实验二___线性规划灵敏度分析
线性规划问题及灵敏度分析
实验一 线性规划问题及灵敏度分析实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。
用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。
实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容：一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法：操作步骤：1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。
2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。
3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。
4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。
5．求解线性规划。
启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。
6．学习例题 点击File→Load Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。
用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。
下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。
用WinQSB 软件求解下列线性规划问题：1234max 657Z x x x x =+++s.t. 12341234123123431234269260852150730001020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪-+-≥⎪⎪++=⎪-≥⎨⎪-≥⎪≤≤⎪⎪≥⎩无约束解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号***********指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resourcescondition ，cost coefficient目录引言 (1)一、价值系数的变化分析 (2)二、技术系数的变化分析 (5)三、右端常数的变化分析 (6)四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：（LP ）max ..0Z CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩ (1.1)(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,Tn X x x x =，()12,,,Tm b b b b =均为列向量，()ij m nA a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的列向量组成的，不失一般性，可假设()111121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称()1,2,i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,i X i m =称为基变量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，与非基变量相对应的变量()1,2j X j m m n =++称为非基变量，并记()1,11,12,1,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭，则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,,TB m X x x x =，()12,,,TN m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1.5）再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的乘法可得B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得11B N X B b B NX --=-现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭便是约束方程组（1.2）的一个解.特别令0N X =时，则1N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -⎛⎫= ⎪⎝⎭，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（LP ）max ..0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.下面就各个参数改变后的情况进行讨论：一、 价值系数j c 的变化分析（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+∆，则变化后的检验数为1j j j B j c c C B p σ-'=+∆-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ∆后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+∆-≤，因此j j c σ∆≤-∆，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1 已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++()12341234123423280054341200..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围 （Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.解 （i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ∆≤-∆知，保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ∆≤∆≤，当111113/417/4c c c '=+∆≤+=，333311/423/4c c c '=+∆≤+=时，原最优解不变.（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-⎛⎫⎪''=-=-=> ⎪ ⎪-⎝⎭故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：表（1.2） 由表中可看出已得到新的最优解()*100,175,0,0,75Tx =及新的目标函数最优值 *1375Z =.（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +∆时，就引起BC 的变化，则()()()1111120,,,0,,,B B B rB r r r rnC C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+∆=+∆=+∆其中 ()12,,,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--∆=-∆ （j = 1，2，，n ）若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-∆≤ （j = 1，2，，n ）由此可以导出当0rj a <时，有/r j rj c a σ'∆≤ ； 当0rj a >时，有/r j rj c a σ'∆≥. 因此，r c ∆的允许范围是{}{}max /|0min /|0j rj rj r j rj rj jja a c a a σσ''''>≤∆≤<使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素()1,2,,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ∆的上下界.例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？