双原子分子振动的量子力学处理
1mol双原子气体i值
1mol双原子气体i值双原子气体是由两个原子组成的分子，它的i值是指在1mol的双原子气体中，每个分子平均自由度的数量。
i值的计算可以通过经典理论或量子力学理论来进行。
在经典理论中，双原子气体的i值可以通过考虑双原子分子中的转动和振动来计算。
转动自由度的数量取决于分子的结构和对称性，而振动自由度的数量取决于分子中的化学键数目。
对于线性分子来说，转动自由度的数量为2，而振动自由度的数量为3n-5，其中n 是原子的数目。
对于非线性分子来说，转动自由度的数量为3，而振动自由度的数量为3n-6。
因此，对于双原子气体来说，i值的范围是2到6。
在量子力学理论中，双原子气体的i值可以通过考虑分子的能级结构来计算。
分子的能级结构取决于分子中的化学键和原子之间的相互作用。
通过求解分子的薛定谔方程，可以得到分子的能级和振动模式。
i值可以通过计算分子的激发态数目来确定，其中激发态是指比基态能量更高的能级。
对于双原子气体来说，i值的范围是2到∞，取决于分子的能级结构。
双原子气体的i值对于理解气体的热力学性质和动力学行为非常重要。
在热力学中，i值决定了气体的摩尔热容和摩尔熵。
摩尔热容是指在恒定体积下，单位摩尔气体的温度变化所吸收或释放的热量。
摩尔熵是指单位摩尔气体的熵变。
双原子气体的i值越大，其摩尔热容和摩尔熵越大，因为分子具有更多的自由度来吸收和释放能量。
在动力学中，i值决定了双原子气体的平均自由时间和平均碰撞频率。
平均自由时间是指分子在两次碰撞之间自由运动的时间。
平均碰撞频率是指单位时间内分子发生碰撞的次数。
双原子气体的i值越大，其平均自由时间越短，平均碰撞频率越高，因为分子具有更多的自由度来运动和碰撞。
双原子气体的i值是指在1mol的双原子气体中，每个分子平均自由度的数量。
i值的计算可以通过经典理论或量子力学理论来进行。
双原子气体的i值对于理解气体的热力学性质和动力学行为非常重要。
它决定了气体的摩尔热容、摩尔熵、平均自由时间和平均碰撞频率。
中国海洋大学光谱学课程大纲(理论课程)-中国海洋大学信息科学与工程
中国海洋大学光谱学课程大纲（理论课程）英文名称SPECTROSCOPY【开课单位】物理系【课程模块】专业知识【课程编号】【课程类别】选修【学时数】36 （理论28 实践8 ）【学分数】2备注：课程模块为公共基础、通识教育、学科基础、专业知识或工作技能；课程类别为必修或选修。
一、课程描述本课程大纲根据2011年本科人才培养方案进行修订或制定。
（一）教学对象物理学专业、光信息科学与技术专业等具有原子物理专业基础的高年级本科生（二）教学目标及修读要求1、教学目标通过本课程的学习，使学生了解光谱学的原理和特点，知识认识物质结构同光谱之间的联系，进一步了解光谱学在现代生活、科技等领域中的应用。
通过了解光谱理论与技术在实际中的应用以及同物理、化学、光学等学科之间的联系，培养学生的综合运用知识能力、独立思考能力、学习意识和创新意识。
2、修读要求光谱学是一门多学科交叉的课程，主要研究光与物质之间的相互作用现象及作用机理，并被广泛应用于物质结构研究和分析。
课程介绍光谱学的基本概念、原理、有关计算与应用，在内容上包括原子光谱、分子光谱，振动光谱、转动光谱、电子光谱和散射光谱等。
通过光谱学基础课程的学习，进一步理解物质的能级结构与光谱的关系，掌握光谱学的基本概念与原理，对激光及激光光谱技术有一定的了解，了解光谱技术在实际中的应用；能够与本专业知识相结合，了解本专业知识同光谱学知识之间的相互促进关系，从而培养学生的创新意识及独立思考能力。
（三）先修课程（参照2011版人才培养方案中的课程名称，课程名称要准确）量子物理二、教学内容本课程主要讲述原子光谱和双原子分子光谱，具体内容及要求如下：绪论了解光谱学的研究对象和发展过程，它在新科学上的应用范围和发展。
第一章光谱概述1. 主要内容: 光的基本性质和光和物质相互作用的经典规律；发光和光谱物理机理；吸收、发射和散射光谱等基本概念；光谱学的应用。
2. 教学要求：了解光的基本性质和光和物质相互作用的经典规律；掌握发光和光谱物理机理；熟悉吸收、发射和散射光谱等基本概念；了解光谱学的广泛应用。
量子力学 线性谐振子
６１§2.7线性谐振子(理想模型)重点：线性谐振子问题的本征解难点：结果讨论及其理解一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。
