三角形三边关系的典型应用
人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元《三角形三边关系定理的应用》》专项练习(原卷版)
人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元：三角形三边关系定理的应用专项练习（原卷版）1．用三根长为3厘米、5厘米、8分米的小棒，( )围成一个三角形。
2．如果一个三角形两条边的长度分别是7厘米和9厘米，那么它的第三条边（取整厘米数）最长是（）厘米，最短是（）厘米。
3．一个三角形的三条边长都是整数，如果它的两条边分别是6cm和l0cm，另一条边的长度最短是( )，最长是( )。
（填整厘米数）4．一个等腰三角形的两条边长分别为3和6，另一条边长为（）。
5．如果一个三角形长度都是整厘米，其中两边长度分别是1厘米和2厘米，那么第三条边的长度是( )厘米。
6．一个三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，则第三边必须比( )厘米长，比( )厘米短。
7．有5根小棒，它们的长度分别是1cm、2cm、5cm、6cm和8cm。
冯伟从这5根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个周长最短的三角形，这个三角形的周长是( )cm。
8．小红用12厘米长的铁丝围成了一个三角形，它的边长可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米；还可能是( )厘米、( )厘米、( )厘米。
9．已知三角形的两条边分别长7厘米和12厘米，这个三角形的周长最短是( )厘米，周长最长是( )厘米。
（三角形的每条边的长度都是整厘米数）10．如果一个三角形的周长是60厘米，最短的边是13厘米，最长边最多是( )厘米。
（三边都为整数，三边都不相等）11．从以下5根小棒中选出3根，组成一个三角形。
可以怎样选取？请写出一种方法，并说明理由。
12．星光艺术小组用木条设计一个三角形图案，现有两根木条分别长6分米和8分米，为了节省原料，第三根木条最短是多少分米？（取整分米数）13．以下是4组小棒的长度，都能分别围成三角形吗？你从中发现了什么？（单位：cm）1、2、3 2、3、4 7、8、9 19、20、2114．下面是淘气测量的两块三角形花坛各边的长。
（单位：m）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。
中考考点三角形中角度与边长的关系的计算与应用
中考考点三角形中角度与边长的关系的计算与应用中考考点：三角形中角度与边长的关系的计算与应用一、引言三角形是几何学中的重要概念，其角度与边长之间的关系是中考数学题中的常见考点。
掌握三角形中角度与边长的计算与应用，对于解题具有重要意义。
本文将介绍三角形中角度与边长的关系的计算方法和实际应用。
二、角度的计算方法1. 直角三角形的角度关系在直角三角形中，有一个直角（90°）和两个锐角（小于90°）。
根据三角形的内角和为180°，可以计算得出直角三角形中两个锐角之和为90°。
例如，已知一个角度为30°，则另一个角度为90°-30°=60°。
2. 一般三角形的角度关系对于一般三角形，角度的计算可以通过以下方法进行：(1) 已知两个角度，求第三个角度：三角形的内角和为180°，所以可以通过已知的两个角度求得第三个角度。
(2) 已知两边长度及夹角，求第三边的长度：可以利用余弦定理、正弦定理或正切定理进行计算。
三、边长的计算方法1. 直角三角形的边长关系在直角三角形中，有一个直角和两个锐角。
根据勾股定理，直角边的平方等于两个锐角边的平方和。
例如，在一个直角三角形中，已知两个锐角边的长度分别为3和4，可以通过计算得知直角边的长度为√(3^2+4^2)=5。
2. 一般三角形的边长关系对于一般三角形，可以利用余弦定理、正弦定理或正切定理来计算边长：(1) 余弦定理：在一个三角形中，已知两边长度及夹角，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
根据余弦定理，第三边的平方等于已知两边的平方和减去两倍已知两边的长度乘以夹角的余弦值。
(2) 正弦定理：在一个三角形中，已知一个角度和该角度对应的边长以及另外两边的长度，可以利用正弦定理计算未知边长。
(3) 正切定理：在一个三角形中，已知一个角度和该角度对应的边长以及另外一条边的长度，可以利用正切定理计算未知边长。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
学习正三角形的性质及应用
学习正三角形的性质及应用正三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和广泛的应用。
本文将深入探讨正三角形的性质及其应用领域，并介绍一些相关的实例。
1. 正三角形的性质正三角形的性质如下：1) 三边相等：正三角形的三条边完全相等，这是它的最显著特征。
2) 三个角度相等：正三角形的三个内角都是60度，因此也被称为等边等角三角形。
3) 对称性：正三角形具有三条对称轴，每一条对称轴都能将图形分成两个完全相等的部分。
2. 正三角形的应用正三角形在数学、几何和工程领域有广泛的应用，下面列举了一些典型的应用领域：2.1 地质勘探在地质勘探中，正三角形被广泛应用于地质测量和地质分析领域。
通过构建正三角形形状的测量装置，可以准确测量山体的高度、井深和地球的倾角等参数，从而帮助地质学家更好地了解地质结构和地球的形态。
2.2 建筑设计正三角形在建筑设计中也有重要的应用。
设计一个正三角形的建筑结构可以提供更好的稳定性和强度。
例如，在大型桥梁或摩天大楼的设计中，正三角形的结构被广泛采用，以确保结构的坚固和稳定。
2.3 导航系统在导航系统中，正三角形经常用于确定位置和测量距离。
通过测量正三角形的边长，结合三角函数的知识，可以准确计算出距离和方向。
这种方法被广泛应用于GPS导航系统、地图制作和航空导航等领域。
2.4 电子工程正三角形在电子工程中也有广泛的应用。
例如，在电路板设计中，正三角形的布局可以提供更好的电子信号传输和抗干扰性能。
此外，正三角形还用于天线设计，以优化信号接收和传输的效果。
2.5 艺术设计正三角形的对称性和美学特点在艺术设计中得到了广泛应用。
例如，在图形设计、建筑装饰和绘画等领域，正三角形常被用作创作的基础形状，以营造和谐、平衡的视觉效果。
3. 实例分析为了更好地理解正三角形的应用，以下是两个具体的实例。
3.1 实例一：建筑设计中的正三角形应用某摩天大楼的结构设计采用了正三角形的布局。
这样的设计不仅提供了更好的结构稳定性，还能在城市地标建筑中营造出独特的美学效果，成为城市的地标之一。
中考数学复习：专题4-4 例说三角形三边关系的几种典型运用
专题04 例说三角形三边关系的几种典型运用【专题综述】三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-bb+c>a,b>a-ca+c>b,c>b-a这个定理及推论在解题中有着较为重要的应用.【方法解读】一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．【举一反三】（2017春•吉安月考）已知三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞c，若b=7，c=5，那么a的取值范围是．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）.A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，5cm【举一反三】（2017秋•宁河县期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，4cm，6cm B．2cm，2cm，5cmC．4cm，6cm，9cm D．