立体几何__概念.
北师大版数学八年级上册第一章立体几何知识点归纳及例题
北师大版数学八年级上册第一章立体几何知识点归纳及例题一、知识点归纳1. 立体几何的基本概念- 点、线、面、体的概念及特点2. 空间几何图形- 线段、射线、直线的定义和性质- 角的概念及表示方法- 平面与立体图形的关系3. 立体图形的种类- 正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、球体、圆柱、圆锥的特点、性质和示意图- 平行四边形、正方形、矩形、菱形、圆的特点和性质4. 空间方位关系- 平行、垂直、重合、相交等概念的理解和判断5. 空间几何图形的展开与折叠- 立体图形沿折痕折叠和展平的方法二、例题1. 已知正方体 ABCDEFGH 的边长为 4cm，求以下几何图形的面积和体积：- 立方体 ABCDEFGH 的表面积和体积- 正八面体 ABCKLMNO 的表面积和体积2. 在长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 中，已知 AB = 4cm，AE = 3cm，求以下几何图形的面积和体积：- 长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 的表面积和体积- 直方体 ABB1A1B1 的表面积和体积3. 已知平行四边形 ABCD 周长为 20cm，对角线 AC = 8cm，求以下几何图形的面积和周长：- 平行四边形 ABCD 的面积和周长- 矩形 ABCD 的面积和周长4. 已知直方体 ABCDEFGH 的表面积为 96cm²，底面 ABCD 的面积为 20cm²，求以下几何图形的高和体积：- 直方体 ABCDEFGH 的高和体积- 平行四边形 ABCD 的高和面积以上是北师大版数学八年级上册第一章立体几何的知识点归纳和例题，希望能对你有所帮助。
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结高中数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积以及它们之间的关系。
高中数学中的立体几何知识点较多，包括立体图形的基本概念、立体图形的体积与表面积计算、立体图形的投影等。
下面将对高中数学中的立体几何知识点进行详细总结。
1. 空间几何基本概念空间中的图形包括点、直线和平面等基本几何元素。
其中，直线是由无数个点组成的，平面是由无数个直线组成的。
2. 立体图形的基本概念立体图形是由平面围成的图形。
常见的立体图形包括立方体、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球体、圆锥、圆柱等。
这些图形都有特定的性质和特征。
3. 立体图形的投影立体图形在投影面上的投影是指某一光线在经过立体图形后，再次射到平面上所形成的图形。
常见的立体图形投影包括正交投影和透视投影。
4. 立体图形的体积计算立体图形的体积是指该立体图形所占据的空间大小。
不同的立体图形计算方式不同，常见的计算公式包括：立方体的体积=边长的立方，正方体的体积=边长的立方，长方体的体积=长×宽×高，球体的体积=4/3×Π×半径的立方等。
5. 立体图形的表面积计算立体图形的表面积是指该立体图形各个面的总面积。
常见的计算公式包括：立方体的表面积=6×边长的平方，正方体的表面积=6×边长的平方，长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，圆柱的表面积=2×Π×半径×(半径+高)，球体的表面积=4×Π×半径的平方等。
6. 空间的位置关系立体图形在空间中可以有不同的位置关系，包括重叠、相离、切平面、直角垂直、平行等。
通过对不同图形的位置关系的分析，可以解决立体几何的应用问题。
7. 立体图形的相交与切割两个立体图形可以相交或切割。
相交是指两个立体图形有公共部分，切割是指一个立体图形被另一个立体图形分割成两部分。
立体几何(解析版)
立体几何(解析版)立体几何(解析版)立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体的空间形状、尺寸以及相互关系。
通过立体几何的学习，我们可以更好地理解并描述物体的形状，并运用相关理论方法解决实际问题。
本文将以解析的方式介绍立体几何的基本概念、性质和定理，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 点、线、面的基本概念在立体几何的世界中，点、线、面是最基本的几何元素。
点是没有大小的，只有位置的几何对象。
线由无数个点组成，是长度没有宽度的几何对象。
面是由无数个点和线组成，有着长度和宽度的几何对象。
了解这些基本概念是理解立体几何的第一步。
2. 空间几何关系的性质在立体几何中，物体之间有着各种各样的空间几何关系。
例如，平行是最基本的几何关系之一。
当两条直线或两个平面在空间中永远不相交时，我们称它们为平行。
此外，垂直、相交、共面等几何关系都在立体几何中发挥着重要作用。
通过研究这些几何关系的性质，可以更好地理解物体在空间中的位置和相互关系。
3. 空间几何图形的性质和分类空间几何图形是由点、线、面组成的。
常见的空间几何图形包括球、立方体、锥体等。
每种空间几何图形都有其独特的性质和分类标准。
例如，球是由所有距离圆心相等的点组成的，而立方体则有六个平面和八个顶点等。
通过深入研究这些性质和分类标准，我们能够更好地认识和应用空间几何图形。
4. 空间几何定理及其应用在立体几何中，有许多重要的定理和定律来描述和证明空间几何图形的性质。
例如，欧几里得空间中的平行公设和垂直公设是我们研究空间几何的基础。
此外，勾股定理、皮亚诺定理、欧拉公式等也为我们解决实际问题提供了强大的工具。
在实际问题中，我们可以通过运用这些定理和定律，推导出几何图形之间的关系，解决诸如面积、体积、距离等方面的问题。
5. 立体几何的应用立体几何的应用广泛而重要。
在建筑设计中，我们需要合理利用立体几何理论，确定房屋的尺寸和结构，确保建筑的稳定和美观。
在工程测量中，立体几何被用于计算地表面积和体积，指导建设工程的施工。
立体几何基本概念
1基本概念数学上，立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称。
立体几何一般作为平面几何的后续课程，暂时在人教版数学必修二中出现。
立体测绘(Stereometry)是处理不同形体的体积的测量问题。
如：圆柱，圆锥，圆台，球，棱柱，棱锥等等。