解 根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ∆的变化范围是413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭即4114c -≤∆≤ 故当41554c ≤≤时，原最优解不变， 现在4c 变为6，已超出了4c ∆的允许变化范围.同样的，2c ∆的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，即2113c -≤∆≤故当21643c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ∆的允许变化范围内，当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解()*0,0,0,300,200,0,100Tx =及目标函数最优值*1800Z =.j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.二、 技术系数ij a 的变化分析由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列j P 改变为j P '这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、 右端常数i b 的变化分析右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+∆，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量12000r r m b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中1200,0r r n b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设原最优解为121m B B B B x x X B b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则新的最优解为1111100B r X B b B b B b B b B b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥''⎢⎥==+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=+∆=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦其中r D 是1B -的第r 列，即12r r r mr d d D d ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦故()01,2,,i B r ir x b d i m '+∆≥=因此，r b 的允许变化范围是：max |0min |0i iB B ir r ir i iir ir x x d b d d d ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪''->≤∆≤-<⎨⎬⎨⎬''⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果r b ∆超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端列改为11B B b C B b --'⎡⎤⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题12121122312max 232212416..515,0Z x x x x b x b s t x b x x =++≤+∆⎧⎪≤+∆⎪⎨≤+∆⎪⎪≥⎩分别分析123,,b b b ∆∆∆在什么范围内变化，问题的最优基不变.解 先分析1b ∆的变化，由公式10B B X X B b -'=+∆≥知，使问题最优基不变的条件是1111101325324421042053031005b λλ⎛⎫-⎡⎤ ⎪+⎢⎥∆⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+-=-≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭由此推得162λ-≤≤同理由23403λ⎡⎤⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得， 24λ-≤≤∞，3331354405135λλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦从而3515λ-≤≤.四、 增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即 有1,11nm jj m j ax b ++=≤∑，即11m m A X b ++≤ （4.1） 其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,,Tn X x x x =，由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m BNA A A +++=，则（4.1）式变成()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1B -'及右端向量b '如下：()101m B B B A +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，()()111101m B B B A B ---+⎡⎤'=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1m b b b +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦， 对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：()()()111111,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++⎡⎤⎡⎤'''''=-=-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是对偶可行的，现行基本解是：()()()1111111111101B n m m n m m B B B b X bb B B b b A B X b A B b -----++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、 增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数1111n n B n C C B P σ-+++=-若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义 设线性规划对偶问题1max nj j j Z c x CX ===∑ min W Yb =（P ）()()11,2,,..01,2,,nij j i j ja x AXb b i m s t x j n =⎧=≤==⎪⎨⎪≥=⎩∑ （D ） ..0YA Cs t Y ≥⎧⎨≥⎩右端常数()1,2,,i b i m =表示第i 种资源的现有量下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则*1****1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）目标函数最优值变为*****1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，于是目标函数最优值的改变量为****i Z Z Z y '∆=-=，由上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成**i iZ y b ∂=∂()1,2,,i m =，即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：()()11max 1,2,,..01,2,,nj jj nij ji j iZ c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：min ..0Z C X AX b s t X ''='=⎧⎨'≥⎩ 