2cm，3cm，6cm三、确定组成三角形的个数问题例3 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【举一反三】（2017春•闵行区校级期末）在长度分别为4厘米、5厘米、9厘米、12厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个四、确定三角形的边长例4 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．【举一反三】（2016秋•长春期末）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．9五、化简代数式问题例5 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．【举一反三】（2016秋•黄冈校级月考）已知a、b、c是三角形的三边长，①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；②若a+b=11，b+c=9，a+c=10，求这个三角形的各边．【强化训练】1.已知三角形的三边长为a，b，c，若a≤3，b≤15，则c的取值范围是．2.（2014秋•台安县期中）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是4和7，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（）A．1个B．3个C．5个D．7个3.（2016春•淄博期中）在下列所给的条件中，能组成三角形的是（）A ．三条线段的比为2：3：4B ．三条线段的比为1：2：3C ．三条线段的比为4：5：9D ．三条线段的比为7：4：34.（2016秋•涞水县期末）满足下列条件的三条线段a 、b 、c ，能组成三角形的有（ ）①a=2，b=3，c=4；②a=3，b=5，c=2；③a ：b ：c=1：2：3；④a=m+1，b=m+2，c=2m （m ＞2）A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③5.（2017秋•济源期中）有四条线段，长分别是3cm 、5cm 、7cm 、9cm ，如果用这些线段中的三条线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.（2015春•平度市期末）已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M=（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a ﹣b ﹣c ），那么（ ）A ．M ＞0B ．M=0C ．M ＜0D ．不能确定7.（2017秋•秀屿区校级月考）三角形的两条边为2cm 和4cm ，第三边长是一个偶数，第三边的长是 ．8.（2016秋•杜尔伯特县期中）三角形的两条边长分别是4和9，且第三边长是奇数，则第三边长为 ． 9.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足+|b ﹣5|=0，求c 的取值范围．10.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，根据三角形三边的关系化简：=---++22)()(c b a c b a ．。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。
在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。
本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。
一、三边比例与角度多少在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。
如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。
根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。
设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组：sin A = a / ccos A = b / ctan A = a / b通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。
当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。
二、三角形上一点对角度的影响已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。
这就是典型的直角三角形应用题。
首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到：AD×CD/2 = BC×CD/2AD = BC×CD/AC将已知数据代入，化简得到：CD=2AC/(1+√5)接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式：tan B = BD/AB = AD/ABsin C = BD/BC = AD/AC代入已知的数据，得到：tan B = (2AC / (1+√5)) / csin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2)通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。
三、海伦公式海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。
对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即：p = (a+b+c)/2在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。
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三角形三边关系的典型应用
三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
知识点一：三角形成立的条件
例1．下列各组线段能组成一个三角形的是（）
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cm D．4cm，7cm，11cm
例2．现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）
A．0.85m长的木条B．0.15m长的木条C．1m长的木条D．0.5m长的木条
知识点二：三角形成立的条件
例4．若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）
A．6＜l＜15B．6＜l＜16C．11＜l＜13D．10＜l＜16
例5．若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
知识点三：三角形三边关系与等腰三角形结合
例8．已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．
例9．有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．
知识点四：利用三边关系证明不等关系
例12．已知：如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．
例13．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC
知识点五：三边关系的实际应用
例15．现在有3、4、7、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那怕么可以组成的三角形的个数是_______．
B
M
N P A。