立体几何空间图形毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。
立体几何形戒指尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。
2基本课题课题内容包括:各种各样的几何立体图形(10张)- 面和线的重合- 二面角和立体角- 方块, 长方体, 平行六面体- 四面体和其他棱锥- 棱柱- 八面体, 十二面体, 二十面体- 圆锥，圆柱- 球- 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球，抛物面，双曲面公理立体几何中有4个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
各种立体图形表面积和体积一览表注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。
学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即几何模型第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.注：1.定理中四条线均针对同一平面而言2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系用向量证明三垂线定理已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b 垂直OA，求证：b垂直PA证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以b）加（向量OA 乘以b ）=O，所以PA垂直b。
立体几何基本概念
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基本概念
圆柱，圆椎，圆台
分别以矩形，直角三角形，直角梯形的一边，一直角边，垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱，圆锥，圆台。
圆柱，圆锥，圆台是由矩形，直角三角形，直角梯形旋转产生的旋转体。
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基本概念
轴，高，底面，侧面，母线
直线垂直于平面内的所有直线
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基本定理
直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
直线垂直于平面内的两条相交直线
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基本定理
直线与平面垂直性质
如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。
垂直于同一直线的直线平行
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基本概念
两个平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得交线互相垂直，则称这两个平面垂直
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基本定理
直线于平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行
线面平行则线线平行
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基本定理
两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么两个平面平行
平面内有两条相交直线平行于另一平面
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基本定理
两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的交线平行
面面平行则线线平行
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基本概念
两条直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点并且交角为直角，则称两条直线互相垂直
垂直包含共面垂直和异面垂直
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高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质总结
高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质总结在高中数学学习中，立体几何是一个重要的部分。
归纳立体几何是通过对形状的观察和分析，总结出其基本概念与性质，并运用它们解决相关问题。
本文将对高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质进行总结。
一、点、直线、面、体立体几何的基础概念包括点、直线、面和体。
点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
直线是无限延伸的点的集合，具有长度和方向。
面是由无限多个点组成的平坦表面，没有厚度。
体由无限多个面组成，有长度、宽度和高度。
二、多面体与特殊多面体多面体是由平面多边形构成的立体图形。
常见的多面体有四面体、六面体、八面体等。
这些特殊多面体有一些独特的性质，如四面体的顶点数、边数和面数的关系满足欧拉公式。
三、平行关系与平行截割在立体几何中，平行关系是很重要的性质。
当两个面之间的任意直线都与第三个面平行时，我们称这两个面是平行的。
平行关系可以应用于平行截割问题中，通过截割平面和被截割体之间的关系，求解相关问题。
四、相交关系与角相交关系是指两个或多个立体之间的交叉或重叠关系。
在相交关系中，角是一个重要的概念。
角是由两条射线共享一个公共端点而形成的，可以用来描述平面的倾斜程度。
角可以进一步分为锐角、直角、钝角等不同类型。
五、正交关系与垂直正交关系是指两条直线或两个面之间的垂直关系。
当两条直线或两个面之间的夹角为90度时，我们称它们是垂直的。
垂直关系在求解立体几何问题中具有重要作用，可以帮助我们确定未知量或推导结论。
