差分方程模型习题+答案
微分差分方程习题答案(上大)
第七章 微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．一阶)1( 二阶)2( 一阶)3( 2. (1) 不是 (2) 是 (3) 是 (4) 是3．25)1(22=-x y x xe y 2)2(= x y c o s)3(-= 4．2)1(x y = 02)2(=+'x y y习题7－1（B ）1．1)1()1(22=+'y y 02)2(=-'+''xy y y x 2．)()1(2为比例系数k TPk dT dP = )()2(21为比例系数k v k t k dtdvm-= 习题7－2（A ）1．xC e y =)1( C x x y ++=325121)2( )1(ln 1)3(x a a C y --+=C x y =+-1010)4( C x y +=a r c s i n a r c s in )5( C x y +--=2212)6( 34121)21()7(x y C -=-C y x =t a n t a n)8( 3)1(t a n )9(-=x e C y C e e y x =-+)1()1()10(2．)1(21)1(2+=xy e e 0c o s 2c o s )2(=-y x 2tan )3(x ey = )1(ln 21)1(ln 2)4(2e e y x +-++=6.3=xy231.4x y =习题7－2（B ）)(10,64.90305.0.123s h t 水流完所需时间约为+-=)/(3.26972500.2s cm v ≈=t e R R 000433.00.3-=t et v 52ln 6)(.4-=t k mt k me v e g kmv --+-=0)1(.51)1(.6--=m axb y31.7xe C y x-=习题7－3（A ）1．1)1(+=x C e x y 222)2(Cx x y y =-+)(ln )3(222Cx x y =2)ln()4(x C x y = )0()5(>=x e x y x C xy sh C x 32)6(= 2．x xyln sin)1(= 2)2(22=++y x y3． C xy =4．C y x y =++22习题7－3（B ）1．331)1(yCy x =- C ye x x y=+2)2( 223)3(x y y -= 1)4(22=++yx y x2*． Cy x y x C x y x y Cx yx y C x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)4()1()1()3(12arctan])1(4ln[)2()32()34()1(52222 习题7－4（A ）1．)()1(C x e y x +=- )()2(s i n C x e y x+=-)(1)3(2x x e Ce xy +=x x C y 2c o s 2c o s)4(-= 1sin )5(2-+=x Cx y )2()2()6(3-+-=x C x y 2．xxy cos 1)1(--=π xxy cos )2(=15sin )3(cos =+x e x y )4(32)4(3θρ--=e )1(2)5(1132--=xe x y3．)1(2--=x e y x 4．,)1()()2(,)()1(kt e a a t y a y k dtdy--+=--= 量的相对忘记速率。
第八章差分方程模型
第八章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
8.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。
1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表8.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。
其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。
表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。
表8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.2256.3906.5256.660表8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款（元） 到期一次还清 本息总和（元） 10612.00 444.36 10664.54305.99 11015.63237.26 11388.71196.41 11784.71一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为 6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。
然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。
由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，月还款m 元,则由A k 变化到A k +1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
11 第十一章 差分方程 习题详解
λ − 2 = 0，
特征根为 λ = 2 ．故所求通解为
2
y x = C 2 x ( C 为任意常数).
(2) 方程对应的齐次方程 y x +1 − y x = 0 的特征方程为
λ −1 = 0 ，
其特征根为 λ = 1 .所以齐次方程的通解为 Yx = C ( C 为任意常数). 由于 1 是特征方程的根，所以方程的特解具有形式 y x = bx ，代入方程，并比较两端同
=1
所以，函数 y t = C1 + C 2 2 − t 是差分方程的通解．
t
(2) 由初始条件 y0 = 0 ， y1 = 3 ，得
⎧C1 + C2 = 0 ， ⎨ ⎩C1 + 2C2 − 1 = 3
解之得， C1 = −4 ， C2 = 4 ．故所求特解为 y t = −4 + 2
t+2
−t ．
解
(1) 方程 Δy x − 3 y x = 0 改写为 y x +1 − 4 y x = 0 ，它的特征方程为
λ − 4 = 0，
特征根为 λ = 4 ．故所求通解为
yx = C 4 x ( C 为任意常数).
由 y 0 = 1 ，得 C = 1 ，故原方程满足初始条件的特解为
yx = 4 x .
x
4．已知 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，求 a ． 解 因为 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，所以 e
x x
x +1
+ ae x −1 = 2e x ，
即 e + a = 2e ，故 a = e( 2 − e) ．
差分方程练习题
1 5 (4) y t 1 y t . 2 2 7. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：
(1) yt +1- yt =10，且 y0 =3； (2) yt +1-2 yt =2t ，且 y0 =2. 8. 求下列二阶常系数线性齐次差分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
(3) yt ln(t 1) ln t ,
2 yt (yt ) ln(t 1) ln t ln(t 2) 2ln(t 1) ln t
(4) yt t 1 3t 1 t 2 3t 3t 2t 2 6t 3 ,
yt 3 1 0 t .
t
(2) 原 方 程 的 通 解 为 yt C 2t t 2t 1 又 有 初 始 条 件 y0 =2 ， 可 知 C 2 , 故 特 解 为
yt 2t 1 t 2t 1 .
