正态分布分析
6σ与正态分布的分析概述
6σ舆正态分布舆质量相关得数学统计知识主要包括三个方面，即正态分布、二项分布、和泊松分布。
二个分析即回归舆相关分析、方差分析和假设检验，这里只介绍正态分布。
正态分布 正态分布又称概率分布，产品的诸多质量指针(如尺寸、强度、硬度等)都是从于正态分布的。
如果影响某一变量的随机因素很多，而每一个都不起决定作用，且这些影响是可以迭加的，那么随机变量被认为是顺从正态分布的。
设随机变量的概率密度为：-∞<X<∞, -∞<u<∞,σ>0则称X 服从参数为(u ，σ*σ)的正态分布，记为X~N(u ，σ*σ)P(x)=1σ√2πe -(x-u)(x-u)/2σ*σ验证P(x)是一个密度函数当u=0，σ=1时，称x为标准正态分布，记为X~N(0，1) 其概率密度和分布函数分别用Y(x),φ(x)表示Y(x)=[1/√(2π)]*e-x*x/2φ(x)= [1/√(2π)]∫-∞x e-u*u/2du一般正态分布成标准正态分布：F(x)=P{X≦x}= [1/√(2π)]∫-∞x e-(x-u)*(x-u)/4σ*σdu= [1/√(2π)]∫-∞(x-u)/σe-Z*Z/2dz=φ[(x-u)/σ]由此可得，若X~N(u，σ*σ)，则有P{x1≦x≦x1}=φ[(x2-u)/σ]- φ[(x1-u)/σ]由正态分布得对称性，对Z~N(0，1),当Z<0将有φ(z)= ∫-∞zφ(u)duφ(z)= ∫z∞φ(u)du=1-φ(-z)例：设X~N(u，σ*σ)，求P{u-kσ<X<u+kσ} (k=1,2,3) P{u-s<X<u+s}=φ{(u+s-u)/s}-φ{(u-s-u)/s}=φ(1)- φ(-1)=2φ(-1)=0.6826类似可得P{ u-2s<X<u+2s}=φ{(u+2s-u)/s}-φ{(u-2s-u)/s}=2φ(2)- 1=0.9546P{ u-3s<X<u+3s}=φ{(u+3s-u)/s}-φ{(u-3s-u)/s}=2φ(3)-1=0.9974注;(1).0.6826，0.9546，0.9974为查正态分布表所得(2) s=σu决定图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度，当σ正态分布对质量控制的意义1.通过计算样本平均值X，对比标准分布中心值μ，发现整体数据的偏移程度，调整加工中心，提高工序能力。
正态分布学情分析
《正态分布》学情分析
一、认知结构：在前面的学习中，学生学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想. 同时也具备了较完善的分析问题解决问题的能力，大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.
二、年龄特征：由于本节知识和现实生活密切相关，学生在以往的经历与学习生活中对正态分布有所接触，但不知其理论，在教学中可引用学生较为熟悉的例子进行教学，可以帮助学生更进一步的理解正态分布。
但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战。
这节课教学目标明确，重点突出，教学过程注重了师生间的配合，课堂气氛活跃，教学效果好，特别是以下三点值得借鉴：
1.自制教具，通过自制教具的演示，激发学生的学习兴趣。
2.灵活地使用教材，通过对教材例题的变通，使学生对知识的理解与掌握更为轻松。
3.注重了知识的形成过程的教学，通过教具演示，分组讨论，合作探究等各种教学手段为学生更好的理解知识的形成过程创造了条件。
1.备课充分，教材钻研透彻，重点突出，难点突破，方法得当。
2.整节课布局合理，以学生为主体，以学生接受知识为主线，老师“导演”角色到位
3.本节课情境引入新颖，引人入胜，各环节详略得当，师生双边活动好，师生关系轻松融洽，使师生在轻松愉快的气氛中完成了本节课。
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析正态分布是概率统计学中最重要的分布之一，因其广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域，成为了统计学的基石之一。