任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。
如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。
以双原子分子为例： 双原子分子中两原子间的势能U 是两原子间距离x 的函数，其形状如图所示。
在a x =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)x (U 可以展为)a x (−的幂级数，且注意到 0x Ua x =∂∂= 则：....)a x )(a (''U !21)a (U )x (U 2+−+= 若忽略高次项，且令)a (''U k =， 则有：2)a x (k 21)a (U )x (U −+= 再令0)a (U =；a x 'x −=，则有2'kx 21)'x (U =，可以写成： 2kx 21)x (U =(1) 其中2k μω=。
６２ 凡是在势能为2kx 21)x (U =的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。
二、线性谐振子的本征问题1.体系的哈密顿及本征方程 22222x 21dx d 2H ˆμω+μ−=h )x (E )x (]x 21dx d 2[22222ψ=ψμω+μ−h 2.本征方程的求解 方程两边同乘以ωh 2得： ψω=ψμω+ψμω−h h h E 2x dx d 222 令hμω=α；x α=ξ；ω=λh E 2 (2) 得到：0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ(3) 由于方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ不能直接求解，可先求±∞→ξ的渐进解，此时由于λ与2ξ相比可以忽略，则方程退化为： 0d d 222=ψξ−ψξ—渐近方程 (4) 其渐进解为：221e )(ξ±∝ξψ 由波函数的有限性(满足0)(⎯⎯→⎯ξψ∞→ξ)知，只能取2/2e )(ξ−∝ξψ６３ 的解，于是可以令方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ的一般解为： )(H e )(2/2ξ=ξψξ− (5) 其中待求函数)(H ξ应满足条件：a. 在ξ有限时)(H ξ应为有限；b. 当±∞→ξ时，)(H ξ也必须保证)(ξψ有限，即0)(→ξψ。
双原子分子振动的量子力学处理
两个能级的能量差。
例 2.2， 在 300K 时观察到 HCl 的振动吸收频率为 2886cm-1, 求 HCl 分子在第一激发态(n = 1) 和基态（n = 0）上的分布数量比 n1/n0。 解：已知 T = 300K， ~ ν = 2886cm-1, ∴~ ν hc/kT = 2886×6.624×10-27×3.00×1010/(1.380×10-16×300) = 13.85 从式（2.33）有 E1 – E0 = hν = h c~ ν ,
的波函数 不能满足有限值的要求，因此 U 不能为无穷级数。也就是说（2.23） 中分子必须在某个时刻开始，以后所有的系数全部为零而使得 U 成为多项式。 令 α 2n 1 （n = 正整数） β 从（2.23）就有 （2.26）
a n a n 0 2 4
这样幂级数 U 就成为多项式。
（2.22）
要使（2.22）恒成立，zk 的系数必须等于零，有
α a k 1)(k 2) ( 1 2k)a k 0 2 (k β
即
a k 2
α 2k 1 β ak (k 1)(k 2)
（ k = 0, 1, 2, …,∞）
（2.23）
如果（2.23）中的
α α 不是整数， （ 2k 1 ）就不可能等于零，这样 U 就成 β β
例 2.1，在式（2.23）中，令（1） a 0 1 ， a1 0,
α 1 (n=0) ; (2) a 0 0 , a 1 12 , β
7 (n = 3); 求幂函数 U 和波函数 。
解：(1) 因为 a 1 0 ，从（2.23）可得 a 1 a 3 0，
