8.3平面向量的分解定理
平面向量的分解定理及应用讲义
学科教师辅导讲义学员学校： 年 级：高二 课时数：2 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 平面向量的分解定理及应用授课日期及时段教学目的1. 了解平面向量的分解定理的论证过程。
2. 知道基向量的特征，并能准确通过基向量来表示一个向量3. 了解向量在平面几何中的应用（平行、共线、垂直、夹角）4. 了解向量在代数中的应用教学内容【知识结构】1. 平面向量分解定理：如果12e ,e 是同一平面内的两个不平行的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ使a =1122e e λλ+。
其中不共线的向量12e ,e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：（1）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。
（2）上面的分解师唯一的。
2. 向量的加法、减法，实数与向量积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算。
任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。
3. 几个重要的结论：（1）若向量,a b 为不共线向量，则a b a b a b +-、为以、为邻边的平行四边形对角线的向量。
（2）2222+=2+a ba b a b +-（）。
（3）G 为∆ABC 的重心112233,),,),,)y By B y A （x （x （x 1231230(,)33x x x y y y GA GB GC G ++++⇔++=⇔ 4. 向量运算与几何图形（1) 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景;当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.（2)平面几何的许多性质，平行、垂直、夹角、长度、三点共线、三线共点等都可以由向量的线性运算表示出来，因此，向量方法是研究几何的一个有效的强有力的工具①要证明CD AB =，只要证明CDAB =;②要证明AB ⊥CD ，只要证明0=⋅CD AB ;③要证明AB ∥CD ，只要证明存在实数λ，使得CD AB λ=;④要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在实数λ，使得AC AB λ=; ⑤利用向量的数量积公式，可以求角ba b a ⋅=αcos .5. 用向量法解决平面几何问题的一般步骤：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，把平几问题转化为向量问题。
8.3平面向量基本定理
实数 1 , 2，使 a 1 e1 2 e2 推论 1： 对 于 向 量 e1 , e2 ， 且 e1 与 e2 不 平 行 ， 若 1e1 2 e2 1e1 2e2 ，则1 1, 2 2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
复习回顾 向量运算的坐标表示： 若 a x1 , y1 , b x2 , y2 , R
线性组合.
练一练
试以b , c 作为基向量，把 a 写成b , c 的线性
组合.
例 3．如图，已知OA, OB 是不平行的两个 向量，k R ，且满足 AP k AB，试 用OA, OB 表示OP .
P B A O
例4.已知 a, b 不平行， m 3a 4b, n 2a 5b 若 m n 5a b ，求实数 , 的值.
G
AB 3e1 2e2 CD e1 4e2
EF 3e1 5e2
GH 4e1 4e2
平面向量基本定理
如果 e1 , e2 是一个平面内两个不平行的向量， 那么该平面内的任意向量 a , 存在唯一的一对
实数 1 , 2，使
N
a 1 e1 2 e2
A
e2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
推论 2： 对 于 向 量 e1 , e2 ， 且 e1 与 e2 不 平 行 ， 若
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量 a 与 e1、e2 的关系
e1
a
e2
M
C
a 1 e1
e1
O
2 e2
Ne2
a 1 e1 2 e2
如果给定平面上两个不平行的向量，那么平面上 任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的 线性组合呢？