本文将对正态分布及标准正态分布进行分析，并探讨其在概率统计中的重要性。
正态分布，又称高斯分布，是指在概率论和统计学中常见的一种连续概率分布。
它的特点是具有对称性，其概率密度曲线呈钟形，两侧的尾部渐进于x轴。
正态分布可以由两个参数来决定：均值μ和方差σ^2。
其中，均值决定了曲线的位置，方差决定了曲线的形状。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))正态分布在实际应用中非常广泛，尤其在大样本量下，许多变量都呈现出近似正态分布的特征。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论原始数据服从何种分布，其样本均值的分布都接近于正态分布。
这使得正态分布成为统计推断的基础。
例如，在假设检验中，我们常使用正态分布来计算拒绝域和P值。
此外，正态分布还常用于构建置信区间、回归分析和因子分析等统计方法中。
标准正态分布是正态分布的一种特殊形式，也被称为单位正态分布。
它具有均值μ=0和方差σ^2=1的特点，其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布的特殊性在于，其所有的分位数和累积概率都可以通过查表得到，这是因为标准正态分布的累积分布函数不依赖于具体的均值和方差。
相关的Z分数表可以用来计算标准正态分布中的分位数。
我们可以利用标准正态分布的特性，将其他服从正态分布的随机变量转换为标准正态分布，并通过查表计算分位数和计算概率。
标准正态分布在实际应用中也非常重要。
例如，在统计推断中，我们经常使用标准正态分布对样本均值和样本比例进行推断。
具体来说，我们根据样本均值与总体均值之间的差异，以及样本比例与总体比例之间的差异，来做出统计推断。
通常情况下，我们会将样本均值或样本比例标准化为Z分数，然后利用标准正态分布的性质进行概率计算或假设检验。
怎么看标准正态分布表
怎么看标准正态分布表标准正态分布表是统计学中常用的一种工具，它可以帮助我们计算标准正态分布的概率值。
在实际应用中，我们经常需要查阅标准正态分布表来进行统计分析，因此掌握如何看标准正态分布表是非常重要的。
首先，我们需要了解标准正态分布的概念。
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
在标准正态分布表中，横轴代表的是随机变量Z的取值，纵轴则代表了Z小于或等于某个值的概率。
通过查阅标准正态分布表，我们可以找到Z在某个取值范围内的概率值。
接下来，让我们来看一下标准正态分布表的结构。
标准正态分布表通常是一个双边表格，左边是Z的取值，上方是小数部分，中间则是对应的概率值。
在表格中，Z的取值通常是以0.01或0.02为间隔，而小数部分则是以0.00、0.01、0.02等为间隔。
通过交叉查找Z的取值和小数部分，我们可以找到对应的概率值。
当我们需要查阅标准正态分布表时，首先要确定Z的取值范围，然后找到对应的小数部分。
接着在标准正态分布表中找到对应的Z取值和小数部分的交叉位置，就可以得到相应的概率值了。
需要注意的是，有些标准正态分布表是双边表格，而有些是单边表格，因此在查阅时要注意区分。
在实际使用中，我们可能会遇到需要计算Z大于某个值的概率，或者Z在两个值之间的概率等情况。
针对这些情况，我们可以通过标准正态分布表中的对称性来简化计算。
例如，如果需要计算Z小于某个值的概率，我们可以通过对称性得到Z 大于该值的概率，然后再用1减去该概率即可得到Z小于该值的概率。
总的来说，标准正态分布表是统计学中非常重要的工具，它能够帮助我们进行概率计算和统计分析。
通过合理地利用标准正态分布表，我们可以更加方便地进行统计推断和决策分析。
因此，掌握如何看标准正态分布表是非常有必要的，希望本文能够对大家有所帮助。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布与标准正态分布