8. （1） yt C1 3t C2 2 .
t
（1） yt 2 yt 1 6 yt 0 （2） yt 2 6 yt 1 9 yt 0 （3） yt 2 13 yt 1 12 yt 0 ； y0 1, y1 6 9. 求下列二阶常系数线性非齐次差分方程的通解： （1）yx +2 3yx +1 + 2yx = 2x （2） yt 2 yt 1 6 yt 6 （3） yt 2 6 yt 1 9 yt 8 答案 1. 解：(1) yt ［3 t 1 t 1 ］ 3t 2 t 3 3t 2 +3t 2 ,
yt 9 6t 3t 2 C 2t .
* *
3 5 ( )t ，解得 A . (4) 由 a 1 ，k 1，b 5 ，令原方程有一个特解为 y*t A· 5 2 2 2
差分方程例题
∑ (3) f3(k) ∗ f4 (k) = f3(i) f4 (k − i) i = −∞
k < 0 时： f (k) = 0 k = 1时： f (k) = −1 k = 2 时： f (k) = 2 k = 3 时： f (k) = −2 k = 4 时： f (k) = −1 k = 5 时： f (k) = −1 k > 5 时： f (k) = 0
f23(k) = {...0,3,5, 6, 6, 6,3,1, 0...}
f13(k) = {...0, 0,3,8,8, 4,1, 0, 0...} f (k) = {...0,3, 2, −2, −图所示系统，若激励 f (k) = (1)k ε (k) ，求系统的零状态响应。 2
k > 3 时： f (k) = 0
6
∞
∑ (2) f2 (k) ∗ f3(k) = f2 (i) f3(k − i) i = −∞
k = −3 时： f (k) = 0 k = −2 时： f (k) = 3 k = −1 时： f (k) = 5 k = 0 时： f (k) = 6 k = 1, 2 时： f (k) = 6 k = 3 时： f (k) = 3 k = 4 时： f (k) = 1 k > 4 时： f (k) = 0
y(k)
f(k) + ∑
D
D
+
3/4
1/8
解：系统的差分方程为：
y(k) = f (k) + 3 y(k −1) − 1 y(k − 2)
(4) h(k) + 4h(k − 2) = δ (k)
λ2
+
4
=
0
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解 ： 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 ， 且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代 入 初 值 条 件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx
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1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。
(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01k k k a A A a b r-=-若0n A =，01nn A ra b a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a =-利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。
2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。
建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。
则第k+1个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。
编写M 文件如下:function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB计算并作图:k=(1:140)';y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。
如果要10年即n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]用MA TLAB 计算如下：>> x0=100000;>> r=0.005;>> n=120;>> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]b= 1.1102e+003所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。
3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为2r ；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a 。
建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。
(1) 设12120.2,0.3,0.001,0.002,r r a a ====开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。
（2）1212,,,r r a a 同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。
（3）适当改变参数12,a a （初始值同上） （4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第k 代田鼠数量为k x ，第k 代猫头鹰数量为k y ，则可列出下列方程：111122()()k k k k k k k k x x r a y x y y r a x y ++=+-⎧⎨=+-+⎩运用matlab 计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2) x=x0;y=y0; for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k); endz=[x',y'];(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(3)当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：05101520253035404550可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。
(4) 令1kk x x x +==；1k k y y y +==解方程得到如下结果： x=150 y=200经matlab 验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡点为：x=150 y=2004. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。
草的生长遵从Logistic 规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。
若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。
作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。
（2）适当改变参数，观察变化趋势。
模型假设：1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律； 2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3．鹿无法独立生存。
没有草的情况下，鹿的年死亡率一定； 4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数； 5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。
记草的固有增长率为r ，草的最大密度为N ，鹿独立生存时的年死亡率为d ，草最茂盛时鹿的食草能力为a ，草对鹿的年补偿作用为b ；第k ＋1年草的密度为 1k x +，鹿的数量为1k y +，第k 年草的密度为k x ，鹿的数量为k y 。
草独立生存时，按照Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为1(1)kk k k x x x r x N+-=-，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程：1(1), (0,1,2,)k k kk k k x ax y x x r x k N N+-=--=L （1） 鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为1k k k y y dy +-=-，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：1(), (0,1,2,)kk k k bx y y d y k N+-=-+=L （2） 另外，记初始状态鹿的数量为0y ，草场密度初值为0x ，各个参数值为：，，，，利用MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti ，实现diwuti-Logistic 综合模型的计算，计算结果返回种群量 function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic 综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); endB = [x;y];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r') axis([0 50 0 3000]); xlabel('时间/年')ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头') title('图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线') gtext('x0=1000') gtext('x0=3000') gtext('草场密度') gtext('鹿群数量')比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。
观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。
使用MatLab 计算可以得到，当(,)(1800,600)k k k y y →∞=，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。
为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。
（2）改变鹿的数量初值由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。
但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。
当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。
同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。