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最优解为： ***11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()1****,,0B B N N x B b x c c c x -⎡⎤⎡⎤'''⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===⎡⎤⎡⎤'''''⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 所以可令**ii Z y b∂=∂，即()()1**,1,2,,iB i y c B i m -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦因此，有***11nmj ji i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）再令()()1*****12,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：()1**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2） 即()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-因此，有*0y ≥ （6.3） 而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格 设线性规划模型（LP ）Max∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 有最优解*x ，最优解为**j j z c x =∑则可令iib z ∂∂=**ϖ 则必有∑∑--==mi i i nj j j b x c z 1*1**ϖ和0*≥i ϖMax∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得min x c ''..t s 0Ax b x '=⎧⎨'≥⎩其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：∑∑--'==nj nj j j jj x c xc z 11***并可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N B x x b B x **1**0)(，),(N B c c c ''=' i m i i B B nj N B jj n j j j b B c b B c b B c c xc x c z ∑∑∑------'='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='==11*1*11**1**])([)(0)(),( 所以可令iib z ∂∂=**ϖ，即[]i B i B c 1**)(-=ϖ，),,2,1(m i = 因此有∑∑--==n j mi i i j j b x c z 11***ϖ （6.4）再令1***2*1*)(),,(-'==B c Bm ϖϖϖϖ 由单纯形法最优准则可知0)(1**≤'-''='-'-c A B c c A B ϖ （6.5） 即)0,()0,(),(*c c I A -=-≤ϖ因此有0*≥ϖ (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*ϖ是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*ϖ是对偶规划的最优解.）称*ϖ为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*ϖ表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以0**=∂∂=iib z ϖ 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。
Excel灵敏度分析实验
图4
添加约束
图5
规划求解参数的设置
（5）在图 4“规划求解参数”对话框中单击“选项” ，弹出“规划求解选项”对话框，在该对 话框中勾选“采用线性模型”和“假定非负”选项，然后点击“确定” ，如图 6 所示。
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图6
规划求解选项的设置
（6）设置完成后，单击“规划求解参数”对话框中的“求解”进行求解，弹出“线性求解结果” 对话框，如图 7 所示；单击“线性求解结果”对话框中的“确定” ，得到该线性规划模型的结果，如 图 8 所示。
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3
图2
调用 SUMPRODUCT（）函数的结果
（3）单击“工具”中的“加载宏” ，弹出的“加载宏”对话框，在对话框中选择“规划求解” 选项，最后单击“确定” ，如图 3 所示。
图3
加载宏选择规划求解
4
（4）在工具菜单中选择“规划求解”命令，弹出“规划求解参数”窗口，在该对话框中目标单 元格选择“D2” ，问题类型选择“最大值” ，在“可变单元格”中选择“$B$8:$C$8” 。点击“添加” 按钮，弹出“添加约束”对话框，在该对话框中添加本模型所给出的约束条件，如图 4 所示。然后 单击“确定” ，得到规划求解参数的设置，如图 5 所示。
图 1 两种产品问题的电子表格模型 （ 2 ）将目标方程和约束条件的对应公式输入到 D2 ， D4 ， D5 ， D6 各单元格中，格式为 SUMPRODUCT(D2:C2,B8:C8) ， SUMPRODUCT(D4:C4,B8:C8) ， SUMPRODUCT(D5:C5,B8:C8) ， SUMPRODUCT(D6:C6,B8:C8)，回车后以下单元格均显示数字“0” ，如图 2 所示。
运筹与优化实验报告
姓 名 罗景福 学 号 1205025114 系 别 数学系 班级 B12 数信班 主讲教 实验日 2015 年 4 余吉东 指导教师 余吉东 专业 信息与计算科学专业 师 期 月 29 日 课程名 运筹与优化 同组实验者 无 称 一、实验名称： 实验二、利用 Excel 求解线性规划问题的灵敏度分析 二、实验目的： 1．掌握如何建立线性规划模型； 2．掌握用 Excel 求解线性规划模型的方法； 3．掌握如何借助 Excel 对线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能的变化对最优方案产 生的影响。 三、实验内容及要求： 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备 A，B 的台时、调试 工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表所示。问该公司应制造 两种家电各多少件，使获取的利润为最大？ 项目 设备 A（h） 设备 B（h） 测试工序（h） 利润（元） 三、实验步骤（或记录） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
3.6 线性规划灵敏度分析(二)
解 把改进工艺结构的产品Ⅰ看作产品Ⅰ′， x1′为其产量。于是在原计
算的最终表中以x1′代替x1，计算对应x1′的列向量。
B −1P1'
=
0 −2
0.25 0.5
0 2 1.25 1 5 = 0.5
0.5
− 0.125
0
2
0.375
同时计算出x1′的检验数为
c1′-CBB-1P1′=4-(1.5,0.125,0)(2,5,2)T=0.375
7
例 分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。仍以第1章例1为例 若原计划生产产品Ⅰ的工艺结构有了改进，这时有关它的技术系数 向量变为P1′=(2,5,2)T，每件利润为4元，试分析对原最优计划有什 么影响?
解 把改进工艺结构的产品Ⅰ看作产品Ⅰ′， x1′为其产量。于是在原计
算的最终表中以x1′代替x1，计算对应x1′的列向量。
(P '1 P2
Pm )x 'B + NxN + xs = b
B−1(P '1 P2
Pm )x 'B + B−1NxN + B−1xs = B−1b
6
例 分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。仍以第1章例1为例 若原计划生产产品Ⅰ的工艺结构有了改进，这时有关它的技术系数 向量变为P1′=(2,5,2)T，每件利润为4元，试分析对原最优计划有什 么影响?