概率密度函数：描述正态分布 的概率密度函数图像
分布函数：描述正态布的分 布函数图像
图像特征
钟形曲线
均值为0，标准差 为1
概率密度函数关 于y轴对称
面积总和为1
03 标准正态分布的概念
定义与特性
定义：标准正态分布是 均值为0，标准差为1 的正态分布
特性：概率密度函数关 于y轴对称，呈钟形曲 线状，且在y轴两侧逐 渐趋于0
分布和规律。
参数估计与假设检验
参数估计：正态分布与标准正态分布是常用的概率分布，在参数估计中具有重 要的应用，如回归分析中的最小二乘法等。
假设检验：正态分布与标准正态分布也是假设检验中常用的概率分布，如t检 验、Z检验等。通过比较实际数据与理论分布的差异，可以检验假设是否成立。
统计决策：正态分布与标准正态分布在统计决策中也有广泛应用，如贝叶 斯决策、风险决策等。这些方法可以帮助我们做出更科学、更合理的决策。
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数据分析：正态分布与标准正态分布在数据分析中也有重要的应用，如主 成分分析、因子分析等。这些方法可以帮助我们更好地理解和分析数据。
方差分析中的应用
描述性统计：正态分 布和标准正态分布是 描述性统计中的重要 分布，用于描述数据 的分布情况。
参数估计：标准正态 分布可用于估计总体 参数，如总体均值和 总体比例。
应用场景：正态分 布在描述数据分布 时更为常见，而标 准正态分布则常用 于概率计算和统计 分析。
差异：标准正态分 布是正态分布在特 定条件下的简化形 式，两者在应用上 存在一定的差异。
05
正态分布与标准正态分 布在统计学中的重要性
中心极限定理
定义：在大量独 立随机变量的平 均数中，无论这 些随机变量是何 种类型，其分布 都趋近于正态分
正态分布的常用结论
正态分布的常用结论正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，它可以用来描述随机变量的分布情况。
它的形状类似于钟形，其中一个重要的特征是其密度函数的重中心。
正态分布是很多统计学家认可的分布，它拥有一些实用的结论，主要包括：一、正态分布的期望值、方差和标准偏差正态分布的期望值是指期望值的数学期望，它非常重要，因为它可以帮助我们评估随机变量的期望值。
正态分布的方差是指样本均值的变化程度，它也是重要的参数，因为它可以帮助我们评估随机变量的变化程度。
正态分布的标准偏差是指随机变量的标准差在期望值处的标准偏差，它能帮助我们更好地理解分布的形状。
二、正态分布的中心极限定理正态分布的中心极限定理是指，在一定条件下，当样本容量趋于无穷大时，该样本的分布向于正态分布。
它是一个重要的结论，它可以帮助我们更好地理解任何离散型随机变量的分布情况。
三、正态分布的独立性独立性是指，任意两个随机变量之间的相关性，这也是正态分布的重要结论。
在正态分布中，当两个随机变量的关联程度比较小时，它们之间的相关性很小，它们可以被认为是独立的。
四、正态分布的拉普拉斯方程拉普拉斯方程是指正态分布的密度函数，它可以帮助我们计算不同位置的概率密度。
它也是正态分布的重要结论，它用来解释正态分布的分布状况和极值点。
五、正态分布的完全精确性完全精确性是指给定的位置上，正态分布的概率密度是非常精确的。
这也是正态分布的另一个重要结论，它能帮助我们进行精细的概率推算。
正态分布的这些重要结论是统计学家认可的，它们为我们深入理解正态分布的性质提供了重要的参考。
它们的重要性可以不言而喻，因为它们能为我们在统计学和统计分析中提供重要的依据。
因此，在使用正态分布进行统计分析时，需要完全理解它们的重要性。
正态性分析的方法总结
四、直方图
直方图，是一种二维统计图表，它的两个坐标分别是统 计样本和该样本对应的某个属性的度量。当直方图为钟 型分布时，则可判断其正态。
五、箱线图
箱形图又称为盒须图、盒式图或箱线图，是一种用作显 示一组数据分散情况资料的统计图。因型状如箱子而得 名。在各种领域也经常被使用，常见于品质管理。在箱 线图中，观察矩形位置和中位数，若矩形位于中间位置， 且中位数位于矩形的中间位置，则分布为正态或近似正 态，对称的；g2>3是分布的峰度比正态分布 的峰度低阔；g2<3时，表面分布的峰度比正态分布的峰 度高狭。当N>1000时，g2值才比较可靠
