【苏教版】2021年数学高中必修五(全集)课时同步练习汇总(vip专享)

（苏教版）高中数学必修五（全册）课时同步练习汇总[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是________．解析：由正弦定理得sin A＝a2R，sin C＝c2R，∴sin A∶sin C＝a2R∶c2R＝a∶c＝7∶5.答案：7∶52．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，A＝30°，则B＝________．解析：由正弦定理，可得sin B＝2 2.∵b＞a，∴B＞A＝30°，∴B＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________．解析：由正弦定理，可得a∶b∶c＝5∶6∶7.从而a＝10，b＝12，c＝14.答案：10，12，144．在△ABC中，已知A＝135°，B＝15°，c＝2，则△ABC中最长边的长为________．解析：设最长边为a，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a＝csin C·sin A＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最长边的长为2 2. 答案：2 2 5．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π46．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________． 解析：由已知A ＝30°，B ＝45°， 则a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2. 答案：1∶ 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1.又0＜B ＜π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6.答案：π6二、解答题8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A ＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin B sin A ＝右边， 所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°，∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105°＝56＋5 2. [高考水平训练] 一、填空题1．下列判断三角形解的情况，正确的是________． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解． 解析：①中a ＝b sin A ，有一解； ②中c sin B <b <c ，有两解； ③中A ＝90°且a >b ，有一解； ④中a >b 且A ＝120°有一解． 综上，④正确． 答案：④2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．答案：(2，3) 二、解答题3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos Aa ，求cos A 的值．解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos Asin A⇒⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12tan A .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36.4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14，求b .解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x＝－32sin 2x ＋12. ∵ω＝2，∴T ＝2πω＝π. ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)得，f (x )＝－32sin 2x ＋12，∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12.又f (C 2)＝－14，∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32.∵在△ABC 中，cos B ＝13，∴sin B ＝ 1－（13）2＝223，∴由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83.∴b ＝83.[学业水平训练]一、填空题1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求． 答案：120°2．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝63，A ＝30°，则c ＝________．解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－18c ＋72＝0，从而c ＝6或12. 答案：6或12 3．(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________．解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π34．已知三角形三边的比为2∶3∶4，则三角形的形状为________三角形．解析：由题设，记a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－312＝－14<0.答案：钝角5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为________． 解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝3x ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋4x 2－9x 22×3x ×2x ＝13.答案：136．(2014·铜陵高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c，则△ABC 是________三角形．解析：在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c，∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝b c，∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.则△ABC 是直角三角形． 答案：直角7．已知向量a 和b 的模分别为2和3，且|a －b |＝19，则a ，b 的夹角为________．解析：a ，b ，a －b 可构成三角形，由余弦定理，得cos 〈a ，b 〉＝4＋9－192×2×3＝－12.∴〈a ，b 〉＝23π.答案：23π二、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab ·cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36.∴c ＝6.9．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，AB ＝126，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(海里)，所以A 处与D 处的距离为24海里．(2)在△ACD 中，AC ＝83，AD ＝24，∠CAD ＝30°， 由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2·AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192，所以CD ＝83(海里)．所以灯塔C 与D 处的距离为83海里．[高考水平训练]一、填空题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当a 2＋c 2≥b 2＋ac 时，角B 的取值范围为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥12，又B ∈(0，π)，故B ∈(0，π3]．答案：(0，π3]2．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a ，b ，c 的关系是________．解析：cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知等式得：a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，∴a ＋c ＋a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理得a ＋c ＝2b . 答案：a ＋c ＝2b 二、解答题3．在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解：由正弦定理a sin A ＝c sin C 及A ＝2C ，得cos C ＝a 2c ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－c 2＋168a.从而有a 2－c 2＋168a ＝a 2c，∴4a 2＝a 2c －c 3＋16c ，整理得a 2(c －4)＝c (c 2－16)． ∵B >C ，∴b >c .