电磁感应中的动力学和能量问题(教师版)

专题 电磁感应中的动力学和能量问题

一、电磁感应中的动力学问题

1．电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：

导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．

2．分析动力学问题的步骤

(1)用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．

(2)应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小．

(3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．

(4)列出动力学方程或平衡方程求解．

3．两种状态处理

(1)导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态．

处理方法：根据平衡条件——合外力等于零，列式分析．

(2)导体处于非平衡态——加速度不为零．

处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

二、电磁感应中的能量问题

1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程．电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流存在，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能，“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能；当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．可以简化为下列形式：

其他形式的能如：机械能

――→安培力做负功电能 ――→电流做功其他形式的能如：内能

同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．

2．电能求解的思路主要有三种

(1)利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；

(2)利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能；

(3)利用电路特征求解：通过电路中所产生的电能来计算．

例1 如图所示，MN 、PQ 为足够长的平行金属导轨，间距L ＝0.50 m ，导轨平面与水平面间夹角θ＝37°，N 、Q 间连接一个电阻R ＝5.0 Ω，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B ＝1.0 T ．将一根质量为m ＝0.050 kg 的金属棒放在导轨的ab 位置，金属棒及导轨的电阻不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.50，当金属棒滑行至cd 处时，其速度大小开始保持不变，位置cd 与ab 之间的距离s ＝2.0 m ．已知g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求：

(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；

(2)金属棒到达cd 处的速度大小；

(3)金属棒由位置ab 运动到cd 的过程中，电阻R 产生的热量．

解析 (1)设金属棒开始下滑时的加速度大小为a ，则

mg sin θ－μmg cos θ＝ma a ＝2.0 m/s 2

(2)设金属棒到达cd 位置时速度大小为v 、电流为I ，金属棒受力平衡，有mg sin θ＝BIL ＋

μmg cos θ I ＝BL v R

解得v ＝2.0 m/s (3)设金属棒从ab 运动到cd 的过程中，电阻R 上产生的热量为Q ，由能量守恒，

有mgs sin θ＝12

m v 2＋μmgs cos θ＋Q 解得Q ＝0.10 J 突破训练1 如图所示，相距为L 的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m 、电阻为R 的两根相同的导体棒，导体棒MN 上方轨道粗糙、下方轨

道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B .将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN 下滑而EF 保持静止，当MN 下滑速度最大时，EF 与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是 ( )

A ．导体棒MN 的最大速度为2mgR sin θ

B 2L 2

B ．导体棒EF 与轨道之间的最大静摩擦力为mg sin θ

C ．导体棒MN 受到的最大安培力为mg sin θ

D ．导体棒MN 所受重力的最大功率为m 2g 2R sin 2 θB 2L 2

答案 AC

解析 由题意可知，导体棒MN 切割磁感线，产生的感应电动势为E ＝BL v ，回路中的电流

I ＝E 2R ，MN 受到的安培力F ＝BIL ＝B 2L 2v 2R

，故MN 沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN 受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后MN 做匀速运

动．故导体棒MN 受到的最大安培力为mg sin θ，导体棒MN 的最大速度为2mgR sin θB 2L 2

，选项A 、C 正确．由于当MN 下滑速度最大时，EF 与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，由力的平衡知识可知EF 与轨道之间的最大静摩擦力为2mg sin θ，B 错误．由P ＝G v sin θ可

知导体棒MN 所受重力的最大功率为2m 2g 2R sin 2 θB 2L 2

，D 错误． 例2 如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ ， 磁感应强度B 的大小为5 T ，磁场宽度d ＝0.55 m ，有一边长L ＝0.4 m 、质量m 1＝0.6 kg 、电阻R ＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd 通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量为m 2＝0.4 kg 的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)线框abcd 还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少？

(2)当ab 边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab 边距磁场MN 边界的距离x 多大？

(3)在(2)问中的条件下，若cd 边恰离开磁场边界PQ 时，速度大小为2 m/s ，求整个运动过程中ab 边产生的热量为多少？

审题指导 1.线框abcd 未进入磁场时，线框沿斜面向下加速，m 2沿水平面向左加速，属连接体问题．

2．ab 边刚进入磁场时做匀速直线运动，可利用平衡条件求速度．

3．线框从开始运动到离开磁场的过程中，线框和物体组成的系统减少的机械能转化为线框的焦耳热．

解析 (1)m 1、m 2运动过程中，以整体法有m 1g sin θ－μm 2g ＝(m 1＋m 2)a

a ＝2 m/s 2

以m 2为研究对象有F T －μm 2g ＝m 2a (或以m 1为研究对象有m 1g sin θ－F T ＝m 1a )

F T ＝2.4 N

(2)线框进入磁场恰好做匀速直线运动，以整体法有

m 1g sin θ－μm 2g －B 2L 2v R

＝0 v ＝1 m/s ab 到MN 前线框做匀加速运动，有v 2＝2ax x ＝0.25 m

(3)线框从开始运动到cd 边恰离开磁场边界PQ 时：

m 1g sin θ(x ＋d ＋L )－μm 2g (x ＋d ＋L )＝12(m 1＋m 2)v 21＋Q 解得：Q ＝0.4 J 所以Q ab ＝14

Q ＝0.1 J