材力第八章

第八章 应力应变状态分析
8.1 何为单向应力状态?何为二向应力状态? 圆轴受扭时，轴表面各点处于何种应力状态?梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态?
答：只有一个主应力不为零的应力状态为单向应力状态，只有两个主应力不为零的应力状态为二向应力状态。

圆轴受扭时，轴表面各点处于二向应力状态，梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点分别处于单向、单向和二向应力状态。

8.2构件如图所示。

（1）确定危险点的位置。

（2）用单元体表示危险点的应力状态。

答：（a ）体内任意点都是危险点，
（b ）右段内外表面上任意点都是危险点， （c ）固定端上顶点是危险点， （d ）构件内外表面上任意点都是危险点，
(a) )/(42d F π)/(323d M e π(b) )/(163d M e π(c) )
/(323d Fl π)/(163
d M
e π(d) )
/(2d π
8.3 对图示构件，求A 、B 两点的应力分量，并用单元体表示。

答：A 点：所在横截面的内力
kN
Fs kNmm M A 12060000500120==⋅=
MPa
h
y bh F MPa I y M A s xy y z A
A x 6.5)41(23,
0,5.372
2
=-==-=-=τσσ
B 点：所在横截面的内力
kN
F kNmm M s B 402000050040-==⋅=
MPa h
y
bh F MPa I y
M B s xy y z
B B x 87.1)41(23,
0,5.122
2
=-=
===τσσ
8.4在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力.应力的单位MPa 。

解：
（a ）35
)2cos()2sin(2
35)2sin()2cos(2
2
,70,70,303030=+-=
=--+
+=
=-===ατασστατασσσσ
στσσαxy y
x xy y
x
y
x xy y x
（b ）
,70
0,70,70,303030======
τστσσαxy y x 20
,50,30,60)d (0,50,100,210)d (0,50,100,60)c (-======-======xy y x xy y x xy y x τσσατσσατσσα (a)
(c) (d) (e) 5．6MPa
5MPa
1．87MPa
8.5 对图示单元体(应力单位为MPa)，试用解析法求解： (1) 主应力与主方向； (2) 在单元体上示出主应力。

(σ 1 = 11.2MPa ，σ 2 =0,，σ 3 = -71.2MPa ，α0= -38°(σ1) ) 解： MPa,
2.71,0MPa,2.112
.11)2
(
22.11)2
(2
52,3876
2,42)2tan(40
,20,403212
2max 2
2max 020100-===∴=---+=
=--++==-=-=-=--=
-=-=-=σσστσσσσστσσσσσααασστατσσxy y
x y x xy y
x y
x y
x xy
xy y x
8.6 二向应力状态如图所示(应力单位为MPa), 试求主应力。

[(a)σ 1 = 80MPa , σ 2
=
40MPa, σ 3 = 0;(b)σ 1 = 25MPa , σ 2 =0, σ 3 = -25MPa,α0= -45°]
解：（a ） （b ）
,40,80MPa,
32.17)2sin(2
40
)
2cos(2
20,50,80321===∴=-=
=⇒-+
+=
===σσσασστσασσσσστσσαααy
x y y
x y
x xy x
0,25231==-=σσσ
(b)
8.7．锅炉直径D =1m,壁厚t =10mm,内受蒸汽压力 p = 3MPa.是求： (1) 壁内主应力及一点的最大剪应力；(2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。

[(1) σ 1 = 150 MPa , σ 2 = 75MPa , σ 3 =0 ,τmax = 75 Mpa; (2) σα = 131MPa , τα= -32.5 Mpa ]
解：（1）MPa 5.3720MPa,754MPa
15010
21000
3221max 321=-=≈===⋅⋅==σστσσσt pD t pD （2）MPa 32)2sin(2
MPa 131)
2cos(22,,6012-=-==-++====ασστασσσσσσσσσαααy
x y x y x y x 8.8边长为a = 10mm 的正方体钢块恰好置入刚性模孔中，上面受合力F = 9kN 的均布力
作用.钢块中各点的应力状态相同， 钢块的弹性模量E = 200GPa ，泊松比μ = 0.3， 求钢块中各点的主应力、主应变和最大剪应力。

(σ 1 =σ 2 = -38.57MPa ,σ 3 = -90MPa ,ε1= ε2= 0 , ε3 = -3.3410-4
,τmax
= 25.72 MPa)
解：（1）MPa
90MPa
6.381)]
([1
,0MPa 90100
9000
33
2131221
2223-=-=-==⇒+-=∴=====-=
σμ
μσσσσσμσεσσεεσE
A F （2）4
2133213
1max 103.3)
(0
MPa
7.252
-⨯=--=
==⊕=-=
⊕E
σσμσεεεσστ
(d)
1
8.9空心圆轴外径为D ，内径是外径的一半， 在图示力偶矩作用下， 测得表面一点A 与轴线成45°方向的线应变ε45°。

已知材料的弹性系数E 、μ，求力偶矩M e 。

()](/[E D M e μεπ+=125615453 )
解：A 点应力状态如图所示。

3
433115256)1(16D
M
D M παπτσσ=-==-=（1） E
E 13145)1()(1σμμσσε+=-=
（2） 联立式（1）和（2）：
)
1(25615453μεπ+=
D E M
8.10求图示单元体的主应力和最大剪应力。

( σ 1 = 110MPa , σ 2 = 60 MPa , σ 3 = 10MPa ,τmax = 50 MPa)
解：分析：因为三个主应力的大小和方向是确定的，所以z 方向的正应力就是一个主应力，于是只要把垂直于z 方向的平面
内的应力状态作为平面应力状态处理即可。

MP
502
MPa
10MPa,60MPa,110MPa 50)2
(
2MPa 110)2
(2
30,20,1003
1max 3212
2min 2
2max =-=
===∴=+--+=
=+-++====σστσσστσσσσστσσσσστσσxy y
x y x xy y
x y
x xy y x
(MPa)
1
8.11已知应力状态如图所示(应力单位为MPa)，试画三相应力圆，并求单元体的主应力，最大正应力和最大剪应力。

[(a)σ 1 = 60MPa , σ 2 = 30 MPa , σ 3 = -70MPa ,τmax = 65 MPa;(b) σ 1 = 50MPa , σ 2 = 30 MPa , σ 3 = -50MPa ,τmax = 50 MPa]
8.12已知图示单元体材料的弹性模量E = 200GPa ，泊松比μ = 0.3，(应力单位为MPa)试求该单元体的形状改变比能。

(u f = 12.99kN ·m/m 3
)
1.求主应力
MPa
MPa,MPa,MPa
MPa
3550794352
27942
2
40
30703212
22
2...)(
.)(,,xy y
x y x min xy y
x y
x max xy y x ===∴=+--+=
=+-++=
-===σσστσσσσστσσσσστσσ
2. 求形状改变比能
3
222kNm/m ]
)()()[(21561133221.E
v d =-+-+-+=
σσσσσσμ
(a)
(b)。