二进制表示与运算
二进制的与运算和异或运算
二进制的与运算和异或运算在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数制系统，它由0和1两个数字组成。
在二进制数中，我们常常需要进行与运算和异或运算来处理数据。
本文将详细介绍二进制的与运算和异或运算以及它们的应用。
一、二进制的与运算（AND）在二进制的与运算中，当两个相应的二进制位都为1时，结果为1；否则，结果为0。
与运算可以用逻辑运算符“&”表示。
例如，对于二进制数1010和1100进行与运算，计算过程如下：1010&1100----1000从计算结果可以看出，与运算的规则是只有两个相应的二进制位都为1时，结果才为1。
二、二进制的异或运算（XOR）在二进制的异或运算中，当两个相应的二进制位不相同时，结果为1；否则，结果为0。
异或运算可以用逻辑运算符“^”表示。
例如，对于二进制数1010和1100进行异或运算，计算过程如下：1010^1100----0110从计算结果可以看出，异或运算的规则是两个相应的二进制位不相同时，结果才为1。
三、与运算和异或运算的应用1. 数据加密与运算和异或运算在数据加密中起到了重要的作用。
通过与运算和异或运算，我们可以对二进制数据进行加密和解密。
在加密过程中，我们可以利用与运算和异或运算改变二进制数据的位值，从而实现加密的目的。
在解密过程中，再次进行与运算和异或运算，就可以还原数据的原始状态。
2. 错误检测与运算和异或运算也常常用于数据的错误检测。
通过与运算和异或运算，我们可以检测出数据传输过程中是否发生了错误。
在数据传输过程中，发送方会对数据进行与运算和异或运算，计算出校验码，并将校验码附加在数据的末尾。
接收方在接收到数据后，再次进行与运算和异或运算，计算出校验码，并将其与接收到的校验码进行比较。
如果两者相等，说明数据传输过程中没有出现错误；如果不相等，则说明数据传输过程中发生了错误。
3. 逻辑运算与运算和异或运算也可以应用在逻辑运算中，进行逻辑判断。
在计算机程序中，我们经常需要对数据进行逻辑运算，通过与运算和异或运算来判断数据的状态。
二进制的表示和计算
二进制的表示和计算在计算机科学中，二进制是一种基础的数字表示和计算方式。
二进制是一种以2为基数的数制，它使用了0和1两个数字来表示所有的数值和字符。
本文将介绍二进制的表示方法和基本的计算规则。
一、二进制的表示方法二进制中的每一位称为一个比特（bit），它可以表示两个状态，即0和1。
最低有效位（LSB）表示数值中最右边的位，最高有效位（MSB）表示数值中最左边的位。
例如，十进制数值10可以用二进制表示为1010。
其中最低有效位为0，它表示2^0；次低有效位为1，它表示2^1；次高有效位为0，它表示2^2；最高有效位为1，它表示2^3。
通过将这四个位数相加，可以得到十进制数值10。
二、二进制的计算规则二进制的计算和十进制类似，但只使用了两个数字0和1。
下面是二进制计算中最常用的几种规则：1. 二进制加法二进制加法遵循以下规则：- 0 + 0 = 0- 0 + 1 = 1- 1 + 0 = 1- 1 + 1 = 0（进位1）例如，将二进制数值1101和101进行相加：1101+ 101------10010最高位的进位被舍弃，得到的结果是10010。
2. 二进制减法二进制减法可以通过加法的方式进行转换。
例如，要计算1101-101，可以先确定101的二进制补码（取反加一）为011，然后将1101和011进行相加：1101+ 011---------10000最高位的进位被舍弃，得到的结果是10000，即16的二进制表示。
3. 二进制乘法二进制乘法遵循以下规则：- 0 * 0 = 0- 0 * 1 = 0- 1 * 0 = 0- 1 * 1 = 1例如，将二进制数值1011和10进行相乘：1011x 10---------1011000000--------10110得到的结果是10110。
4. 二进制除法二进制除法和十进制类似，但只使用了两个数字0和1。
使用除法规则可以将一个二进制数值分割为商和余数。
二进制算法公式和示例
二进制算法公式和示例1. 什么是二进制算法二进制算法是一种计算机处理数据的基础算法，它使用的是二进制数系统，即只包含0和1的数制系统。
在计算机中，所有的数据都以二进制的形式表示，包括整数、浮点数、字符等。
二进制算法可以应用于各种计算机操作，如数值运算、逻辑运算、位运算等。
2. 二进制算法的基本运算2.1. 二进制加法二进制加法是将两个二进制数相加的运算。
其基本规则如下：•0 + 0 = 0•0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 0 （并产生进位）例如，我们将二进制数1101和0110相加：1101+ 0110-------10011上述运算可以看出，第一位相加得到1，没有产生进位；第二位相加得到0，产生了进位；第三位和第四位都相加得到1，没有产生进位。
最后得到的结果是10011。
2.2. 二进制减法二进制减法是将一个二进制数减去另一个二进制数的运算。
其基本规则如下：•0 - 0 = 0•0 - 1 = 1 （向高位借位）• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0例如，我们将二进制数1101减去0110：1101- 0110-------0111上述运算可以看出，第一位减去第一位得到0；第二位减去第二位得到1，向高位借位；第三位减去第三位得到1；第四位减去第四位得到0。