假设有两种方法：
a 1 e1 2 e2 1 e1 2 e2
已知向量的线性组合用待定系数法。
例4. 设正六边形ABCDEF中, AE a, BC b，用a、b 表示下列向量
Bb C
(1) CD a b
Aa
F
D (2) AB 2b a (3) CE 2a 3b
E
例5.如图：OA, OB, 是同一平面内的两个不平行向量 （1）M为AB的中点，试用OA，OB表示OM； （2）M1，M 2为AB的三等分点，试用OA，OB表示OM1；OM 2 （3）M1, M 2 , M 3为AB的四等分点，试用OA，OB表示OM1，OM 2，OM3
8.3 平面向量的分解定理
回顾：
(1)若 a, b 0，则 a// b a b
y
(2) a xi y j
a (x, y)
O
x
向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的
向量 i、j 唯一的线性组合。
引入
a b
F
O
A
C
a ab
O
b
B
力的合成
C
力的分解
平行四边形法则
问题的提出
如果 e1、e2 是同一平面内两个不平行的非零向
性质：如图所示，已知a OA, b OB, c OC
若c a b(, R),则ABC三点共线的 充要条件是 1
向量分解定理
向量分解定理向量分解定理是线性代数中的重要定理之一。
它指出，对于一个给定的向量空间V和其子空间U，任何向量v∈V都可以唯一地表示为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
换句话说，任何一个向量都可以分解为与给定子空间无关的两个向量之和。
在进一步探讨向量分解定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
向量空间是指具有加法和数乘两种运算的非空集合，它满足特定的运算规则。
子空间是在向量空间内构成的一个向量子集，它本身也是一个向量空间。
补空间是指与给定子空间正交的向量构成的向量子集。
在线性代数的研究中，向量分解定理发挥着重要作用。
它提供了一种方法来寻找向量空间中的最优解。
对于一个给定的向量v∈V，我们希望能够将其分解为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
这样一来，我们就可以根据具体的问题要求去选择合适的子空间U，以及使得向量v达到最优的补空间向量w。
向量分解定理的证明过程可以通过构造线性方程组来实现。
我们可以选择一个合适的基，并找到V的基底B1和U的基底B2。
然后根据V和U的基底B1和B2构造出一个矩阵A，并将向量v写为矩阵A乘以一个向量x的形式。
通过求解线性方程组Ax= v，我们就可以得到x的解，从而得到向量v关于子空间U的向量分解。
向量分解定理的一个重要应用是在最小二乘法中的使用。
最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它用于拟合线性方程模型时，寻找使得模型与实际观测值之间误差平方和最小的参数。
在最小二乘法中，我们希望将观测值向量y表示为模型矩阵X 与参数向量β的乘积，即y=Xβ。
然而，由于观测误差的存在，通常情况下方程组的解不存在。
这时，我们可以通过向量分解定理，将观测值向量y分解为模型矩阵X的列空间的向量与X的列空间的补空间的向量之和。
这样一来，我们可以通过最小化观测值向量y在X的列空间上的投影误差来近似求解参数向量β。
除了最小二乘法，向量分解定理还在其他领域有广泛的应用。
例如在图像处理中，将图像表示为其灰度基函数与系数的乘积形式，就是利用了向量分解定理的思想。
9平面向量分解定理
1 2 AB , CE ED 3 3
若 AB a, AC b ,试用基 a , b 表示 AE .
分析：在ACE 中, AE AC CE b CE
2 CE CD 5
CD CA AD b AD
BA 有公共的起点
B,所以
小结:平面向量的分解定理,也就是说同一平面内任一向量 都可表示为两个不平行向量的线性组合.
例5 已知平行四边形 ABCD的两条对角线AC,BD 交于E,
O是任意一点 ,求证
OA OB OC OD 4OE
证：E是对角线 AC 和 BD的交点, 所以 AE EC CE , BE ED DE 在三角形 OAE中, OA AE OE 同理 OB BE OE , OC CE OE , OD DE OE 以上个式相加得
作平行四边形 OACB, OC 就是所求作向量. Ｃ Ｂ
e2
e1
Ａ
Ｏ
例2 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC，BD相交于M， 若 AB a, AD b ，试用 a , b 表示 MC, MA, MB, MD.