该级数的相邻系数比值为 k ( )! a k 1 2 2 2 k 2 k ak k ( )! 1 2 2 （k 2 ） (2.25)
双原子分子定态振动薛定谔方程
双原子分子定态振动薛定谔方程一个双原子分子是由两个原子核和它们之间的电子组成的。
当原子核和电子之间发生相对位移时，双原子分子会发生振动。
为了研究双原子分子的振动行为，可以运用薛定谔方程。
接下来，我们将详细介绍双原子分子的定态振动薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子力学体系中粒子的行为。
对于一个双原子分子，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是总能量。
为了简化问题，考虑了以下几个因素：1.电子和原子核之间的相互作用。
我们假设这是一个双原子分子的近似，即两个原子核之间的电子相对运动可以忽略。
2.在绝热近似下，我们可以将电子-核相互作用势能近似为原子核之间的势能。
即V = V(r)，其中r是原子核之间的距离。
根据绝热近似，波函数可以表示为Ψ(r) = ψ(r)χ(R)，其中r是电子的坐标，R是原子核的坐标。
ψ(r)表示电子的波函数，χ(R)表示原子核的波函数。
将波函数代入薛定谔方程，我们可以得到：(-ħ²/2m∇_r² + V(r))ψ(r) = E₁ψ(r)其中ħ是普朗克常数除以2π，m是电子的质量，∇是拉普拉斯算符。
这个方程描述了双原子分子电子的运动。
为了求解这个方程，我们可以使用一种常见的方法，称为变分法。
变分法基于变分原理，即通过找到合适的试函数来最小化函数的能量。
根据变分法，我们可以将电子波函数表示为一组基函数的线性组合：ψ(r) = Σcᵢϕᵢ(r)其中，cᵢ是待定的系数，ϕᵢ(r)是一组基函数。
我们可以将能量表示为这些系数的函数，并将其最小化，以求得能量的最小值。
通过对基函数的选择和适当的计算，我们可以求得双原子分子的定态振动的能量。
能量的最小值对应于分子的定态振动能量。
总结一下，双原子分子的定态振动薛定谔方程描述了分子电子在相对位移下的行为。
通过使用薛定谔方程和变分法，我们可以求得分子的能量，并研究分子的振动特性。
这些研究对理解分子的结构和化学性质具有重要意义。
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。
1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。
1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。
1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。
正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。
1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。
1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。
1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；(2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；(3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。
1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。
波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ211时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ，其简并度是_______________。
实验报告红外光谱实验
实验报告红外光谱实验实验报告：红外光谱实验一、实验目的本次红外光谱实验的主要目的是学习和掌握红外光谱的基本原理、仪器操作方法，以及通过对样品的红外光谱分析，确定样品的化学结构和官能团信息。
二、实验原理红外光谱是基于分子振动和转动能级跃迁产生的吸收光谱。