最后得到的结果是0111。
2.3. 二进制乘法二进制乘法是将两个二进制数相乘的运算。
其基本规则和十进制乘法类似，只是运算时只有0和1两个数字。
例如，我们将二进制数1101和0110相乘：1101x 0110-------11010+110100-------1011010上述运算可以看出，第一步是将第一个二进制数的每一位与第二个二进制数的每一位相乘得到部分积，然后将部分积进行求和得到最终的乘积结果。
2.4. 二进制除法二进制除法是将一个二进制数除以另一个二进制数的运算。
其基本规则和十进制除法类似，只是运算时只有0和1两个数字。
二进制表示与运算
二进制数与八进制的转换
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
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数制转换小结
1.非十进制数转换成十进制数 方法：把非十进数按位权展开并求和。
2.十进制数转换为非十进制数
（1）十进制整数转换为非十进制整数
方法：除以基数，直至商 为０，取其余数，倒排。
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（2）十进制小数转换为非十进制小数
方法：乘以基数，直至小数部 分为0，取其整数，顺排。 3.非十进制之8间互4 相2转换1
➢类似地，对于二进制数10011.101也可以 这样表示为： 10011.101 = 2101 * 0.10011101
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数的定点与浮点表示
➢一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S
➢其中j是二进制整数位数；S是二进制小数 ，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾 数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明 了小数点的位置。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
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逻辑代数的基本运算
三种基本运算
-----与、或、非
1 “与”逻辑
AB
E
Y
ABY
断断 灭 断通 灭 通断 灭 通通 亮
23 22 21 20
1111
（1）二进制数与八进制数间互换 一位八进制数相当于三位二进制数
《二进制数的运算》课件
仔细核对运算步骤：在进行二进制数运算时，需要仔细核对运算步骤，确保每一步的运算都正确无误，避免因为运算步骤错误而导致结果不正确。
添加标题
避免溢出错误：在进行二进制数运算时，需要注意溢出问题，确保运算结果不会超出二进制数的表示范围，避免因为溢出错误而导致结果不正确。
添加标题
避免进位错误：在进行二进制数运算时，需要注意进位问题，确保每一位的运算结果都正确无误，避免因为进位错误而导致结果不正确。
二进制数的加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=0，进位为1
二进制数的减法规则：0-0=0，0-1=1（借位），1-1=0
二进制数的乘法规则：0*0=0，0*1=0，1*1=1
二进制数的除法规则：除法相当于连续减法，如10除以2等于5，等于5次2减去1的结果
二进制数运算在计算机科学中的重要性 * 计算机内部数据表示的基础 * 计算机程序运行的基本原理
二进制数的基数为2
二进制数的表示形式为0和1
二进制数的运算速度比十进制数更快
二进制数的运算规则为“逢二进一”
二进制数的基数是2
二进制数可以表示计算机中的所有信息
二进制数的运算规则是逢二进一
二进制数只有0和1两个数字
二进制数的运算规则
二进制数的加法规则
0+0=0, 1+0=1, 1+1=10
二进制数的进位规则
总结与回顾
二进制数的定义：二进制数是一种以0和1为基本符号的数制系统
二进制数的特点：二进制数的运算规则简单，易于实现，适合计算机内部运算
二进制数的应用：在计算机科学中，二进制数被广泛应用于计算机内部的数据表示和运算
二进制数与十进制数的转换：了解二进制数与十进制数的转换方法，方便我们在不同数制之间进行转换
二进制规则运算
一、二进制规则运算二进制规则运算是在二进制数系统中进行的基本数学运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1.二进制加法：二进制加法与十进制加法类似，只是在进位的时候是在2的基础上进位，逢2进1。
例：对于二进制数1101和1011相加，从右往左逐位相加，遇到进位则向高位进位，逢2进1。
结果是二进制数11000。
2.二进制减法：二进制减法也类似于十进制减法，只是在不够减的时候要向高位借位。
例如，对于二进制数1101减去1011，从右往左逐位相减，不够减时向高位借位。
结果是二进制数10。
3.二进制乘法：二进制乘法使用了乘法的基本规则，将每一位相乘得到部分积，然后将所有部分积相加得到最终结果。