解 以x1′代替x1，并计算列向量
0
B −1P1'
=
−
2
0.5
0.25 0.5 − 0.125
0 4 1.25
1 5 = − 3.5
0
2
1.375
x1′的检验数为c1′-CBB-1P1′=4-(1.5,0.125,0)(4,5,2)T = -2.625。
线性规划-灵敏度分析
若进一步问： 1）当原材料涨价或产品价格发生变化时，原最优生产计划变否？ 2）若在生产中采用了新的工艺，产品对原材料的消耗发生了变化，原最优生产 计划变否？ 3）为适应市场需要，管理者可能会生产新的产品或停止生 产某种产品，原最优 生产计划变否？
二、灵敏度分析的定义 研究数学模型某些系数的变化对最优解的影响及其影响程度的分析称为灵 敏度分析（Sensitivity Analysis）或优化后分析。
1 1
B 1b 故：原最优基不变，但最优解变为： X 5 1 0 0 0 T 0 1 b 2） 设： b b 1 3 3
要使原最优基不变，就要有： B-1b≥ 0 ，
4 1 b1 B b 1 1 3 0
5）是否有更好的增加资源的方案，实际上是问：①应增加哪种资源？②花多大代价增 加这种资源? ③最佳增量是多少？ ① 资源甲的影子价格 y1 = 5 > 1 ＝ y2 资源乙的影子价格，故应首先考虑增加资源甲。 ② 单位资源增量所支付的费用应< 资源的影子价格，即：单位费用< 5 才合算。 ③ 最佳增量应满足：
三、灵敏度分析的内容
1 当线性规划模型系数中的一个或几个发生变化时，已经求得的最优解是否会 发生变化？ 2 线性规划模型的系数在什么范围内变动时，原来的最优解不变？
3 当线性规划模型系数的变化时，已经引起原最优解的变化时，如何才能尽快
求出新的最优解？
四、灵敏度分析的理论依据及方法
记最优基矩阵为B，最优解： 最优值： X = B－1b z = CB B－1b 与b无关 与b、C无关 与C无关
4 1 1 / 3 1 0 即： N ' 1 0 0 c 1 ' 3 1 1 7 / 3 0 1 0时，原最优解不变 N ' c1 '5 4c1 '3 c1 '3 0
第二章线性规划的灵敏度分析精品PPT课件
0
2
0
14
0 1 0
4
由最优单纯形表可知： B1
2
1 2
1
则
1 1
2
8
0
X' B1b' B1 b Δb B1b B1 Δb X B1 Δb
0 1 0
4 4 2
2 1
2
4 1
2 1
8
01
4 0 0
4 4 2
0 -8 2
40 4-8 22
x1 2x2 8
s.t
4x1 16 4x2 12
x1,x2 0
求c2在什么范围
内变动时，原最 优解保持不变。
下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化
Ci
2
CB
XB
x1
2
x1
1
0
x5
0
3
x2
0
σj
0
3
0
0
x2
x3
x4
0
0
1/4
0
-2
1/2
1
1/2
-1/8
0
-3/2
-1/8
0
B-1b
4 -4 4
将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。
Ci
2
3
0
0
0
B-1b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
1
0
0
1/4
0
4
0
x5
0
0
-2
1/2
1
-4
3
x2
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料线性规划是一种数学优化方法，它提供了一种有效的方法来解决最优化问题。
灵敏度分析是线性规划中的一个非常重要的概念，它是用来研究一些关键参数的变化对于最优解的影响。
在Excel中进行线性规划和灵敏度分析非常方便，本文将介绍如何在Excel中进行线性规划的灵敏度分析。
首先，我们需要先了解Excel中进行线性规划的基本步骤。
以最简单的线性规划模型为例，我们可以用以下模型来说明：目标函数：Maximize f(x,y)=4x+3y约束条件：2x+y <= 8x,y >= 0要在Excel中求解这个问题，我们需要遵循以下步骤：1. 打开Excel，输入目标函数和约束条件。
公式应放在单元格中，约束条件应按行排列，用每行的最后一个单元格来设置限制。
还应设置变量的初始值，并将目标单元格格式设置为“最大值”或“最小值”。
2. 选择“数据”选项卡，在“分析”组内选择“规划问题”选项。
在弹出的窗口中，选择“线性规划”选项，并单击“确定”按钮。
3. 在线性规划窗口中，选择“目标单元格”和变量单元格，然后选择要优化的运算符（如“大于等于”或“小于等于”）。
选择“添加”按钮向模型添加约束条件，直到所有限制都添加完毕。
单击“求解”按钮，Excel将显示变量的最优解、目标函数的最优解以及约束条件的最佳值。
在完成线性规划模型的求解后，我们可以进行灵敏度分析来研究模型中不同参数的变化对最终解的影响。
在Excel中进行灵敏度分析有以下步骤：1. 求出每个决策变量的最优值和目标函数的最优值。
2. 使用Excel的数据表功能，建立一个数据表，将要变化的参数输入到数据表中。
可以一次性变化多个参数。
3. 将数据表的单元格链接到原始模型中的输入参数单元格。
4. 使用Excel的数据表的“展示数据表”功能，查看各参数的最优解或其他解所对应的目标函数的值。
5. 根据结果进行分析，确定哪些参数对最终结果有最大的影响。
第二章线性规划灵敏度分析
Chapter 2 灵敏度分析 然而在一般线性规划问题中遇到非对称形式时我们的处理 如下： 非对称形式的对偶规划——一般称不具有对称形式的一对 线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对 于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划 中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制； （3）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问 题中与此变量对应的那个约束为等式。