D
C M
b
A
a
B
例3 如图在
ABC , AD
GD GE GF 0
F
E B D C
２. 如图在平行四边形 ABCD CD， 中，E，F分别为 BC的中点，且 AE m, AF n ，试用基 ，n 表 m 。 示 D E AB, AD C m F n A B
回家作业
例4
已知OA ， OB 是不平行的两个向量，k是实数，且
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推荐阅读《平面向量分解定理在解题中的应用》一书，深入了解该定理在实际问题中的应用。
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探讨向量分解定理在高维空间中的形式和应用，为高维向量分析提供理论基础。
01
向量分解定理在二维平面上的推广
将向量分解定理从直角坐标系扩展到任意坐标系，包括极坐标系和参数方程形式。
02
向量分解定理在三维空间中的推广
将二维平面向量分解定理的应用范围扩展到三维空间，研究三维向量的分解和表示方法。
向量分解定理在计算机图形学中的应用
利用向量分解定理研究计算机图形学中的向量运算和变换，如平移、旋转、缩放等。
向量分解定理在信号处理中的应用
将向量分解定理应用于信号处理领域，如频谱分析、滤波器设计等，提高信号处理的效果和效率。
向量分解定理在物理学中的应用
将向量分解定理应用于物理学的各个领域，如力学、电磁学、光学等，为解决实际问题提供数学工具。
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目录
平面向量分解定理的引入平面向量分解定理的证明平面向量分解定理的应用平面向量分解定理的扩展和推广总结与回顾
01
CHAPTER
平面向量分解定理的引入
如果两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$不共线，那么对于任意向量$overset{longrightarrow}{c}$，存在唯一的一对实数$x$和$y$，使得$overset{longrightarrow}{c} = xoverset{longrightarrow}{a} + yoverset{longrightarrow}{b}$。
平面向量的分解定理
平面向量的分解定理【知识概要】平面向量的分解定理如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.其中，把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.注：① 21,e e 为非零向量.由于零向量的方向不确定，且零向量与任意实数的积都为零向量，因此当1e （或2e ）为零向量时22a e λ= （或11e λ ），此时a 只能与2e （或1e ）平行；② 21,e e 为互不平行的向量.当21,e e 平行时，向量a 也必然与21,e e 平行； ③ 21,e e 不一定互相垂直，也不一定是单位向量.④ 基向量的选择不是唯一的，当基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被a ，21,e e 唯一确定的数量.【典例精讲】例1判断下列命题真假：（1）一个平面内只有一对不平行的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基； （2）平面中任意两个向量都可以作为这个平面内所有向量的一组基. 答案：（1）假命题 （2）假命题例2下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ A ）(A) 12(2,1),(1,2)e e =-=- (B) 12(2,1),(6,3)e e =-=-(C) 121(1,),(6,3)2e e =-=-(D) 12(0,0),(1,2)e e ==-例3已知向量12,e e 是平面α 内所有向量的一组基底，且1212,32e e b e e α=+=-，1223c e e =+ ，若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），试求,λμ的值。
解：将12a e e =+与1232b e e =-代入c a b λμ=+得：121212()(32)(3)(2)c e e e e e e λμλμλμ=++-=++-又∵1223c e e =+，且12,e e 是一组基底，于是根据定理中的唯一性可得以下的方程组：3223λμλμ+=⎧⎨-=⎩ 解之得：13515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩例4 △ABC 中，,,BC a CA b AB c ===，三边BC 、CA 、AB 的中点依次为D 、E 、F ，则AD BE CF ++=____________。
8.3平面向量的正交分解
C
B
CF= CB+ BF = -b AE= - CF AE与CF平行，又无公共点 AE,CF平行.
1 a 2
设 a、b是两个不平行的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,
CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。
例1
AB // BD BD 0
4
8.
的中点，用向量的方法证明： EF//AD//BC,且EF =
1 2
(AD+BC)
练习3
ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？ D
E C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b. D E、F分别是DC和 AB的中点, AE= AD+1 DE F = b+ 2 个向量 a 是否可以分解成两个 不平行的向量？
N
a
e2 B e2
O
a
C
e1
e1
A M
结论： 如果 e1、 e2 是同一个平面内的两个不平行的向量，那么对于给定 存在 a =1 e1 +2 e2 向量 a ，_______一对实数 、 ，使 _____________.