∴c ≠4，∴a 2＝c (c ＋4)．又a ＋c ＝8，∴a ＝245，c ＝165.4．在△ABC 中，若已知三边的长为连续正整数，最大的角为钝角． (1)求最大的角的余弦值；(2)求以此最大的角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积． 解：(1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大的角为θ，则cos θ＝n 2＋（n ＋1）2－（n ＋2）22·n ·（n ＋1）<0，化简得n 2－2n －3<0⇒－1<n <3. ∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2， ∴n ＝2.∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－14.(2)设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为S＝a (4－a )·sin θ＝154(4a －a 2)＝154[－(a －2)2＋4]≤15.当且仅当a ＝2时，S max ＝15.[学业水平训练]一、填空题1．已知△ABC 的面积为14(a 2＋b 2－c 2)，其中边a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，则C＝________．解析：S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab cos C ，又S ＝12ab sin C ，所以sin C ＝cos C ，而C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π42．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝（b －c ）2＋bc2bc>0.答案：锐角3．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c ＝________．解析：a ＝4，b ＝43，cos A ＝48＋c 2－162×43c＝32，解得c ＝4或c ＝8. 答案：4或84．在△ABC 中，已知c ＝2a cos B ，则△ABC 是________三角形．解析：由余弦定理及已知条件知a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝c2a，∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2，亦即a ＝b . 答案：等腰5．在△ABC 中，若A ＝2B ，且2a ＝3b ，则sin B ＝________． 解析：由正弦定理得2sin A ＝3sin B ，又∵A ＝2B ，∴2sin 2B ＝3sin B ，∴cos B ＝34，∴sin B ＝74.答案：746．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为________．解析：由余弦定理，求得c ＝7，再由正弦定理sin A ＝a sin C c ，可得sin A ＝5314.答案：53147．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围为________．解析：若x 为最大的边，则4＋9－x 2>0，解得x 2<13；若3为最大的边，则4＋x 2－9>0，解得x 2>5，故5<x <13，即x 的取值范围是(5，13)．答案：(5，13) 二、解答题8．在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理，得(a 2－b 2)(a 2＋b 2＋c 2)＝0. ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为 (sin A －sin C cos B )·sin B ＝(sin B －sin C ·cos A )·sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．9．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值． 解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B ，由正弦定理得12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin （120°－B ）sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B＝32tan B ＋12，∴tan B ＝12. [高考水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，A ＝30°，则满足条件的三角形有________个． 解析：如图，b sin A ＝4×12＝2<a ，且a <b .再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c 有两个值．答案：22．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A的值为________．解析：S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，解出c ＝4.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13， a sin A ＝1332＝2393. 答案：2393二、解答题3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2sin A ＝3cos A . (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值． (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得： 2sin 2 A ＝3cos A ，即2cos 2 A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍)，∵a 2－c 2＝b 2－mbc ， ∴m 2＝b 2＋c 2－a 22bc，由余弦定理的推论得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴m 2＝12，∴m ＝1， (2)∵cos A ＝12，∴sin A ＝32，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc .又∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴3＝b 2＋c 2－bc ＝(b －c )2＋bc ≥bc ，∴S △ABC ＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1.(1)求角A 的大小； (2)现给出三个条件： ①a ＝1；②b ＝2sin B ；③2c －(3＋1)b ＝0.试从中选择两个条件求△ABC 的面积．解：(1)由tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1， 得tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－33.所以tan(B ＋C )＝－33. 则tan A ＝－tan(B ＋C )＝33，所以A ＝π6. (2)方案一：选择①③.∵A ＝30°，a ＝1，2c －(3＋1)b ＝0，所以c ＝3＋12b ，则根据余弦定理，得12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32，解得b ＝2，则c ＝6＋22.∴S △ABC ＝12bc sin A＝12×2×6＋22×12＝3＋14. 方案二：选择②③.可转化为选择①③解决，类似也可． (注：选择①②不能确定三角形)[学业水平训练]一、填空题1．有一山坡，倾斜角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为________米．解析：如图，h＝BC sin 30°＝(AB sin 30°)·sin 30°＝100，∴AB＝400.答案：4002．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船速度为2m/s，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________方向行驶．解析：如图小船从A处过河，则设小船行驶的方向与岸成α，则因为水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，则α＝45°，小船的方向与水速成180°－45°＝135°.答案：135°3．在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔基沿直线行走30 3 m后，测得塔顶的仰角为2θ，再沿直线向塔基行进30 m后，又测得塔顶仰角为4θ，则塔高________m.解析：如图，BC ＝CP ＝30，BP ＝AB ＝303， 由余弦定理可得∠BCP ＝120°. ∴∠PCD ＝60°. ∴PD ＝15 3. 答案：15 34．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，由已知AC ＝60 km ， B ＝45°，∠BAC ＝30°， ∴由正弦定理得： BC sin 30°＝60sin 45°，∴BC ＝30 2 km. 答案：30 25．