第4章 梁的内力liu1
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梁的内力计算(1).
第四章 梁的内力第一节 工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。
a房屋建筑中的大梁b简易挡水结构中的斜梁c 小跨度公路桥地纵梁d 机械传动装置中的蜗杆图4-1 工程实际中的受弯杆1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲．．。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面．．（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲．．．．。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化——计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图．．．．。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；（2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a）所示。
第四章 梁的内力
2.2
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
第四章
二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
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二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
梁的内力
2l 3
0
FRA
1 3 q0l
校核：
FRA
FRB
1 2
q0l
1 3
q0l
1 6
q0l
1 2
q0l
0
反力无误。
§4-3 梁的内力及其求法
已知：如图，F，a，l。 求：距A端 x 处截面上内力。
m
a
F
解：①求外力（支座反力）
A
m
x l
B
Fx 0 , FAX 0
mAF 0 , FBYl Fa 0
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用 点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
F S (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
F S (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
剪力图为一斜直线
F S (0) 0
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
梁的内力剪力和弯矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
弯曲内力n
q向下：FS（x）图斜率为负；M（x）图线向上凸。
1 ql 2 2
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支梁尺寸如图，受集中载荷F 及力偶M0作用，且M0 =Fl。 求：梁的内力及内力图。 解：1）研究对象：梁AB
A FA
M B F 0 :
Fy 0 :
l
q
F
l
l
M0 B FB
①
F 0 : qx F x 0 2 x1 M F 0 : M x q 0 C 1 2
y1 1 S 1
1
q
A FA
② C1 M x
1
F 0: M C F 0 :
y2
2
FS x1 qx1 0 x1 l x12 M x1 q 0 x1 l 2 ql FA FS x2 0
FS
x3
x
F/3 2F/3
M
Fl/3
2Fl/3
x
Fl/3
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
x1 x2
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支臂梁尺寸如图，受集中载荷F A 及及力偶M0作用，且M0 =Fl。 FA 求：梁的内力及内力图。 规律总结（2）：
均布载荷集度q=0：FS（x）图为水平线； M（x）图为一次斜直线。 FS
2l x3 3l
F
C2
FS（x2） M（x2） C3
M（x3）
B FB
FS（x3）
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
1 ql 2 2
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支梁尺寸如图，受集中载荷F 及力偶M0作用，且M0 =Fl。 求：梁的内力及内力图。 解：1）研究对象：梁AB
