解不可压缩流动N-S方程的隐式SMAC方法

91 9ΝJ
-
Μ99ΝJ1
9 h22 9ΝJ
∃J U 1= R 1,
(15a)
式 (10) 构成了求解预估速度的基本方程, 用时间推
进法求解的准确性及精度完全取决于它右边 R l 的
计算, 左边仅是修正量的大小, 为此对左边近似简化
处理, 首先对对流项线性化, 令
J
U
3 i
U
3 l
=
JU
niU
n l
+
U
n i
(∃J U
3 l
).
(11)
把上式代入式 (10) ,
并利用
9
(J
U
n i
)
9Νi= 0 的连续
性条件, 得到:
∃J
U
3 l
+
∃ tΗ
JU
n i
9 9Νi
∃J
U
3 l
J
+
1+
∃ tΗ J V
n
91 9ΓJ
-
Μ99ΓJ1
9 h 11 9Γ J
∃J U 3 = ∃J U 1.
( 15b ) 离散方程 (15) 是在如图 1 所示的M A C 交错网 格中进行。 对于左边, 为提高数值计算的稳定性, 对
U i 和 Z i 分别是逆变速度和逆变涡度, U i= ( Νi)·
u, Zi = ( Νi ) ·Φ, ( Φ= × u )。 i、 j、 k 符 合
equation s. T he con sistency of com pu tational resu lts relat ive to the classic experim en tal resu lts fo r the backw ard2facing step flow ind icates that the p resen t im p licit schem e w ith the p rop er boundary condition s is no t on ly stab le, bu t can also efficien tly supp ress sp u riou s erro rs even w hen the elem en ts are seriou sly skew ed.
Key words: incom p ressib le viscou s flow ; SM A C schem e; N 2S equat ion s; con travarian t velocities; SLO R m ethod; TVD schem e
收稿日期: 2003204214 基金项目: 国家自然科学基金重大研究计划资助项目 (90210011) ;
J
g
li
9p 9Νi
-
u
J
U
i
9 9Νi
Νl ,
(8)
∃JU
3 l
=
JU
3 l
-
JU nl.
(9)
把定义式 (8) 和 (9) 代入式 (7) 得到:
∃J
U
3 l
+
∃ tΗ
9 (J U iU l) 9Νi
+
ΜΕlij
9 (h jkZ k) 9Νi
3
-
∃ tΗ
9 (J U iU l) 9Νi
+
ΜΕlij
Im pl ic it SM AC schem e for the incom press ible Nav ier-Stokes equa tion s
ZHANG Yongxue 1, ZHAO Yue jun1, CAO S hulia ng1, W ANG G uoyu2
(1. D epartm en t of Therma l Eng ineer ing, Tsinghua Un iversity, Be ij ing 100084, Ch ina; 2. School of Veh icle and Tran sporta tion Eng ineer ing, Be ij ing In stitute of Technology, Be ij ing 100081, Ch ina)
(1. 清华大学 热能工程系, 北京 100084; 2. 北京理工大学 车辆与交通工程学院, 北京 100081)
34 38 2702273
摘 要: 该文基于 SM A C (Sim p lified M arker and Cell) 方法 推导出了的一种直接求解不可压缩 N 2S 方程的隐式数值方 法。求解的基本方程是任意曲线坐标系下以逆变速度为变量 的 N 2S 方程和椭圆型的压力 Po isson 方程。 压力 Po isson 方 程用 T schebyscheff SLO R 方法交替方向迭代求解。N 2S 方 程数值离散时对流项采用了 Chak ravaythy2O sher TVD 格 式。用该方法计算后台阶流场的结果与经典的实验结果相当 吻合, 表明该方法是可靠的, 在合适的边界条件下求解不但 是稳定的, 而且能有效抑制流网扭曲大的地方产生较大的非 物理振荡误差。
SM A C 方 法 迭 代 简 单, 但 数 值 稳 定 性 差, 为 满 足
CFL 数的要求, 时间微分步长要足够小, 否则很可
容易发散, 为此在计算速度预估值时, 构造下列隐式
格式:
J
U
3 l
=
JU
n l
-
∃t
J
g
li
9p 9Νi
-
u
J
U
i
9 9Νi
n
Νl -
∃t (1 -
Η)
99Νi (JU iU l) + ΜΕlij 99Νi (h jkZk)
n
-
1+
∃ tΗ
JV
n
9 9Γ
1 J
+
Μ99Γ
h 13 J
9 h13 9Γ J
-
h33 9 h11 J 9Γ J
1&91 9ΦJ
+
Μ99Ν
h 12 J
9 h12 9Φ J
-
h 22 9 h11 J 9Φ J
∃J
U
3 l
=
R l.
(13)
方程 (13) 就是最后得到的可直接求解修正量的隐式
272
清 华 大 学 学 报 (自 然 科 学 版)
1. 3 隐式 SM AC 方法求解定常流动的数值方法
根据方程 (13) 直接得到求解二维流动的数值 方程:
1+
∃ tΗ
JU
n
91 9Ν J
-
Μ99Ν
1 J
9 h 22 9Ν J
为方便起见, 首先定义下列参数:
Rl= -
∃t
9 (J U iU l) 9Νi
+
ΜΕlij
9 (h jkZ k) 9Νi
+
关键词: 粘性不可压缩流体; SM A C 方法; N 2S 方程; 逆变 速度; SLO R 方法; TVD 格式
中图分类号: O 357. 1 文章编号: 100020054 (2004) 0220270204
文献标识码: A
为更准确地模拟实际流场并进行精确数值计 算, 需做好两方面的工作。一方面是采用任意曲线坐 标系, 把复杂的几何空间流域转化成规则的计算域, 以便于对控制方程构造差分; 另一方面是对控制方 程构造高精度、高分辨率的差分格式。本文采用的基 于 SM A C 方法构造的隐式数值方法很好地完成了 这两方面的工作。
9
(h jkZk ) 9Νi
n
, (3)
JU
n+ l
1
=
JU
3 l
-
∃ tJ gli 99Ν<i,
(4)
ΜΕlij
99Νi h
jk
(Z
3 k
-
Z
n k
)
= R l.
(12)
其次, 对粘性项 Z k = (1 J ) Εkij 9 (h jmU m ) 9Νi, 忽略高
阶小量, 局部假设 h ij 和 J 为常数, 化简后再对结果
近似因子化处理, 最终得到
1+
∃ tΗ J U n
91 9Ν J
+
Μ99Ν
h 23 J
9 h23 9Ν J
-
h33 9 h22 J 9Ν J
+<=
1 ∃t
9
(JU
3 l
9Νl
)
,
(5)
p n+ 1 = p n + <.
(6)
其中: 带“3 ”的项为 n+ 1 时刻的预估值, < 为 n+ 1
时刻的速度值与其预估值差值的梯度函数。 显式
9 (h jkZ k) 9Νi
n
=
R l.
(10)
1+
∃ tΗ
JV
n
9 9Γ
1 J
-
Μ99Γ
1 J
9 h11 9Γ J
∃J
U
3 l
=
R l, (l =
1, 2).
(14) 求解方程 (14) 通常分两步进行, 下面仅以它第一个 分量方程为例进行说明, 第二个分量方程与之完全 类似。
1+
∃ tΗ
JU n
与M A C 方法[1 ] 相比, 传统的 SM A C 方法[2 ] 在 数值上更加稳定, 计算效率更高。 本文基于 SM A C 方法的隐式数值方法, 数值稳定性更好。用该方法对 一后台阶流动的流场进行了计算, 并将计算结果与 实验结果进行了比较, 结果表明两者取得了相当好 的一致。