当红外光照射到分子时，分子中的化学键会吸收特定频率的红外光，从而引起分子振动和转动能级的跃迁。
不同的化学键具有不同的振动频率，因此通过测量样品对不同频率红外光的吸收情况，可以得到样品的红外光谱图。
根据量子力学理论，分子的振动可以近似地看作是简谐振动。
对于双原子分子，其振动频率可以用以下公式计算：＼＼nu ＝＼frac{1}｛2\pi}＼sqrt{＼frac{k}｛＼mu}｝＼其中，＼（＼nu\）为振动频率，＼（k\）为化学键的力常数，＼（＼mu\）为折合质量。
对于多原子分子，其振动形式更加复杂，但可以将其分解为不同的振动模式，如伸缩振动和弯曲振动等。
红外光谱图通常以波数（＼（cm^｛－1}＼））为横坐标，表示红外光的频率；以吸光度（或透光率）为纵坐标，表示样品对红外光的吸收程度。
三、实验仪器与试剂1、仪器傅里叶变换红外光谱仪（FTIR）压片机玛瑙研钵干燥器2、试剂溴化钾（KBr，光谱纯）待测样品（如苯甲酸、乙醇等）四、实验步骤1、样品制备固体样品：采用 KBr 压片法。
称取约 1-2mg 待测样品于玛瑙研钵中，加入约 100-200mg 干燥的 KBr 粉末，充分研磨混合均匀。
将混合好的粉末转移至压片机模具中，在一定压力下压制成透明的薄片，放入干燥器中备用。
液体样品：采用液膜法。
将待测液体滴在两氯化钠晶片之间，形成均匀的液膜。
2、仪器操作打开红外光谱仪和计算机，预热 30 分钟。
进入仪器操作软件，设置实验参数，如扫描范围、分辨率、扫描次数等。
将制备好的样品放入样品室，进行光谱扫描。
3、数据处理对扫描得到的原始光谱图进行基线校正、平滑处理等。
对处理后的光谱图进行峰位识别和归属，确定样品中的官能团。
双原子分子以平衡位置为能量零点,其振动零点能
双原子分子以平衡位置为能量零点，其振动零点能一、引言双原子分子是由两个原子组成的分子，它们以平衡位置为能量零点，其振动零点能是描述分子振动能量的重要概念。
在本文中，我们将深入探讨双原子分子的振动零点能，以及它对分子结构和性质的影响。
二、双原子分子的振动模式双原子分子的振动可以分为沿着分子轴向和垂直于分子轴向的振动模式。
沿着分子轴向的振动模式被称为拉伸振动，而垂直于分子轴向的振动模式被称为弯曲振动。
这些振动模式可以用谐振子模型来描述，其中振动的零点能对于分子的能量和稳定性起着重要作用。
三、振动零点能的物理意义振动零点能是指在分子位于其平衡位置时的最低可能能量。
它是由于量子力学效应导致的，即分子在经典力学描述下是静止的，但在量子力学描述下仍存在零点能。
振动零点能对于分子的热力学性质、光谱性质和化学反应有着重要的影响。
四、振动零点能的影响1. 对分子的能量和稳定性有重要作用振动零点能对于分子的能量和稳定性有着重要的影响。
它可以影响分子的平衡构型和振动频率，从而影响分子的能量和稳定性。
在化学反应中，振动零点能也会对反应的速率和方向产生重要影响。
2. 对分子的热力学性质有重要影响振动零点能对于分子的热容、热膨胀系数和熵有着重要的影响。
它可以影响分子的热力学性质，从而影响分子在不同温度和压力下的物理和化学性质。
3. 对分子的光谱性质有重要影响振动零点能也会对分子的光谱性质产生重要影响。
在红外光谱中，振动零点能可以影响分子的振动吸收峰位和强度，从而对于分子的结构和成键性质提供重要信息。
五、对双原子分子振动零点能的个人观点和理解在我看来，双原子分子的振动零点能是描述分子振动能量的重要概念，它对于分子的结构、物理性质和化学性质都有着重要的影响。
理解和研究双原子分子的振动零点能，可以帮助我们更深入地认识分子的内在特性，为分子设计和控制提供重要参考。
六、总结本文对双原子分子以平衡位置为能量零点，其振动零点能进行了深入探讨。
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（2.32）
代入（2-4-21）得
1 E (n )hν (n = 0, 1, 2, …) 2
(2.33)
从（2.33）中可以得出，双原子分子振动能级的能量是量子化的，是为了满足波 函数合格条件的必然结果。双原子分子振动在 n = 0 时能量最低，即在绝对零度
1 时，振动能量为 hν ，该能量也被称为零点能。零点能的存在表明即使在绝对零 2
d2U k 2 a k(k 1)z a k 2)(k 1)z k k 2 (k 2 dz k 0 k 0
（2.20）
