试推导复数三角形式的乘法运算的几何意义. 生答:建立直角坐标系, 以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角,r 是复数的模；θ是复数z ＝a ＋bi 的辐角,引入向量,把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转z 的一个辐角，长度乘以z 的模，所得向量对应的复数就是z z ．2、建构数学复数三角形式的乘法运算:设21Z 、Z 的三角形式分别是：简记为 ：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转0z 的一个辐角，长度乘以z 的模，所得向量对应的复数就是z z ⋅．问题3：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，试推导复数三角形式的除法及其几何意义.复数三角形式的除法设21Z 、Z 的三角形式分别是：简记为 ：模数相除，幅角相减几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点顺时针旋转z 的一个辐角，长度除以z 的模，所得向量对应的复数就是．3、数学应用例1.已知i 为虚数单位，12(cos60isin60)z ︒︒=+，222(sin30icos30)z ︒︒=-，求12z z ⋅=,请把结果化为代数形式,并作出几何解释. 解:222(sin30cos30)22(cos300isin300)z i ︒︒︒︒=-=⋅+，122(cos60sin60)22(cos300isin300)4(cos360 isin360)z z i ︒︒︒︒︒︒∴⋅=+⋅⋅+=+.12z z ⋅=4首先作与12,z z 对应的向量1OZ ，2OZ ，然后把向量1OZ 绕点O 按逆时针方向旋转060，再将其长度伸长为原来的22倍，绕点O 按逆时针方向旋转0300这样得到一个长度为4，辐角为0360的向量OZ ,OZ 即为积12z z ⋅=4所对应的向量.变式训练1.计算下列各式，并作出几何解释： （1222cossin 22cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭； 【答案】（1）4-；（2）62解:（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.(2)原式()2cos 75sin 75222i i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 39022i i i ︒︒⎫=+==⎪⎪⎝⎭. 几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ即为积12z z ⋅=所对应的向量. 例2 计算下列各式：(1)()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦;(2)44554cossin 2cos sin 3366i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解:(1)()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦()()9cos 27090sin 27090 i ︒︒︒︒⎡⎤=+++⎣⎦()9cos360sin3609i ︒︒=+=，(2)44554cossin 2cos sin 3366i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦45452cos sin 2cos 2sin 2363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 变式训练1.计算下列各式 （1）)552cossin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+ ⎪⎦⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫⎤⎫÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭. 【答案】（1）；（2）-变式训练2.在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，则复数z 是_____________.（用代数形式表示）.【答案】i 22z =- 【解析】由题意得()()()cos 45isin 45i i 22z ⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22=-. 例3.把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM 重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值. 解:由复数乘法的几何意义得1255cossin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 四、小结：1.复数三角形式的乘法运算及其几何意义:简记为 ：模数相乘，幅角相加 2.复数三角形式的除法及其几何意义简记为 ：模数相除，幅角相减 五、作业：习题7.3。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
北师大版(2019)数学必修第二册：5.3.2 复数乘除运算的几何意义 教案
复数乘除运算的几何意义【教学目标】了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.【教学重难点】复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义.【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、基础知识复数三角形式的乘、除运算：若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则（1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．（2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．三、合作探究1．复数三角形式的乘、除运算【例1】计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； （2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.【规律方法】（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍． 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义【例2】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π 所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.【规律方法】两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2．四、课堂检测1．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π ＝－1＋32＋3－12i.。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】教学目标：1. 理解复数的乘法运算规则，并能够正确应用复数的乘法进行计算。
2. 理解复数的除法运算规则，并能够正确应用复数的除法进行计算。
3. 掌握复数的乘除运算在平面直角坐标系中的几何意义。
教学重点：1. 复数的乘法运算规则的理解和应用。
2. 复数的除法运算规则的理解和应用。
3. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则的掌握和运用。
2. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、彩色笔。
2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1 热身导入（5分钟）通过回顾上节课所学的复数基本概念和运算规则，复习复数的基础知识。
