初中一元二次方程课件ppt课件
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一元二次方程优秀公开课课件(比赛课)ppt
一元二次方程
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3）•都有等号，是方程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3）•都有等号，是方程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2x22x240
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
能用一个一般形式表示一元二次方程吗？
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bx的c形式0,我们把
ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
二次项系数
为什么要 限制a≠0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，b,c可 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
以为零吗 a x 2 叫
？
二次项
b x叫一次项
c叫常数项
即学即用
指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x2 2
x(192x)24
整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件.
(5 ).x 2 3 ( x 1 )( x 2 )
(6 ).ax 2 b x c 0
(7 ).m x 2 0 ( m 为 不 等 于 0 的 常 数 )
把情境中的四个一元二次方程化简为右 边为0的形式
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
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我们，还在路上……
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x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
能用一个一般形式表示一元二次方程吗？
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bx的c形式0,我们把
ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
二次项系数
为什么要 限制a≠0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，b,c可 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
以为零吗 a x 2 叫
？
二次项
b x叫一次项
c叫常数项
即学即用
指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x2 2
x(192x)24
整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件.
(5 ).x 2 3 ( x 1 )( x 2 )
(6 ).ax 2 b x c 0
(7 ).m x 2 0 ( m 为 不 等 于 0 的 常 数 )
把情境中的四个一元二次方程化简为右 边为0的形式
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
《一元二次方程》数学PPT课件(10篇)
4-7x2=0
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
初中数学《一元二次方程》教育教学课件
方程解法 之 基本方法 • 开平方法
【之一 开平方法】
（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二 次方程 。
（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=± p 。 （3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=± p ，进而得出方程的根。
（x-2)(x+2)=0
即 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2，x2= 2
方程解法 之 基本方法 • 因式分解法
十字相乘法
十字相乘法是因式分解法解 一元二次方程中一个重要的部分。 一元二次方程左边为二次三项式， 形如x²+(p+q)x+pq=0，可化为 (x+p)(x+q)=0，从而得出：
x1=-p;x2=-q。
方程解法 之 基本方法 • 配方法
配方法的口诀
二次系数化为一， 分开常数未知数； 一次系数一半方， 两边加上最相当。
【例题】
1、解方程 x²+2x－3=0 解：把常数项移项得：x²+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：
x²+2x+1=4 配方得：（x+1)²=4 ∴ x1=-3 , x2=1
根据题意，得 [100(1+x)-50](1+ x)=63. 整理，得 50x2+125x-13=0. 解得x1=0.1 ，x2=-2.6 . ∵x2=-2.6 不合题意， ∴x= 10%. 答:第一次存款时的年利率为10%。
解应用题 之 精选例题
概念解析 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
21.1 一元二次方程PPT课件
5．动脑思考，巩固训练
2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求 正方形的边长 x；
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
4．动脑思考，例题解析
例 将方程 3x（x - 1）= 5（x +2）化成一元二次方程 的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数 项．
5．动脑思考，巩固训练
1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）5x2 -1= 4x； （2）4x2 = 81； （3）4x（x + 2 ）=25； （4）（3x-2）（x+1）=8x -3．
x 2 + 2x - 4 = 0 x 2 - 75x + 350 = 0 x 2 - x - 56 = 0 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程．
3．细心观察，概念辨析
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
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❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的 最高次数∣m∣+1＝2，
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
24
4
即 (x 1 )2 49 4 16
开平方得： x 1 7
44
∴原方程的解为：x1 2 ,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
❖一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n
形（式5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这 个方程？
❖ 能把方程 x²+6x-16=0转化 成(mx+n)²=a 的形式吗？
x 2 6 x 16 0 移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
❖ 同学们认真观察下列方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
x（x-1）＝56 （2）
（1）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
左边写成完全平方形式 ( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x 2, x 8
1
2
❖ 把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
❖配方的 作用是？
降 次
SUCCESS
THANK YOU
2021/4/16
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________.
[答案] 2
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
程 x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0
吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么?
x x 即 5， 5
1
2
直接开平方法
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的 最高次数∣m∣+1＝2，
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
24
4
即 (x 1 )2 49 4 16
开平方得： x 1 7
44
∴原方程的解为：x1 2 ,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
❖一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n
形（式5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这 个方程？
❖ 能把方程 x²+6x-16=0转化 成(mx+n)²=a 的形式吗？
x 2 6 x 16 0 移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
❖ 同学们认真观察下列方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
x（x-1）＝56 （2）
（1）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
左边写成完全平方形式 ( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x 2, x 8
1
2
❖ 把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
❖配方的 作用是？
降 次
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2021/4/16
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________.
[答案] 2
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
程 x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0
吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么?
x x 即 5， 5
1
2
直接开平方法
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a