Chapter 2 灵敏度分析
单纯形法矩阵 的描述
单纯形法的矩阵描述？ maxZ=CX
标准型
AX=b 已知：A、b、c
A=(NB) X0
B=E
Chapter 2 灵敏度分析
用非基变量表示基变量 Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN XB =B-1 b-B-1 NXN CBB-1b CN - CBB-1 N O
对偶问题提出
问题一：某公司在计划期内要安排生产I II两种产品 已知生产单位产品所需的设备台时及A B两种原材 料的消耗如表所示，该工厂每生产一件产品I可获 利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应该如 何安排计划使该工厂获利最多？
如何安排方案？
有哪些 方面可以 考虑呢？
Chapter 2 灵敏度分析
约束条件右端项
Chapter 2 灵敏度分析
小练习
写出下列问题的对偶问题
1. m i nZ 2 x1 2 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0 2 .m i nZ 3 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 0 x 2 3 x 3 4 x 4 5 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x4 2 x 0，x 0, x 、x 无约束 2 3 4 1
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实验二___线性规划灵敏度分析
2
实验二 线性规划模型及灵敏度分析
（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行
灵敏度分析的操作方法。
（二）实验内容和要求：用Excel软件完成
案例。
（三）实例操作：
（1）建立电子表格模型；
（2）使用Excel规划求解功能求解问题并
生成“敏感性报告”；
（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏
感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规
划求解，并对结果提出你的看法；
（4）在Word文档中书写实验报告，包括
线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结
果分析等。
案例1 市场调查问题
某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者
对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调
查公司提出了以下要求：
（1）共对500个家庭进行调查；
3
（2）在被调查家庭中，至少有200个是没
有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家
庭；
（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式
书面调查，对其余家庭可采用口头调查；
（4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%
的家庭采用问卷式书面调查；
（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对
60%的家庭采用问卷式书面调查。
对不同家庭采用不同调查方式的费用如下
表所示：
市场调查
费用表
家庭类型 调
查费用（元）
问卷式书面
调查 口头调查
有孩子的家庭 50
30
没有孩子的家庭 40
25
问：市场调查公司应如何进行调查，使得在
4
满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？
案例2 经理会议建议的分析
某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在
B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种
原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料
以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表
所示：
生产三种产品的有
关数据
资源 产品A1 产品A2 产
品A3 每天最多可使用量
设备B1(min) 1 2
1 430
设备B2(min) 3 0
2 460
原料C1(kg) 1 4
0 420
原料C2(kg) 1 1
1 300
每件利润(元) 30 20
50
5
已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3
不超过240件。经理会议讨论如何增加公司收
入，提出了以下建议：
（1）产品A3提价，使每件利润增至60元，
但市场销量将下降为每天不超过210件；
（2）原材料C2是限制产量增加的因素之
一，如果通过别的供应商提供补充，每千克价格
将比原供应商高20元；
（3）设备B1和B2每天可各增加40min的
使用时间，但需相应支付额外费用各350元；
（4）产品A2的需求增加到每天100件；
（5）产品A1在设备B2上的加工时间可缩
短到每件2min，但每天需额外支出40元。
分别讨论上述各条建议的可行性，哪些可直
接利用“敏感性报告”中的信息，哪些需要重新
规划求解？