Step 2 学习复数的乘法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的乘法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数乘法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的乘法运算规则。
Step 3 学习复数的除法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的除法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数除法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的除法运算规则。
Step 4 复数乘除运算的几何意义（15分钟）1. 教师引导学生思考复数乘法和除法运算在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 教师演示并讲解复数乘法运算和除法运算的几何意义，并通过实例进行说明。
3. 学生完成几个与几何意义相关的练习题，巩固对复数乘除运算几何意义的理解。
Step 5 拓展应用（10分钟）1. 学生进行一些综合性的习题练习，巩固复数的乘除运算。
2. 学生通过解决实际问题，应用复数的乘除运算进行计算。
Step 6 总结反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾乘除运算的关键知识点。
《复数乘除运算的几何意义》 导学案
《复数乘除运算的几何意义》导学案一、学习目标1、理解复数乘法、除法运算的法则。
2、掌握复数乘法、除法运算的几何意义。
3、能够运用复数乘除运算的几何意义解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）复数乘法、除法运算的法则。
（2）复数乘法、除法运算的几何意义。
2、难点运用复数乘除运算的几何意义解决实际问题。
三、知识回顾1、复数的概念：形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））的数叫做复数，其中\（a\）叫做实部，＼（b\）叫做虚部。
2、复数的几何表示：在复平面内，复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应点的坐标为\（（a,b)＼）。
四、新课导入我们已经学习了复数的概念和基本运算，那么复数的乘法和除法运算又有怎样的几何意义呢？这就是我们今天要探究的内容。
五、复数乘法运算的几何意义1、复数乘法的法则设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\）（＼（a,b,c,d\in R\）），则\（z_1 ＼cdot z_2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）2、复数乘法运算的几何解释设复数\（z_1\），＼（z_2\）在复平面内对应的向量分别为\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼），其坐标分别为\（（a,b)＼），＼（（c,d)＼）。
＼＼begin{align}＼overrightarrow{OZ_1}＼cdot\overrightarrow{OZ_2}＆＝（a,b)＼cdot(c,d)＼＼＆＝ac ＋ bd＼end{align}＼＼＼begin{align}＼vert z_1 ＼cdot z_2\vert&＝＼sqrt{（ac bd)＾2 ＋（ad ＋ bc)＾2}＼＼＆＝＼sqrt{（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2)｝＼end{align}＼这表明\（＼vert z_1 ＼cdot z_2\vert ＝＼vert z_1\vert ＼cdot ＼vert z_2\vert\），即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积。
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在深入探讨复数的乘法与除法运算之前，让我们先回顾一下复数的基本概念。
复数通常可以表示为＄z ＝ a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 被称为实部，＄b$ 被称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄z ＝ a ＋ 0i ＝ a$ 就是一个实数；当＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为虚数；当＄a ＝ 0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为纯虚数。
二、复数的乘法1、乘法法则设两个复数＄z_1 ＝ a ＋ bi$ ，＄z_2 ＝ c ＋ di$ ，它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci bd\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼2、乘法运算的几何意义复数的乘法运算在几何上可以理解为复数对应的向量的伸缩和旋转。
假设复数＄z_1$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_1}＄，复数＄z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_2}＄，那么它们的乘积＄z_1 ＼cdot z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ}＄，其中向量＄＼overrightarrow{OZ}＄的长度是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄长度的乘积，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄与实轴正方向的夹角是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄与实轴正方向夹角之和。
3、乘法运算的性质（1）交换律：＄z_1 ＼cdot z_2 ＝ z_2 ＼cdot z_1$（2）结合律：＄（z_1 ＼cdot z_2) ＼cdot z_3 ＝ z_1 ＼cdot （z_2＼cdot z_3)＄（3）分配律：＄z_1 ＼cdot （z_2 ＋ z_3) ＝ z_1 ＼cdot z_2 ＋ z_1＼cdot z_3$三、复数的除法1、除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
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Y
C
B
X
O
A
４、草原漫步 某人在宽广的大草原上自由漫步，突发如 下想法：向某一方向走１千米后向左转， 再向前走１千米再向左转，如此下去，能 回到出发点吗？
y
B A
o
1 km
x
小结：
1的求.求复。已数求知z用即向式是量子Zz Zz 1逆z z 0 0 时 针z z 1 1 方 向z z 0 0 旋c c 转角o o 所 i i得s s s s 向i i 量 对即n n 应可
A(2,1)、B(3,2)，求顶点C的坐标。
Y
C
B
A
X O
• ２、正方形ABCD中，作∠EAB=15°，
使AE=AC，连BE，求证：BE∥AC。
Y D
OA
C
E X
B
３、设B为半圆x2+y2=1( x∈[-1,1],y∈[-1,1] )上的
动点，A点坐标为（2,0）且△ABC是以BC为斜边
的等腰直角三角形（C在X轴上方）。 (1) 求C点的轨迹； (2) B点在何处时，O、C两点间的距离最远。
郭秀刚
问题１：已知复数Z1、Z在复平面上的 对应分别为A、B，O为原点， ∠AOB=π/ 6，若Z1=1+2i,求Z。
Y
B
A
X O
问题２：将问题１中向量OA平移，使 O移至Q(1,1),A移至P(2,3)，再绕Q点逆 时针方向旋转π/ 6得向量QB，求点B 对应的复数。
B
P Y
A
Q
O
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１、已知等边△ABC的两个顶点坐标为
2.复数乘除运算的几何意义是数形结合点之一。利 用复数的几何意义解题是数形结合思想的重要体 现。