A FA
M B F 0 :
Fy 0 :
l
q
F
l
l
M0 B FB
①
F 0 : qx F x 0 2 x1 M F 0 : M x q 0 C 1 2
y1 1 S 1
1
q
A FA
② C1 M x
1
F 0: M C F 0 :
y2
2
FS x1 qx1 0 x1 l x12 M x1 q 0 x1 l 2 ql FA FS x2 0
FS
x3
x
F/3 2F/3
M
Fl/3
2Fl/3
x
Fl/3
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
x1 x2
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支臂梁尺寸如图，受集中载荷F A 及及力偶M0作用，且M0 =Fl。 FA 求：梁的内力及内力图。 规律总结（2）：
均布载荷集度q=0：FS（x）图为水平线； M（x）图为一次斜直线。 FS
2l x3 3l
F
C2
FS（x2） M（x2） C3
M（x3）
B FB
FS（x3）
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
第四章梁的内力
Fs1 = F
F
1
2
3Fa
3
4
∑F ∑F ∑F
y
= 0,
c
A1 2 3 4 a FA a a F
Fs1 M1
B FB
∑M
y
= 0, = 0,
M 1 = Fa
Fs 2 = 3F F = 2F
F
Fs2
∑M
y
c
= 0, = 0,
M 2 = Fa
F
Fs 3 = 3F F = 2F M 3 = 3 Fa 2 Fa = Fa
Fs ( x ) = qx
1 2 M ( x ) = qx 2
q ql B
x C l
(0 < x < l ) (0 < x < l ) (0 ≤ x ≤ l )
A
l
ql
AB段：
FN ( y ) = ql Fs ( y ) = ql
1 2 M ( y ) = ql + Fly 2
ql
q
(0 < y < l ) (0 < y < l ) (0 ≤ y ≤ l )
Fs = Fs ( x )
M = M( x )
——剪力方程 ——弯矩方程
内力方程
剪力方程和弯矩方程在集中力作用截面、集中 力偶作用截面、分布力的起、止截面为分段点。 控制截面：内力方程的分段截面（及两侧截面）。
确定内力方程，即可画出内力图。
F
q
M
内力图要求 ①受力图与剪力图、弯 Fs 矩图对齐。 ②正剪力画在横轴上 侧，正弯矩画在横轴下 侧。 ③图上标控制面内力及 极值点内力。
q
F
F
F
F
F
1
2
3Fa
3
4
∑F ∑F ∑F
y
= 0,
c
A1 2 3 4 a FA a a F
Fs1 M1
B FB
∑M
y
= 0, = 0,
M 1 = Fa
Fs 2 = 3F F = 2F
F
Fs2
∑M
y
c
= 0, = 0,
M 2 = Fa
F
Fs 3 = 3F F = 2F M 3 = 3 Fa 2 Fa = Fa
Fs ( x ) = qx
1 2 M ( x ) = qx 2
q ql B
x C l
(0 < x < l ) (0 < x < l ) (0 ≤ x ≤ l )
A
l
ql
AB段：
FN ( y ) = ql Fs ( y ) = ql
1 2 M ( y ) = ql + Fly 2
ql
q
(0 < y < l ) (0 < y < l ) (0 ≤ y ≤ l )
Fs = Fs ( x )
M = M( x )
——剪力方程 ——弯矩方程
内力方程
剪力方程和弯矩方程在集中力作用截面、集中 力偶作用截面、分布力的起、止截面为分段点。 控制截面：内力方程的分段截面（及两侧截面）。
确定内力方程，即可画出内力图。
F
q
M
内力图要求 ①受力图与剪力图、弯 Fs 矩图对齐。 ②正剪力画在横轴上 侧，正弯矩画在横轴下 侧。 ③图上标控制面内力及 极值点内力。
q
F
F
F
F
梁的内力--剪力和弯矩(一)授课课件
总结
一、剪力，弯矩的定义； 二、剪力，弯矩的符号。
作业
P141,6-1，(c),(d)判断各段杆两端剪力方向及符号， 要求画出示意图。
梁的内力--剪力和弯矩（一）
新问题 剪刀为什么能把纸剪开？
动手做 用两把直尺模拟剪刀原理
并不锋利的直尺， 却可以像剪刀一样把 纸剪开，为什么？
在外力作用下，梁的横截面上将 产生剪力和弯矩两种内力。
F
固定铰支座 A L B
可动铰支座
简支梁
剪力
与横截面相切的内力。 符号FS ,单位牛顿（N）。
横截面
弯矩
外力作用平面内的力偶，弯矩也是内力。 符号M,单位牛顿· 米（N· M）或者千牛· 米 （KN· M）。
剪力
FS 剪力--内力 F 剪切力--外力 · 外力引起内力 · 内力小于外力时，构 件破坏
正、负号
剪力 杆件有顺时针转动趋势时，剪力 为正；反之为负。
左上右下为正，左下右上为负。
正、负号
弯矩 杆件底部受拉、顶部受压时规定 为正；反之为负。
ห้องสมุดไป่ตู้