假设检验方法
一、Kolmogorov-Smirno(KS)检验(基于经验分布函数(ECDF)的检验)
Kolmogorov-Smirnov检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布。比如检 验一组数据是否为正态分布。它的检验方法是以样本数Kolmogorov-Smirnov 检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布。比如检验一组数据是否为正 态分布。它的检验方法是以样本数。 即对于假设检验问题： H0：样本所来自的总体分布服从某特定分布； H1：样本所来自的总体分布不服从某特定分布。
三、Q-Q图
Q-Q图是一种散点图，对应于正态分布的Q-Q图，就是由 标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散 点图。要利用QQ图鉴别样本数据是否近似于正态分布， 只需看QQ图上的点是否近似地在一条直线附近，而且该 直线的斜率为标准差，截距为均值。 用QQ图还可获得样 本偏度和峰度的粗略信息。
五、Anderson-Darling检验
是一种最小距离估计方式，也是估计偏离正态性的最有 效的统计量之一，对于样本量小于等于25很有效，大样 本可能被拒绝正态性，样本量大于等于200一般都会通过 Anderson-Darling检验.该检验对与偏态的尾部分布较敏 感。
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正态分布以平均值为中心呈对称分布的钟形曲线。
正态分布是最常见的统计分布，因为许多物理、生物和社会方面的测量值都自然近似于正态。
许多统计分析均要求数据来自正态分布总体。
例如，居住在宾夕法尼亚州的所有成年男性的身高近似于正态分布。
因此，大多数男性的身高都将接近于 69 英寸的平均身高。
高于和矮于 69 英寸的男性的数量相近。
只有一小部分身材特别高或特别矮。
平均值 (μ) 和标准差 (σ) 是定义正态分布的两种参数。
平均值是钟形曲线的波峰或中心。
标准差决定数据的散布情况。
大约有 68% 的观测值与平均值相差不到 +/- 1 个标准差；95% 与平均值相差不到 +/- 2 个标准差；而 99% 的观测值与平均值相差不到 +/- 3 个标准差。
就宾夕法尼亚州男性的身高而言，平均身高为 69 英寸，标准差为 2.5 英寸。
大约68% 的宾夕法尼亚男性身高介于66.5(μ- 1σ) 和71.5 (μ+ 1σ) 英寸之间。
大约95% 的宾夕法尼亚男性身高介于64(μ- 2σ) 和74 (μ+ 2σ) 英寸之间。
大约99% 的宾夕法尼亚男性身高介于61.5(μ- 3σ) 和76.5 (μ+ 3σ) 英寸之间。
过程能力生产或提供满足根据客户需要定义的规格的产品或服务的能力。
例如，影印机制造商要求橡胶辊筒的宽度必须介于 32.523 cm 与 32.527 cm 之间，才能避免卡纸。
能力分析揭示了制造过程满足这些规格的程度，并提供有关如何改进该过程和维持改进的见解。
在评估过程能力之前，必须确保过程是稳定的。
不稳定的过程是无法预测的。
如果过程稳定，则可以预测将来的性能并改进其能力。
应定期测量并分析过程的能力。
能力分析有助于回答以下问题：∙过程是否满足客户规格？∙过程将来的性能如何？∙过程是否需要改进？∙过程是保持了这些改进还是回复到了原来的未改进状态？可使用过程指标（如 Cp、Pp、Cpk 和 Ppk）来分析过程能力。
潜在（组内）能力和整体能力大多数能力评估都可以分组为两种类别中的一种：潜在（组内）能力和整体能力。
每种能力都表示对过程能力的唯一度量。
潜在能力通常称为过程的“权利”：它忽略子组之间的差异并表示当消除了子组之间的偏移和漂移时执行过程的方法。
另一方面，整体能力是客户所体验到的；它考虑了子组之间的差异。
