高考数学三角函数专题

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
（1）平方关系：2
2
2
2
2
2
sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
（3）商数关系：
sin cos tan ,cot cos sin ααααα
α=
=
三、两角和与差的三角函数
1、两角和与差的三角函数公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ
±=±,
cos()cos cos sin sin αβαβαβ
±= ,
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=。

1、 二倍角公式 2
2tan sin 22sin cos 1tan θθθθθ
==
+；
2
2222
21tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan θθθθθθθ
-=-=-=-=
+；2
2tan tan 21tan θθθ
=
-
注意：熟悉以下公式变形 （
1）
()()
tan tan tan 1tan tan θβθβ
θβ+=+-（2）
2
2
1cos 21cos 2sin ;cos 2
2
θ
θ
θθ-+=
=
（3）2
2
1cos 2cos ,1cos 2sin 22θ
θ
θθ+=-= （4）2
1sin sin cos 22θθθ⎛
⎫±=± ⎪⎝
⎭ （5）注意“凑角”运用：()2
2
44θβ
θβ
ππθθββθ+-⎛
⎫=+-=
+
=+- ⎪⎝
⎭,求值时,特别注
意角的范围及符号。

例如：已知()3312sin ,sin ,45413π
πθβπθββ⎛⎫⎛
⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭、，，则
cos ?4πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
（6）辅助角公式的运用：()2
2
sin cos sin a b a b θθθϕ+=
++,其中tan b a
ϕ=
.如：
sin 3cos 2sin ,
3sin cos 2sin ,
36ππθθθθθθ⎛
⎫⎛
⎫+
=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin cos 2sin 4πθθθ⎛
⎫+=
+ ⎪
⎝
⎭ 等。

（7）几种常用变换思想：①变不同角为同角 ②变不同函数为同名函数 ③见高次降
幂
四、三角函数的图象及性质 表（1） 函数
sin y x = cos y x = tan y x =
图象
定义域 R
R
|,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
值
域
[1,1]-
[1,1]-
R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 有界性 sin 1x ≤
cos 1x ≤
无界函数
最小正
周期
2π
2π
π
2,222()
32,222()
k k k Z k k k Z ππππππππ⎡
⎤-+⎢⎥
⎣
⎦∈⎡
⎤++
⎢⎥⎣⎦
∈增区间减区间
[][]
2,2()
2,2()
k k k Z k k k Z πππ
πππ-∈+∈增区间减区间
,22()
k k k Z ππππ⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭∈增区间 对称轴 ()2
x k k Z π
π=+
∈ ()x k k Z π=∈
无对称轴
对
称 中
心
()(),0k k Z π∈
(),02k k Z ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
(),02k k Z π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()()m ax m in 22
1;22
1
x k k Z y x k k Z y ππππ=+
∈==-∈=-时，
时，
()()()m ax m in 21;
211
x k k Z y x k k Z y ππ=∈==+∈=-时，时，
o
π
32
π
2π
y
o o
2
ππ
32
π y
x
2
π
2
π
x
π
32
π
x
y
2π
无最值
最值
单 调 区 间
表（2）(0,0)A ω>>
函数
()sin y A x ωϕ=+
()cos y A x ωϕ=+
()tan y A x ωϕ=+
定义域 R
R
22|,2k x x k Z ππϕω+-⎧⎫
≠∈⎨
⎬⎩⎭
值
域
[,]A A -
[,]A A -
R
奇偶性 ()k k Z ϕπ=∈时是奇函数,
()2
k k Z π
ϕπ=+
∈时是偶函数。

()2
k k Z π
ϕπ=+
∈时是
奇函数,()k k Z ϕπ=∈时
是偶函数。

()k k Z ϕπ=∈时是奇函数
有界性 ()sin A x A ωϕ+≤
()cos A x A ωϕ+≤
无界函数
最小正
周期
2π
ω
2π
ω
πω
4242,22()42432,()22k k k Z k k k Z ππϕππϕωωππϕππϕωω--+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦∈+-+-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
增区间减区间
()22,
()22,k k k Z k k k Z ππϕπϕωωπϕππϕωω---⎡⎤
⎢⎥⎣⎦∈-+-⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
增区间减区间
2222,22()
k k k Z ππϕππϕωω--+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦∈增区间
对称轴
22()2k x k Z ππϕ
ω
+-=
∈
()k x k Z πϕ
ω
-=
∈
无对称轴
对
称 中
心
(),0k k Z πϕω-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭ ()
22,02k k Z
ππϕω+-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()2,02k k Z πϕω-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()()m ax m in 422;422k x k Z y A k x k Z A ππϕ
ωππϕ
ω
+-=
∈=--=
∈=-时，时，y
()()
m ax m in 2;
(2)k x k Z y A k x k Z A
πϕ
ω
ππϕ
ω-=
∈=+-=
∈=-时，
时，y
无最值
最值
单 调 区 间
五、图象变换：函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换得到
1、先相位变换 周期变换 振幅变换
sin y x = ()s i n y x ϕ=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0ϕ>） 或向
右（0ϕ<）平移ϕ个单位。

()s i n y x ωϕ=+：把()s i n y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长
（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的 1
ω
倍,
纵坐标不变。

()s i n y A x ωϕ=+：把()s i n y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,
横坐标不变。

2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x =
sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）
或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。

()sin y x ωϕ=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0ϕ>）或向右
（0ϕ<）平移
ϕω
个单位.
()sin y A x ωϕ=+：把()sin
y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）
或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法：
（1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；
（3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性。