杆件中部下凹为正，上凸为负。
在F的作用下,判断AD、DC、CB三段杆两端 的剪力的方向及正负。
F
固定铰支座 D A L C B
可动铰支座
判断方向要点------平衡 （整体平衡，局部一定平衡）
练习
P141,6-1，(a),(b)判断各段杆两端剪力方向及符号。
课前提问
1.什么是内力？ 由外力引起的杆件内各部分间相互 的作用力 2.什么是力偶？其单位是什么？ 作用于同一刚体上的一对大小相等、 方向相反、但不共线的一对平行力称 为力偶。单位是牛· 米，千牛· 米。
课前提问 3.什么是梁？ 由支座支承，承受的外力以横向力和 剪力为主，以弯曲为主要变形的构件 称为梁。
梁的内力分析方法
梁的内力分析方法摘要本文归纳总结了计算梁的内力方法以及梁的内力与载荷及结构之间的规律,并以汽车起重机底架大梁为例,对梁的内力求解方法作了分析。
关键词梁;内力;约束;扭转;载荷简化1 截面法用截面法求内力,建立剪力、弯矩方程,根据方程绘剪力、弯矩图是一种基本方法。
2 剪力图和弯矩图一般情况下,梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化,将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来,这种图形分别称为剪力图和弯矩图。
画剪力图和弯矩图的基本方法有2种。
2.1 剪力、弯矩方程法若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置,则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,即Q=Q(x)M=M(x)上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。
根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。
画剪力图和弯矩图时,首先要建立Q-x和M-x坐标。
然后根据截荷情况分段列出方程。
由截面法和平衡条件可知,在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处,剪力方程和弯矩方程可能发生变化,所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
分段点截面也称控制截面。
求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值(包括正负号),并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中相应位置处。
分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。
最后注明最大的数值位置。
2.2 微分关系法考察承受任意载荷的梁。
从梁上受分布载荷的段内截取微段,观察其受力,作用在微段上的分布载荷可以认为是均布的,并设向上为正。
微段两侧截面上的内力均设为正方向。
若x截面上的内力为Q(x)、M(x),则x+dx截面上的内力为Q(x)+d Q(x)、M(x)+d M(x)。
因为梁整体是平衡的,dx微段也应处于平衡。
根据平衡条件∑y=0和∑mo=0,得到式(1)、(2)和(3)是剪力、弯矩和分布载荷集度q之间的平衡微分关系。
它表明:剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q;弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力;弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度q。
梁的内力
均布荷载
§4-2 梁的荷载和支座反力
二、梁的支座及支座反力
1、固定铰支座
2、可动铰支座
FRx
FRy
FRy
3、固定支座
MA FRx
FRy
§4-2 梁的荷载和支座反力
三、静定梁的基本形式
FAx
FAy FAx
FAx MA
FAy FAy
简支梁
FBy
外伸梁 (伸臂梁)
FBy
悬臂梁 梁的支座反力可根据梁的平衡条件得到
CB
FS (x2 )＝− Fa / l (a ≤ x2 ≤ l) M(x2 )＝Fa(l − x2 )/ l (a ≤ x2 ≤ l)
3、作剪力图和弯矩图
例题3 图示简支梁C点受集中力偶作用。
例题4
a
b
M
试画出剪力图和弯矩图。
q
A
C
x1
FAy
l
B x2
FBy
解： 1、求支座反力 FAy＝M / l FBy＝ －M / l
dx Fs (x)+ dFs (x)
dM (x) dx
=
Fs (x)
dM 2(x) dx2
=
q(x)
弯矩图上某点处的曲率等于该点处荷载集度的大小
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
二、 剪力图、弯矩图的特征
dFs (x)
dx
=
q(x)
dM (x) dx
= Fs (x)