例如，二进制数1101乘以1011，先将1101和1011中的每一位相乘，然后将得到的部分积相加得到结果。
4.二进制除法：二进制除法也使用了除法的基本规则，将被除数不断减去除数，直到余数小于除数为止。
商是被除数减去除数的次数，余数是最后剩下的部分。
二、二进制和十进制换算二进制转换为十进制和十进制转换为二进制的方法：1.二进制转十进制：从二进制数的最右边开始，每一位都表示一个2的幂。
对于每一位，如果该位是1，则将对应的2的幂相加；如果是0，则不加。
举例：二进制数1011转换为十进制，计算方法是：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0=8+0+2+1=11。
2.十进制转二进制：用除以2的方法，将十进制数不断除以2，每次取余数作为二进制数的一位。
将每一次的余数按逆序排列，就是该十进制数的二进制表示。
举例：十进制数13转换为二进制，计算方法是：13÷2=6余1，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1。
逆序排列得到二进制数1101。
二进制的与运算
二进制的与运算二进制的与运算是计算机中常用的一种运算方式，它是指将两个二进制数的每一位进行比较，只有当两个数的对应位都为1时，结果才为1，否则为0。
在计算机中，与运算常用于数据的筛选、掩码操作等方面。
在二进制的与运算中，每一位的比较都是独立的，因此可以通过位运算符“&”来实现。
例如，对于二进制数1010和1100进行与运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个数的每一位进行比较，只有当两个数的对应位都为1时，结果才为1，否则为0。
2. 1010 & 1100 = 10003. 因此，1010和1100的与运算结果为1000。
在计算机中，与运算常用于数据的筛选。
例如，在一个存储了多个数据的数组中，如果我们只想要其中某些数据，就可以使用与运算来进行筛选。
例如，如果我们想要获取数组中所有下标为偶数的数据，可以使用如下代码：for (int i = 0; i < array.length; i++) {if (i & 1 == 0) {// 获取下标为偶数的数据}}在上述代码中，使用了与运算符“&”来判断下标是否为偶数。
如果下标为偶数，则与运算的结果为0，否则为1，从而实现了数据的筛选。
除了数据的筛选外，与运算还常用于掩码操作。
掩码操作是指将一个二进制数的某些位设置为1或0，从而实现对数据的控制。
例如，在网络通信中，IP地址常用掩码来进行子网划分。
掩码是一个32位的二进制数，其中前面的若干位为1，后面的若干位为0。
通过与运算，可以将IP地址与掩码进行比较，从而判断该地址是否属于某个子网。
二进制的与运算是计算机中常用的一种运算方式，它可以用于数据的筛选、掩码操作等方面。
在实际应用中，我们可以通过位运算符“&”来实现与运算，从而实现对数据的控制和处理。
第四讲 二进制运算及数的表示
要存储符号、指数与尾数三部分。浮点数分为单精度与双精度两种，
单精度浮点数用32位（4字节）存储，双精度浮点数用64位存储。 在计算机中二进制可进行算术运算与逻辑运算，算术运算规则简单， 实现较容易。逻辑运算包括“与”、“或”、“非”与“异或”运算。
计算机基础科学系
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计算机基础科学系
3 .计算机中数的概念
在计算机中表示数需要考虑的三个问题 数的长度
长度固定
符号
最高位（最左端）为数的符号位 符号位: 0表示“＋”，１表示“－”
小数点
位置隐含 位置可固定（定点数），也可浮动（浮点数）
计算机基础科学系
4.1 定点数的表示
定点整数
定点小数
小数点的位置约定在数符位和数值部分的最高位之间，用以表示小于１的纯小数。
2.4 二进制异或运算
⑷“异或”运算（XOR） “异或”运算用符号“ ”来表示。其运算规则如 下：0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0 即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为 1，否则为0。 例二十：分别求10111001 11110011与 100010101 101111100的结果。
2.计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存 这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点 数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的 单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。
计算机基础科学系
小 结
计算机中的数是利用二进制数来表示，存储数的方法有定点法与浮点 法。定点法通常用来表示整数。浮点法用来表示小数，存储浮点数需
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十进制小数转换为二进制数