（2.21）
将（2.19） ， （2.20）和（2.21）代入（2.18） ，得
[a
k 0 k 2
α (k 1)(k 2) ( 1 2k)a k ]z k 0 β
n i e Ei / kT (E E ) / kT e i j E j / kT nj e
1 2
（2.34）
式（2.34）中的 ni 和 nj 为在绝对温度 T 时分子在能级 i 和 j 上的数量，k 为
23 -1 16 Boltzmann 常数，等于 1.38054 10 J K 或者 1.38054 10 erg K -1 ，Ei –Ej 为
~hc / kT n1 ( E1 E 0 ) / kT 13.85 6 e e e 10 n0
从例 2.2 可知在常温下绝大部分的 HCl 分子都处在基态。 我们将从基态向第 一激发态跃迁而吸收或者发射的红外线称为“基频” 。而把从某个激发态到另外 的激发态所产生的吸收或者发射的红外线称为“热频” 。在谐振子模型中，基频 和热频的频率相等，在非谐振子模型中，二者并不相等。综合 2.3 中的叙述，可 以给出红外光谱吸收的第二选择定则； 只有使分子的偶极矩发生变化的基频才会 出现在吸收或者发射光谱中。 4、非谐振子模型 用谐振子模型对双原子分子的振动进行量子力学处理得到的结果， 比较好的 解释了实验中观察到的大部分事实。 如果对光谱进行仔细的观察，除了观察到基 频外，还可以观察到两倍、三倍或者更高倍的频率。尽管基频的强度比倍频的强 度要大得多，如果谐振子模型完全正确， 就应当没有倍频的出现。同时按照谐 振子模型得出的势能曲线，随着 x 的增加，体系的势能变得无穷大，需要极大的 能量才能克服势能使分子的振幅增加到使双原子分子离解到原子的程度。 而实际 上使分子离解并不需要极大的能量。 这些事实表明，双原子分子的振动不完全是 谐振子而具有某些非谐振子性。 与实际情况更加接近的双原子分子振动的势能，一般用 Morse 经验公式
该级数的相邻系数比值为 k ( )! a k 1 2 2 2 k 2 k ak k ( )! 1 2 2 （k 2 ） (2.25)
比较（2.24）与（2.25）可以发现，在 k 值很大时，幂级数 U 与 exp(z2)相似，
1 1 1 因此 Ψexp( z 2 )U 与 exp( z 2 ) 相似。当 z 时，exp( z 2 ) ，所以这样 2 2 2
2 0 1 1 a0 1， a 2 1 0 (0 1)(0 2)
因此 U = 1， exp(-
1 2 z ) 2
（ 2） a 0 0 ，从（2.23）可得 a 2 a4 0，
2 1 1 7 a 1 12 ， a 3 ( 12) 8 (1 1)(1 2) 2 3 1 7 a5 8 0 , 并且有 a 5 a7 0 (3 1)(3 2)
两个能级的能量差。
例 2.2， 在 300K 时观察到 HCl 的振动吸收频率为 2886cm-1, 求 HCl 分子在第一激发态(n = 1) 和基态（n = 0）上的分布数量比 n1/n0。 解：已知 T = 300K， ~ ν = 2886cm-1, ∴~ ν hc/kT = 2886×6.624×10-27×3.00×1010/(1.380×10-16×300) = 13.85 从式（2.33）有 E1 – E0 = hν = h c~ ν ,
2 E 上节讨论中提到， 为了得到合格的波函数， （2.26） 必须得到满足。 把 2 ， β μ k 代入（2.26） ，得
α 2 μ E 2n 1 β k 可改写为
k E (2n 1) 2 μ
(n = 0, 1, 2, …)
（2.31）
从（2.7）有
1 k ν 2π μ
的波函数 不能满足有限值的要求，因此 U 不能为无穷级数。也就是说（2.23） 中分子必须在某个时刻开始，以后所有的系数全部为零而使得 U 成为多项式。 令 α 2n 1 （n = 正整数） β 从（2.23）就有 （2.26）
a n a n 0 2 4
这样幂级数 U 就成为多项式。
（2.22）
要使（2.22）恒成立，zk 的系数必须等于零，有
α a k 1)(k 2) ( 1 2k) β ak (k 1)(k 2)
（ k = 0, 1, 2, …,∞）
（2.23）
如果（2.23）中的
α α 不是整数， （ 2k 1 ）就不可能等于零，这样 U 就成 β β