第4章 梁的内力
§4-1 工程中的弯曲问题
吊车大梁简化:
q F
§4-1 工程中的弯曲问题
火车轮轴简化：
§4-1 工程中的弯曲问题
第4章、梁的内力
解：1、确定支反力（可省略）
FY 0; 3 2 m qa 2
a
Fy
Fs
– qa qa2
x
2、画内力图 AB： Fs ；Fs A右 qa,Fs B qa, ( 积分关系FsB=FsA+0) q 0,
M
2 M A 0, M B qa ,
1.5qa ;
2
(Fs < 0,所以M图向负方向斜 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )
3m 2 1.5m
M FB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
FA 1.5 (kN ), FB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
FA
Fs1 FA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
§4-5 弯矩、剪力与荷载集度间的关系
一、 三者间的关系
q FAy x 讨论如下 L FBy
1 Fs ( x) ql qx 2 1 1 M ( x) qlx qx 2 2 2
(0 x l )
(0 x l )
dFs ( x ) q q (x ) dx
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FS1 5qa / 3 qx1
q
qa
FS2 qa / 3
B M 2 qa2 qax2 / 3 x2 C
A M1 5qa / 3x1 qx12 / 2
FA
2a
FB
a
FS
5qa/3
x
5a / 3
qa/3
x qa2
M 25qa2/18 4qa2/3
总结FS、M 图的基本画法：
# 弯矩
m m M m m
M
(+)
(-) 使梁段凸向上的弯矩为负
使梁段凸向下的弯矩为正
例1 解：
悬臂梁 AB, 求 1-1 和 2-2截面上的剪力和弯矩。 (1) 约束反力
y
F 0 M 0
A
... ...
FRA F MA 0
MA A FRA a MA
M1=Fa 1 1 2
2F B M2=4Fa a
(0 x1 a)
集中力作用处剪力图发生突变
aF/l
(0 x2 b)
M
abF/l
集中力作用处弯矩图发生折曲
例1
A x1
q
qa 2
B C
FA
2a
FB
a
约束反力
M M
A 0
FB 3a 2qa a qa2 0 FB qa / 3 ()
B
0
FA 5qa / 3 ()
(0 x1 a) (0 x1 a)
(0 x2 b) (0 x2 b)
a
A
F
C
b
x2
x1 l
FRA FS bF/l
b FS1 F l FRB a FS2 F l b x M 1 Fx1 l a M 2 Fx2 l
x
B
(0 x1 a)
(0 x2 b)
§4. 5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
y O q=q(x) dx FS(x)+ dFS(x)
C
x
x FS(x ) M(x ) q(x)
M(x)+dM(x)
一、微分关系
研究dx 微段的平衡
dx
FS(x ) FS(x)+ dFS(x)
C
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ( x)] 0
剪力 弯矩
FRA
力偶 M(x)
计算指定截面的剪力和弯矩
a
F1
FS(x)
O
研究左侧梁段的平衡 M(x)
F
y
0 FRA F1 FS ( x) 0
FRA
x
如果研究右侧 梁段的平衡， 相信会给出同 样的结果！
FS ( x) FRA F1
对截面形心 O 取矩，建立力矩平衡方程
M
O
x
ql /2
l
FRB
FS (0) ql / 2 FS (l ) ql / 2
x ql /2
q
x M ( x ) FRA x qx 2 ql qx 2 x 2 2
(0 x l ) M (0) 0, M (l ) 0
2
A FRA FS
B
xபைடு நூலகம்
ql /2
l
FRB
x l /2
M(x )
q(x)
M(x)+dM(x)
M
C
0
dFS ( x) q( x) dx
dx [ M ( x) dM ( x)] M ( x) FS ( x)dx q( x)dx 0 2 （舍去二阶小量） dM ( x )
dx
FS ( x)
一、微分关系
dFS ( x ) q( x) dx
0 M ( x) FRA x F1 x a 0
M ( x) FRA x F1 x a
第四章 梁的内力
剪力和弯矩的正负号规则
剪力和弯矩的符号规定 # 剪力
m m FS m m FS
FS (+)
FS (-)
使梁段顺时针转动的剪力为正
使梁段逆时针转动的剪力为负
MA A FRA a
M1=Fa 1 1 2
2F B M2=4Fa a
2 F
O
0,