• 转换规则：乘2取进位 (x)10 =(. k1 k2 …kn-1kn)2=(k1×2-1+k2×2-2+…+kn-1×2n-1+kn × 2-n)10 k1=x乘2取进位，k2=(2×x-k1)乘2取进位，……直至余数为0 例： (0.125)10=(0.001)2 0.125×2＝0.25 0.25×2＝0.5 0.5×2＝1 练习： (0.625)10= (0.101)2 进位为0 进位为0 进位为1，余数为0，计算结束
在作乘法或除法时，把数的符号位按位相加后 就得到结果的符号位，其规则为：
正数乘正数，符号按位相加得：0+0=0
正数乘负数，符号按位相加得：0+1=1 负数乘负数，符号按位相加得：1+1=0
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逻辑代数
在数字电路中，我们要研究的是电路 的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电 路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
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八进制与二进制数的转换
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
• 转换的方法是：这是上述转换的逆过程 。将八进制数的每一位用相应的三位二 进制数写出即可。 【例】 (325.46)8＝( )2 解 3 2 5 . 4 6 011 010 101 . 100 110
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逻辑代数的基本运算
三种基本运算
1 “与”逻辑
A B Y
-----与、或、非
A B Y 灭 灭 灭 亮
断 断 通
通
断 通 断
通
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数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 其中j是二进制整数位数；S是二进制小数 ，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾 数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明 了小数点的位置。
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数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 对任何一个数，若阶码j是固定不变的，则 把这种表示法称为定点表示，这样的数称 为定点数。反之，如果j可以取不同值，则 把这种表示称为数的浮点表示，这样的数 称为浮点数。
数字的个数等于基数 最大的数字比基数小1 每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个 数所在的位置决定的
3
为什么数字计算机上要采用二进制
计算机是电子设备，它容易实现的稳定状 态有两种，如电路的通或断、电位的高或 低。两种稳定状态工作可靠，抗干扰能力 强，分别对应着数值１和０，这就是计算 机中使用二进制数的理由。
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二进制数与十六进制数的转换
将十六进制数的每一位用相应的四位二进 制数写出。
【例】 (23.F)16＝( )2 解 2 3 . F 0010 0011 . 1111 所以 (23.F)16＝(100011.1111)2
16
非十进制到十进制数的转换
非十进制数转换成十进制数
其方法以上已经介绍过了，即把非十进数按位权 展开并求和。
14
二进制数与十六进制数的转换
转换的方法是：由小数点开始向左把二进 制整数按每四位一划分，同理，由小数点 开始向右把二进制小数按每四位一划分， 不足四位用0补齐，然后写出其相应的十 六进制数。
【例】 解 (11110111101.01)2＝( )16 0111 1011 1101 . 0100 7 Ｂ D . 4 所以 (11110111101.01)2＝(7BD.4)16
＝16+0+4+0+1+0.5+0+0.125 ＝(21.625)10
5
二进制
• 二进制：逢二进位的数制系统 • 基数：0 例：( 110)2 1 1×22＋1×21＋0×20＝(6)10
• 奇偶数的判断以尾数为准 • 易于运算
• 用于表达二进制数所需的物理状态最少
例：0～999范围内的数，十进制表示需3×10＝30个稳定状态； 二进制表示需10×2＝20个稳定状态（210＝1024）
表1.1 二、八进制数字对照表
二进制数 八进制数
表1.2 二、十六进制数字对照表
二进制数 十六进制数 二进制数 十六进制数
000 001 010
0 1 2
0000
0
1000
8
0001
0010 0011 0100 0101
1
2 3 4 5
1001
1010 1011 1100 1101
9
A B C D
011 100
１和０的不同编码组合可以表示一个数、 一个字符或一条操作指令。
4
二进制
二进制数
１）用０和１两个数符表示两个不同的数。
２）逢二进一，即高一位数是低一位数的２倍 因此，二进制数10101.101的十进制值可用以下 方法求出： (10101.101)2