六、对称关系与对称性质对称关系是指图形在特定参考点或参考轴上的镜像重合关系。
当一个图形经过镜像变换后与自身完全重合时，该图形具有对称性质。
对称关系可以帮助我们研究图形的特征，解决与对称性质相关的问题。
七、等腰关系与等腰性质等腰关系是指一个图形中两个或多个边的长度相等的关系。
等腰关系常常出现在与等腰性质相关的问题中。
等腰三角形、等腰梯形等图形具有一些特殊性质，如对称性、角度关系等。
立体几何知识点
立体几何知识点立体几何知识点概述1. 立体图形的基本概念- 体积与表面积- 多面体、旋转体的定义和分类2. 多面体- 棱柱和棱锥- 正方体和长方体- 正棱锥和正棱台- 棱镜和棱镜体- 多面体的体积和表面积公式- 棱柱体积公式：V = Bh（B为底面积，h为高）- 棱锥体积公式：V = (1/3)Bh（B为底面积，h为高） - 正多面体的表面积公式：A = 面积单位 * 面数3. 旋转体- 圆柱、圆锥和圆台- 体积公式：V = πr²h（r为半径，h为高）- 球体- 体积公式：V = (4/3)πr³- 表面积公式：A = 4πr²- 旋转椭球体和旋转抛物面4. 空间几何图形的性质- 线面关系- 平行与垂直- 线面角和面面角- 面面关系- 平行与相交- 二面角- 体积与表面积的计算5. 立体图形的构造- 利用基本几何体构造复杂图形- 几何体的切割与组合6. 空间向量与立体几何- 空间向量的基本概念- 向量的加法、数乘、数量积和向量积 - 利用空间向量解决立体几何问题7. 立体几何的应用- 建筑设计- 工程测量- 计算机图形学8. 立体几何的解题技巧- 利用对称性- 转化与化归- 空间想象能力的培养9. 典型例题解析- 计算多面体和旋转体的体积与表面积 - 解决线面、面面关系问题- 空间向量在立体几何中的应用10. 立体几何的数学思想- 空间直观与抽象- 几何变换- 极限与微积分初步以上是立体几何的主要知识点概述，每个部分都包含了该领域的核心概念、公式、性质和应用。
在实际教学或学习中，应根据具体情况深入探讨每个部分的细节，并结合实际问题进行练习和应用。
数学中的立体几何与三角函数
数学中的立体几何与三角函数数学作为一门抽象而又实用的学科，涵盖了众多的分支。
其中，立体几何和三角函数是数学中的两个重要领域。
立体几何研究空间中的图形和物体，而三角函数则研究角度和三角形。
本文将探讨立体几何和三角函数之间的关系，并介绍它们在实际生活中的应用。
一、立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的图形和物体的学科。
它涉及到点、线、面、体等基本概念。
在立体几何中，我们常常会遇到一些重要的图形，如球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体等。
这些图形都有各自的特点和性质，我们可以通过数学方法来描述和计算它们的面积、体积和表面积等。
立体几何与三角函数的关系在于，我们可以利用三角函数来描述和计算图形中的角度。
例如，对于一个球体，我们可以通过计算球面上的角度来确定球体的表面积。
而对于一个圆锥体，我们可以利用三角函数来计算圆锥的斜高和侧面积。
因此，立体几何和三角函数是密切相关的。
二、三角函数的基本概念三角函数是研究角度和三角形的数学工具。
它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在三角函数中，我们常常会遇到角度的概念，如弧度和度数。
弧度是一个重要的角度单位，它表示弧长与半径的比值。
而度数则是我们常用的角度单位，它将一个圆分成360个等分。
三角函数在立体几何中的应用非常广泛。
例如，在计算一个三角形的面积时，我们可以利用正弦函数来计算三角形的高度。
而在计算一个球体的体积时，我们可以利用正弦函数来计算球面上的角度。
因此，三角函数在解决立体几何问题中起着重要的作用。
三、立体几何与三角函数的应用举例立体几何和三角函数在实际生活中有许多应用。
下面将介绍一些常见的例子。
1. 建筑设计中的应用在建筑设计中，立体几何和三角函数被广泛应用。
例如，设计一个圆顶建筑时，我们可以利用立体几何的知识计算圆顶的表面积和体积。
同时，我们还可以利用三角函数来计算圆顶上的角度，以确定建筑的结构和稳定性。
2. 导航系统中的应用导航系统是现代生活中不可或缺的工具。
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空间点、直线、平面之间的位置关系
一．基础知识：
1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。
（此定理常用来判断空间三线共点。
）
公理3：不共线的3点确定一个平面。
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面
2. 平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。
注意：相交线和异面直线没有传递性。
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。
可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。
当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。
但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。
不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。
4、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。
（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。
（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。
两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。
异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b 是异面直线，经过空间一点O ，分别引直线a ˊ／／a , b ＇／／b,相交直线a ＇，b ＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b 所成的角θ∈0,