D
M
C
N
B
解析： 设AB = e1,AD =
1 1 DC = 2 AB = 2e1
e2,则有：
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC 1 1 = e2 - e1+ 2 e1 = - 2 e1 + e2 MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC
平面向量的分解定理
1 2 1(1 , 2 R) 使得 AM 1 AB 2 AD ．
-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 ， 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在
1 2 1(1 , 2 R)
思考 1．变式 4 的逆命题成立吗？为什么？ 设 A 是 直 线 BD 外 任 意 一 点 ， 若 B ， M ， D 三 点 满 足 AM 1 AB 2 AD 且
1 2 1(1 , 2 R) ，则 B，M，D 三点共线．
图2 图1
问题 3．如图 3，给定平面内两个向量 e1 、 e2 ,向量 a 能否用含有 e1 、 e2 的式子表示出来？
e2
e1
e1
a
图3
e2
图4
问题 4．如图 4，给定平面内两个向量 e1 、 e2 ,任意给定向量 a ， a 能否用含有 e1 、 e2 的式 子表示出来？
-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 ， 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在
五、教学技术条件要求（演示教具、多媒体、器材、场地等） 电脑，投影等
六、课堂流程预设（导课设计、组织教学环节设计、问题设计、演示设计、学生活动设计、 应变调控预案、学法指导、当堂迁移应用练习、课后巩固练习设计等）
平面向量分解定理
C
AB的中点,
AE=
=
AD+ DE
b+
1 2
a
A
F
B
1
CF= CB+ BF = -b - 2 a
AE= - CF
AE与CF平行，又无公共点
AE,CF平行.
思考 设 a、b是两个不平行的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。
DM
C
=
1 2
e1 -
e2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基，使其他向量能够用基来表示， 再利用有关知识解决问题。
例4: ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和 D
E
2.任意向量都可以沿两个不平行 的方向分解为两个向量的和，并且这 种分解是唯一的，即λ1，λ2是被a，e1 ，e2唯一确定的数量．
e1
O e1
M
结论 若在同一平面内有两个不平行的向量e1，e2 ，则
给定向量a，存在一对实数λ1、λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．
问题2 平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？
研究
设e1、e2是同一平面内的两个不平
行的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与e1、e2之间的关系．
解： A、B、D三点共线
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8.3 平面向量的分解定理
活动一 向量合成
例1 如图8-12，已知向量12,e e ，求作向量a ，使得1232a e e =-+.
活动二 向量分解
如图，设两个不平行的向量12,e e ，a 是平面内的任一向量， 试将向量a 分别分解到12,e e 两个方向上.
12a e e =
+
12a e e =+ 12a e e =+
1e 2
e 1e 2
e a a 1
e 2
e a
1
e 2e
活动三 平面向量分解定理
平面向量分解定理：
. 我们把 的向量12e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 证明：
活动四 定理理解
1.判断以下说法是否正确，并说明理由：
（1）平面内存在一对垂直的向量,i j 可以表示该平面内所有向量．
（2）如果12,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的向量0，不存在实数12λλ，，使11220e e λλ=+．
2.填空：已知12,e e 是平面内的两个不平行向量，
（1）若1a e ，则12a e e =+． （2）若2a e ，则12a e e =+
．
活动五 平面向量基本定理的应用
例2 如图8-14,平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M , AB a =,AD b =, 试用基,a b 表示,,AM CM MB MD 和.
变式1．选择不同的基表示MA ．
变式2．记AC 为c ，BD 为d ，请用基c 、d 表示AB 和AD ．
D
B
C
C
c
d
C
a
b D
思考：如图8-15，已知OA OB 、
是不平行的两个向量，k 是实数，且AP k AB = ()k R ∈，用OA OB 、
表示.OP
活动六： 课堂小结
布置作业
1.教材67页,完成书上练习1，2，3；
2.变式训练：例2中，若点P 满足DP k DB =，试用基a 、b 表示AP ．
O。