评估潜在能力的能力指标包括 Cp、CPU、CPL 和 Cpk。
评估整体能力的能力指标包括 Pp、PPU、PPL、Ppk 和 Cpm。
例如，您检查某一糖果厂的设备，其中包括将特定重量的糖果装入容器的机器。
糖果每周从工厂出货一次。
为评估此过程的能力，在一周内的每天，对袋子样本进行称重；每个样本在分析中表示一个子组。
观察发现，每个子组内的变异性很小，但由于子组平均值每天都有偏移，因此袋子重量的总体变异性很大。
因此，整个一周的出货在袋子重量上与给定日期内生产的袋子重量之间存在较大的变异性。
在下图中，较小的分布表示连续七天内每天的袋子重量的分布。
最上面的分布表示整周的出货，它是子组的合计。
整体能力考虑最上面的曲线：客户的感受。
也称为实际能力或长期能力。
潜在能力考虑子组内变异：如果排除子组间变异，过程的执行情况如何。
也称为短期能力。
只针对正态数据计算潜在能力。
实测性能过程输出中超出规格限的单元数。
该统计量基于所有子组的组合数据，因此它代表着客户的体验。
实测性能可以使用每百万中的不符合数 (PPM) 或每百个中的不符合数（百分数）来表示。
例如，一家奶牛场灌装 1 加仑的盒装牛奶，您要分析灌装机的灌装能力。
管理者要求 PPM 不合格数最多为 1900。
您生成了以下实测性能表：实测性能PPM < LSL 10000PPM > USL 10000PPM 合计20000此过程超出规格上限和下限的输出数量相同，且每百万中不符合要求的盒装牛奶数量高于目标值 10 倍。
该过程需要进行重大改进。
注 Minitab 完全相同地为正态能力分析、组间/组内能力分析以及非正态能力分析计算实测性能。
∙如果您没有指定规格限，Minitab 将为超出规格限的 PPM 报告一个缺失值 (*)。
预期性能过程输出中预期会违反规格限制的单位数。
此预期基于为执行数据建模所选分布的累积分布函数 (CDF)。
预期性能可以用每百万 (PPM) 或每一百（百分比）个部件中的不一致部件来表示。
例如，您公司制造的钻头长度为 50mm。
客户要求预期性能为 2000 PPM 缺陷（最大值）。
您使用正态能力分析分析了此过程的能力，计算出以下预期性能统计量：预期的组内性能预期的整体性能PPM < LSL 1167.13 PPM <LSL1755.06PPM > USL 306.55 PPM >USL509.58合计PPM 1473.68 合计PPM2264.64预期的整体性能是客户将体验到的特征，因为这导致了整个过程输出的变异。
其合计 PPM 超出了客户规格 2000 PPM，因此过程不合格。
但是，预期组内性能（基于子组内标准差）不违反客户的规格。
您决定采取措施降低子组之间的变异，从而使不可接受的整体性能更接近于可接受的子组内性能，也称为权利。
注∙对于正态能力分析，Minitab 将使用过程的整体标准差来计算预期整体性能，并使用潜在（组内）标准差来计算预期子组内性能。
∙对于组间/组内能力分析，Minitab 将使用过程的整体标准差来计算预期整体性能，并使用组间/组内标准差来计算预期组间/组内性能。
∙对于非正态能力分析，Minitab 仅使用指定分布的估计参数或历史参数来计算预期整体性能。
∙如果未指定规格限制，Minitab 将报告超过规格限制的 PPM 的缺失值(*)。
Ppk、PPU 与 PPL整体过程能力的度量，用整体过程标准差计算。
它们度量的是过程平均值与规格限之间的距离，与过程展开相比较：∙PPL 衡量过程平均值接近规格下限的程度∙PPU 衡量过程平均值接近规格上限的程度∙Ppk 等于 PPU 和 PPL 中的较小者。
如果 Ppk、PPU 和 PPL 相等，则该过程刚好集中在规格限的中点。
将值与基准进行比较，以确定是否改进过程；许多行业都使用 1.33 的基准值。
以下图形说明了各种各样的情况：Ppk = PPL = PPU = 2.65此图显示了一种理想情况。
所有三个指标的值均为2.65，这表示过程平均值与两个规格限制之间的距离都是 2.65 乘以单侧过程展开。
Ppk = min {PPL = 0.92, PPU= 4.37} = 0.92当 PPL < PPU 时，过程不居中。