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120 m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝180°－30°－75°＝75°.∴AC ＝AB ＝120 m.∴河宽CD ＝12AC ＝60 m.答案：60 6．(2014·徐州调研)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．解析：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米)．由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．答案：0.67. CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米．解析：在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD 中，由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500.∴CD ＝350米． 答案：350 二、解答题8. 如图，海中有一小岛B ，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？解：过点B作BD⊥AE交AE于D，由已知，AC＝8，∠ABD＝75°，∠CBD＝60°，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan 75°，在Rt△CBD中，CD＝BD·tan∠CBD＝BD·tan 60°，AD－CD＝BD(tan 75°－tan 60°)＝AC＝8，BD＝8tan 75°－tan 60°＝4＞3.8.因此该军舰没有触礁的危险．9. 一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行从A出发直接到达C ，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile ，cos 137°≈0.731 4，sin 19°≈0.325 5)解：在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°. AC ＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋542－2×67.5×54×cos 137°≈113.15.sin ∠CAB ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝54sin 137°113.15≈0.325 5.∴∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.∴此船应沿北偏东56.0°方向航行，需航行113.15 n mile.[高考水平训练]一、填空题1．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析：由b a ＋ab＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案：42．一梯形的两腰长分别为4和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为________．解析：如图，在梯形ABCD 中，(其中AD ∥BC )，设AB ＝4，DC ＝6.若∠ABC ＝60°，作AE ∥DC ，则∠DCB ＝∠AEB <60°.在△ABE 中，由正弦定理可得sin ∠AEB 4＝sin 60°6，则sin ∠AEB ＝33，因为∠AEB ＝∠DCB <60°，所以cos ∠AEB ＝63. 若∠AEB ＝60°，则∠ABC >60°，作AE ∥DC ，在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＋AE 2－AB 22·BE ·AE＝12，即BE 2＋20＝6·BE ，方程无解． 综上，另一底角的余弦值为63. 答案：63二、解答题3．如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P 的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OPtan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝OPtan 45°＝h .在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.∴h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13.3(m)．∴旗杆的高度约为13.3 m .4. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10 min ，从D 沿DA 走到A 用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，求该扇形的半径OA 的长．(精确到1 m)解：法一：设扇形的半径为r m.由题意，得CD ＝500(m)，DA ＝300(m)，∠CDO ＝60°. 在△CDO 中，应用余弦定理有 CD 2＋OD 2－2CD ·OD cos 60°＝OC 2，即5002＋(r －300)2－2×500(r －300)×12＝r 2，解得r ＝4 90011≈445(m)．法二：连结AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于点H .由题意，得CD ＝500(m)， AD ＝300(m)，∠CDA ＝120°. 在△ACD 中，应用余弦定理有 AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ·AD cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC ＝700(m)．∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝1114.在Rt △AOH 中，AH ＝350(m)，cos ∠HAO ＝1114.∴OA ＝AH cos ∠HAO ＝4 90011≈445(m)．[学业水平训练]一、填空题1．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd . 答案：cd 2．(2014·镇江质检)下列数列： ①0，0，0，0； ②0，1，2，3，4； ③1，3，5，7，9； ④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列． 答案：33．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于______． 解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴3B ＝180°，∴B ＝60°. 答案：60°4．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为________． 解析：a 4－a 2＝2d ＝(－2)－2＝－4， ∴d ＝－2. 答案：－25．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝________．解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7.答案：76．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________．解析：设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，∴a 2－a 1＝d 1，y －x ＝4d 1，∴a 2－a 1＝14(y －x )，同理b 3－b 2＝15(y －x )，∴a 2－a 1b 3－b 2＝14（y －x ）15（y －x ）＝54.答案：547．设x 是a 与b 的等差中项，且x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 之间的关系是__________________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2xa 2－b 2＝2x 2，消去x 即可得：a ＝－b 或a ＝3b . 答案：a ＝－b 或a ＝3b 二、解答题8．已知数列{a n }满足：a n ＝2a n －12＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{1a n }是不是等差数列？说明理由．解：由题意可得，1a n ＝2＋a n －12a n －1＝1a n －1＋12(n ≥2)，即1a n －1a n －1＝12(n ≥2)． 根据等差数列的定义可知数列{1a n}是等差数列．9．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为多少？ 解：由log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列， 得2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)． ∴(2x －1)2＝2·(2x ＋11)， 化简，得(2x )2－4·2x －21＝0.解得2x ＝7或2x ＝－3(舍去)，故x ＝log 27.[高考水平训练]一、填空题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b a 2＋c 2＝2b 2，消去b ，知(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而2a ＝2b ， ∴a ＝b ，即a ＝b ＝c . 