2π⎛⎤
⎥⎝⎦
，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。
5.异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b 所成的角为θ，在a,b 上分别取点E ，
F ，已知AB 为公垂线段，长度为d,BE ＝m,AF=n,EF=l 则l 侧为减，异侧为加）
5、直线与平面的位置关系：1）直线在平面内, 2）直线与平面相交， 3）直线与平面平行, 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
6. 直线与平面平行：
（1）直线与平面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。
（2）直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。
简称为“线线平行，则线面平行。
” 判定直线与平面平行的方法还有：1）,a a αβαβ//⊆⇒//面面，2）
,,b a b a a ααα⊥⊥⊄⇒//
（3）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
7. 直线与平面垂直：
（1）直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
（2）.直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
（3）直线和平面垂直的性质定理： 1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、平面与平面的位置关系：1）平行平面：没有公共点，2）相交平面：有且只有一条公共直线。
两个平面的公共点都在同一条直线上。
9两个平面平行：
（1）两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。
简称为“线面平行，则面面平行”，2)推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
（2）两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。
3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。
10.两个平面垂直:
(1)两个平面垂直定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直。
（2）两个平面垂直的判定：1)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
2）定义法（直二面角）
（3）两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。
11、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
12、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
利用法向量可处理线面角问题
设 θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπ
ϕ-=
2
（图1）或θπ
ϕ+=
2
（图2）
图1 图2
12、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。
设AB 是平面ａ的一条斜线，A 为斜足，直线m
是平面ａ内任一直线，AB ′是AB 在平面ａ内的射影。
θ为AB 和m 所成的角，1θ为AB 和射影所成的角，2θ射影AB ′和m 所成的角，则cos θ=cos 1θcos 2θ 重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为α≠2
π
，过空间一定点P 作直线L 与L1，L2所成的角都是β，这样的直线L 可作多少条？ 分析：（1）若β∈（0，α/2），则这样的直线L 有0条
（2）若β＝α/2，则这样的直线有1条
θ
ωα
l
v
n
ω
θ
α
v
l n
（3）若β∈（α/2，2
πα-），则这样的直线L 有2条
（4）若β＝
2πα-，则这样的直线L 有3条 （5）若β∈（2
πα
-，
2
π），则这样的直线L 有4条 （6）若β＝
2
π
，则这样的直线L 有1条 13、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为α-l-β, 一个平面垂直于二面角α-l-β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 叫做二面角α-l-β,的平面角。
一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
二面角大小的取值范围是［0，180°］ 14.计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)。
(2)三垂线法 （3）垂面法 （4）射影面积法
（5）利用法向量可处理二面角问题
设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量
21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图3）或 ϕθ=（图4）
图3 图4
15.小结：
①证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；
ωθ
β
l α
n
n
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
②证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
③证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
④证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
⑤证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
⑥证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.。