M A FRAa M1 M 2 0 M 2 FRAa M A M1 2Fa
MA FS2 F M1=Fa M2 FRA
计算指定截面的剪力和弯矩法则： 任一截面的剪力 FS = S[截面一侧横向力的代数值]
x1 x2
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
x1
x2
＃用于检查区间FS、M 的增量
三、突变关系
总结FS、M图的变化规律：
1、在q=0 的区段，FS图为平直线， M图为斜直线。 2、在q=C 的区段，FS图为斜直线， M图为二次抛物线。 3、在集中力作用处，FS图发生突变，突变值等于集中力值 ，M图产生折角。在集中力偶作用处，M图有突变，突 变值等于集中力偶矩值，FS图无变化。 4、在FS=0 的截面处，M图有极值，极值的数值可用（无 集中力偶）一侧FS图面积的代数和计算（注意右侧FS图 面积的区别）。
C
x
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
x1
x2
FS(x) M(x)
q(x)
M(x)+dM(x)
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
x1
x2
二、积分关系
对于[x1 x2] 区间
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
20kN 35kN
25kN
20kN
C
40kNm
q 10kN/m
B
A
25kN 35kN
4m
1m
解： 1、解支座反力
FR A 35kN ( ) FRB 25kN ( )
（方法：单独载荷反力叠加法）
2、研究分段 两段CA、AB段 3、图形的形态和段端值计算 A+0 15
C FS M -20
CA段
A-0
-20
AB段
斜直线 \ 抛物线╰╯
B
平直线
斜直线
-25
C FS M
20kN
C
CA段 平直线 斜直线
40kNm
A-0
A+0
AB段
B -25
-20
-20
15
斜直线 \
抛物线╰╯
q 10kN/m
B
A
D
25kN
4m
35kN
FS
1m
15kN
25kN 2.5m 10kN/m
x 20kN 25kN
40kN
# FS图按横向力走向可直接画
C FS M -20 0
CA段 平直线 斜直线
A-0 -20 -20
A+0 15 20
AB段 斜直线 \ 抛物线╰╯
B -25
0
20kN
C
40kNm
q 10kN/m
B
A
D
1 35kN 1m F(15 1.5) 11.25 2S 15kN
x1
x2
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
x1
x2
注意 ：[x1 x2] 区间不应有集中力和集中力偶
dFS ( x ) q( x) dx
dM ( x ) FS ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
＃用于检查FS、M 图的形态
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
第四章 梁的内力
§4. 1
弯曲的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是承受弯曲变形的。
受力特点：外力垂直于杆件的轴线
变形特点： 轴线由直线变为曲线
以弯曲变形为主的杆件 — 称为梁
对称弯曲的概念
# 梁的横截面至少有一个对称轴 对称轴
所有的截面的对称轴构成纵向对称面
# 所有外力都作用在梁的纵向对称面内
1、用静力学平衡方程求解出支座反力 2、研究FS、M 的分段情况 分段端点通常为：
# 集中力或集中力偶的作用处 # 分布载荷的起始和终点处
3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、 M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧 的外力）
总结FS、M 图的基本画法：
4、按写出的FS、M 方程，画FS、M 图 （ M图画在构件受拉侧） 5、检查FS、M 图的正确性 6、注意图形的极值点（有、位置、极值）
dM ( x ) FS ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
二、积分关系
y O
dFS ( x ) q( x) dx
dM ( x ) FS ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
对于[x1 x2] 区间
x q=q(x) d x FS(x)+ dFS(x)
2 F
(2)
截面1-1
FRA FS1 0 FS1 FRA F
F
y
0,
M1
FRA
FS1
M
O
0,
M A FRAa M1 0 M1 FRAa M A Fa
(3) 2-2 截面
Fy 0,
M
FRA F FS2 0 FS2 FRA F 2 F
步骤： 1、计算支反力（清楚全梁的受力情况）