Ψn (x) [
β 1 2 1 2 ] exp( β x )H n ( β z) n π2 n! 2
1
（2.31）
下面给出头几个波函数 Ψn (x)
β 1 2 n = 0, Ψ0 (x) ( ) 4 exp( β x) π 2
3 1
n = 1, Ψ ( 1 (x)
4 2β
π
1
1 4
1 2 )xexp( β x) 2
1 Ψexp(- z 2 ) U(z) 2
（2.17）
将（2.17）代入（2.15） ，可得
d2U dU α 2z ( 1)U 0 2 dz β dz
求解方程（2.18） ，可得到双原子分子振动的波函数，令
U akzk
k 0
（2.18）
（2.19）
dU 1 a k kz k dz k 0
双原子分子振动的量子力学处理
1、 谐振子模型的双原子分子振动 Schrödinger 方程 双原子分子的振动是一种微观粒子的运动， 按照量子力学来的理论，这类运 动可用 Schrödinger 方程描述，从式（1.3）有
ˆ H Ψ EΨ
mm 采用谐振子模型， 即双原子分子可以看成质量为 μ 1 2 ，位于质心的质点， m1 m2
沿 x 轴作简谐振动。其运动规律服从 Hook 定律。从式（1.6）和（2.9）
2 2 2 2 2 2 2 x y z
（1.6）
1 V kx 2 2
（2.9）
有
2 d2 1 2 ˆ H kx 2μdx 2 2 2 d2 1 ( kx 2 )ΨEΨ 2 2μdx 2 2 d2 1 (E kx 2 )Ψ 0 2 2μdx 2
β ( x xe ) 2 V D e (1 e )
（2.35）
来表示。V 为双原子分子振动的势能，x 是两个原子之间的距离，xe 是平衡时两 个原子之间的距离， β 为常数，当 x-xe 趋于无穷大时，V 等于 De，因此 De 是分
子在离解为原子时的能量水平。势能图如图（2.4）所示。
因此: U 8z - 12z ， Ψ(8z 12z )exp( z )
3 3 2
1 2
将（2.26）代入（2.18）可得 d2U dU 2z 2nU 0 2 dz dz 这和 Hermite 微分方程 d2Hn dH n 2z 2nH n 0 2 dz dz 完全一样，所以有
β 1 1 2 n = 2, Ψ2 (x) ( )4 (2β x2 1)exp( β x) π 2 2 2 n = 3, β 1 1 2 2 3 2 Ψ3 (x) ( )4 (2β x - 3β x)exp( β x) π 3 2 2
1 3 1
3、双原子分子振动能量的量子化和分子在不同能级上的数量（Boltzmann）分 布
为无穷级数。现在分析 U 为无穷级数时能不能满足由式（2.17）组成的波函数 必须为有限值的要求。 当 k 足够大时，式（2.23）可写为
a k 2 2 ak k
而级数
1 1 k exp( z 2 ) z 2 m z m 0 m! k 偶数 k ( ) 2!
(2.24)
1 考虑解波函数 Ψexp( z 2 ) ， 当 z 时有 ， 而违反了波函数有限 2 1 性的条件，方程（2.16）有用的近似解为 Ψexp(- z 2 ) 。按照以上的推测，可 2
设想方程（2.15）的解为方程（2.16）的近似解与幂级数的乘积，然后代入方程 （2.15）求出有关的系数，可以得到波函数的具体表达式。 令
从图（2.4）中可以看出，在势能 V 最小即 x = xe 处，Morse 函数和谐振子的 势能函数十分相似。这一点也可以从数学上得到证明。当 x - xe 十分微小时，有
(2.12)
(2.13)
（2.14）
上式中的 μ 为双原子分子的折合质量，k 为力常数。 令 式（2-4-3）可简化为
2 E 2 ， β μ k ，z β x
d2 2 ( z )Ψ 0 dz 2
2、双原子分子振动波函数
（2.15）
方程（2.15）可用幂级数法求解，由于将简单的幂级数代入方程（2.15）不 能求得方程的有限解， 因此可以推测方程的解是幂级数和某种函数的乘积。考虑 α 方程在极端情况下的解，即当 z 时， z 2 ，方程（2.15）可简化为 β
度的条件下， 分子还是不断地进行振动。当入射红外线的能量与振动能级差相同 时， 分子吸收红外线跃迁到高能级。 以谐振子为基础的双原子分子的振动波函数、 密度函数、能级以及势能函数图见图 2.3。