更可能产生违反规格下限的缺陷单元。
Ppk = min {PPL=4.37, PPU =0.92} = 0.92当 PPL > PPU 时，过程不居中。
更可能产生违反规格上限的缺陷单元。
Ppk 指标的一个缺点在于它只表示过程曲线的一侧，而无法提供有关另一个极值的任何信息。
例如，下面的两个图形显示了 Ppk 值相同的过程。
但是，一个图形同时违反了两个规格限，另一个图形只违反了规格下限。
为避免错误，请将所有指标与图形化汇总结合起来考虑，以得出有意义的结论。
Ppk = PPL = PPU = 0.92Ppk = min {PPL = 0.92, PPU = 4.37} = 0.92注：这些能力指标与 Cpk、CPL 和 CPU 类似，它们都使用来自子组的信息评估相同的属性。
Cp 和 Pp能力指数，通过计算规格展开和过程展开之间的比率来度量过程是否能够满足规格要求。
总体上讲，Cp 和 Pp 值越高，过程的能力越大。
要计算 Cp 和 Pp，必须知道规格上限和下限。
Cp 指数认可这样的事实，即您的样本代表的是合理的子组，它表明如果能够消除子组间的偏移和漂移，过程的执行效果会如何。
因此，它使用子组内变异来计算过程展开。
另一方面，Pp 会忽略子组并考虑整个过程的整体变异。
此整体变异囊括了子组间可能发生的偏移和漂移；因此，可用于度量能力随时间的变化。
如果 Pp 值与 Cp 值相差很大，则可以得出结论：子组间存在显著变异。
将 Cp 和 Pp 值与基准值相比较以确定是否要改进过程；许多行业都使用基准值 1.33。
如果您的指数值小于基准值，则必须采取措施改进过程。
例如，一家黄油制造商使用一台自动填充机来生产 500 克装的黄油。
经理想要确保填充过程符合规格，即每罐中装入 498 克至 502 克的黄油。
为评估此过程的能力，经理在 20 天内每天随机收集并称重 5 罐黄油：每天的收集是此分析的一个子组。
进一步的检查发现机器中存在泄漏，因此经理修复了此问题，并在这一改进生效后又收集了另外 20 个子组（每组 5 罐）。
下面的图形揭示了此填充过程改进前和改进后的 Cp 和 Pp 值。
Cp = 0.70，Pp = 0.48在过程改进之前，过程展开大于规格展开。
也就是说，有过多罐装的重量大于 502 克或小于 498 克。
此过程的 Cp 和Pp 值较低，需要改进。
Cp = 3.14，Pp = 2.18过程改进之后，经理收集了新数据并观测到规格展开大于过程展开。
较高的 Cp 和 Pp 值表明过程现在已满足规格要求。
Cp 和 Pp 指数的缺点是它们只能比较过程展开与规格展开，而不能比较它们的位置。
也就是说，它们不能描述过程距目标区域有多远。
例如，下面两个过程具有相同的 Cp 和 Pp 值，但显然其中一个过程能力不足。
为避免错误，请结合其他能力指数（如 Cpk、Ppk 等）使用这些图形，以便根据数据得出有意义的结论。
Cp = 3.14，Pp = 2.18 Cp = 3.14，Pp = 2.18百万分数 (PPM)每百万个部件中的不合格部件数。
例如，快餐店经理注意到，每 1000 位顾客中有 20 位顾客等待服务的时间超过 3 分钟。
PPM = 20 * 1000000 = 200001000这意味着，每百万顾客中有 20,000 位顾客等待服务的时间超过 3 分钟。
用 PPM 而非能力指数来表示时，更容易理解能力的改进量。
设一个过程得到了改进，它的 Cpk 从 1 增加到 1.33。
此变化可能并不能清楚表示改进程度。
但是，也可以将此改进表示为 PPM 的显著减少，从 66807 PPM 下降到 6210 PPM。
百分比合格部件PPM Cpk93 66807 1.0099 6210 1.3399.977 233 1.6799.9997 3.4 2.00Minitab 以 PPM 形式表示过程的预期和实测性能。
预期性能是指一百万个部件中不符合规格上限、规格下限以及同时不符合两个规格限的预期部件数。
实测性能是指该过程的一百万个部件中不符合规格上限、规格下限以及同时不符合两个规格限的实际部件数。