＝1× 24+0× 23+1× 22+0× 21+1× 20+1× 2-1+0× 2-2+1× 2-3
二进制表示与运算
二进制表示与运算
• 二进制与十进制、八进制和十六进制的转换 • 数的表示（定点小数、定点整数、浮点数） • 机器码（原码、反码、补码） • 定点数的运算
2
十进制
由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9等十个不同 的符号来表示数值的一种表示方法，采用逢10 进1的计算方式。例如 253.48=2*102+5*101+3*100+4*10-1+8*10-2 显然，任一数字的位置是由10的次幂而决定的 ，这个10就是十进制的基数。十进制的特征：
0 11 1 11011
• 设阶码共m位，尾数共n-1位，则浮点数的表示范围为： 2
-(2m-1)
×2
-1
(2m-1)×[1-2-(n-1)] <=|x|<=2
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符号的表示方法
在计算机中，二进制数码1和0是用电子元件的 两种不同状态来表示的，对于一个数的符号， 也用电子元件的两种不同状态来表示。一般约 定正数的符号用0表示，负数和符号用1表示。
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-(n-1)
数的机内表示— 定点整数
• 无符号整数：
数值位
• 字长为n时，无符号整数的表达范围为 0～2n-1
• 有符号整数： 数符
数值
• 字长为n时，有符号整数的表达范围为 |x|<=2n－1-1
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数的机内表示— 浮点数
• 浮点数：
阶符 阶码 数符 尾数
• 将数x表示为 s×2j的形式，其中s为x的小数形式（尾数） -110.11= -0.11011×211
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数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 如果对任何数j=0，则该定点数只能表示小 数。这种表示法是一种常用的方法，以后 我们讨论问题时，除非特别说明，否则都 采用这种表示方法。
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数的定点与浮点表示
如果计算机中的数采用定点表示，则计算 机中数的小数点是固定的，这种计算机叫 定点计算机；如果计算机中的数采用浮点 表示，这时机器中数的小数是可以变化的 ，这种计算机叫浮点计算机。
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二进制数与八进制的转换
• 一位八进制数相当于三位二进制数，即 有如下的对应关系：
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
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练习
十进制转换为十六进制：85.58 十六进制转换为十进制：7C.C7 八进制转换为十六进制：56.65 十六进制转换为八进制：5B.B5
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数的定点与浮点表示
一个十进制数123.456可以表示为 123.456 = 0.123456 * 103 数0.000456可以表示为： 0.000456 = 0.456 * 10-3 类似地，对于二进制数10011.101也可以 这样表示为： 10011.101 = 2101 * 0.10011101
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二进制数与十六进制数的转换
一位十六进制数相当于四位二进制数，即 有如下对应关系：
十六进制 二进制数 十六进制 二进制数 0 8 1 9 2 A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
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二进制数与八进制的转换
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
பைடு நூலகம்
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。 【例】 (10001101.1101)2＝( )8
(23.25)10= (10111.01)2
9
八进制与十六进制
在计算机中应用二进制有一系列的优点， 但写起来位数太多，读起来也比较麻烦， 为了读写方便，往往采用八进制和十六进 制作为二进制的过渡方式。
八进制：用0，1，2，3，4，5，6，7 八个数 符。采用“逢八进一”的计数方法。 十六进制：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，A，B，C，D，E，F十六个数符。采用“逢 十六进一”的计数方法。