答案：a ＝b ＝c 2．(2014·盐城高二检测)已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有________个．解析：由已知2b ＝a ＋c ，而ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式为 Δ＝(2b )2－4ac ＝4(b 2－ac )＝4[（a ＋c ）24－ac ]＝(a －c )2≥0，∴y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有1个或2个．答案：1或2 二、解答题3．若三个数a －4，a ＋2，26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解：显然a －4＜a ＋2，①若a －4，a ＋2，26－2a 成等差数列， 则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)∴a ＝6，相应的等差数列为：2，8，14. ②若a －4，26－2a ，a ＋2成等差数列， 则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )∴a ＝9，相应的等差数列为：5，8，11. ③若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列， 则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2，8，14.4．已知数列{a n }成等差数列(a k 与公差d 均不为零)． (1)求证：方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0有一公共根；(2)若上述方程的另一根为x k ，求证：{11＋x k}为等差数列．证明：(1)∵{a n }是等差数列，故2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2. 即a k (－1)2＋2a k ＋1(－1)＋a k ＋2＝0.∴x ＝－1是方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0的一个公共根．(2)由根与系数的关系，得(－1)x k ＝a k ＋2a k ＝a k ＋2da k.∴x k ＝－1－2d a k .∴1＋x k ＝－2da k .又d ≠0，∴11＋x k＝－a k2d .∴11＋x k ＋1－11＋x k＝－a k ＋12d －(－a k2d )＝－a k ＋1－a k 2d＝－d 2d ＝－12.∴{11＋x k}是等差数列．[学业水平训练]一、填空题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3，a 9是方程x 2－4x ＋2＝0的两个根，则a 6＝________． 解析：∵2a 6＝a 3＋a 9＝4，∴a 6＝2. 答案：22．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是________． 解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0， ∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3. 答案：a n ＝2n －33．数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，n ∈N *，则a 101＝________. 解析：根据题意，得2a n ＋1－2a n ＝1，2a 1＝4. ∴{2a n }是首项为4，公差为1的等差数列， ∴2a 101＝4＋(101－1)＝104，∴a 101＝52.答案：52 4．(2014·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列， 所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27. 法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.答案：275．数列{a n }中，首项a 1＝3，且有2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：递推关系式2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，两边同时除以a n ＋1·a n ，可得2（a n ＋1－a n ）a n ＋1·a n＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－12.若令b n ＝1a n ，显然数列{b n }是以－12为公差的等差数列且首项b 1＝1a 1＝13.所以b n ＝13＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以a n ＝1b n ＝65－3n.答案：a n ＝65－3n6．设首项为－20的数列{a n }为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a 8＝a 1＋（8－1）d ＝－20＋7d >0，解得⎩⎨⎧d ≤103，d >207.从而d 的取值范围是(207，103]．答案：(207，103]7．如果f (n ＋1)＝2f （n ）＋12(n ＝1，2，3，…)且f (1)＝2，则f (2 014)等于________．解析：∵f (n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f (n )＋12，∴f (n ＋1)－f (n )＝12，即数列{f (n )}是首项为2，公差为12的等差数列．所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32，∴f (2 014)＝12×2 014＋32＝1 008.5.答案：1 008.5 二、解答题8．设等差数列{a n }中，a n >0，a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，求通项a n . 解：法一：∵{a n }为等差数列，∴a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)，则a n －1－（a n －1＋a n ＋1）24＋a n ＋1＝0⇒4(a n －1＋a n ＋1)＝(a n －1＋a n ＋1)2，又a n －1＋a n ＋1>0，所以a n －1＋a n ＋1＝4. 又a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2. 法二：∵{a n }为等差数列， ∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1. 根据题意，得2a n －a 2n ＝0. ∵a n >0，∴a n ＝2.法三：设a n ＝pn ＋q (p ，q 均为常数)． 代入a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0化简， 得p 2n 2＋(2pq －2p )n ＋q 2－2q ＝0， 因为此式对一切n 均成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝0，2pq －2p ＝0，q 2－2q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以a n ＝0或a n ＝2，因为a n >0，所以a n ＝2.9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N *.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[高考水平训练]一、填空题1．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2 014＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0， 由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220. ∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2 014＝4 027. 答案：4 0272．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 答案：19 二、解答题3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 3＝10.若b n ＝12a n －30，求：(1)数列{b n }的通项公式； (2)|b n |的最小值．解：(1)由题意，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，故数列{a n }为等差数列．又a 1＝2，a 3＝10，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝4，所以a n ＝4n －2，从而b n ＝12a n －30＝2n －31.(2)由2n －31≥0，解得n ≥312.又n ∈N *，所以当1≤n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0.又数列{b n }为递增数列，从而b 15是前15项中绝对值最小的，b 16是15项之后绝对值最小的．而|b 15|＝1，|b 16|＝1，所以|b n |的最小值为1.4．已知{a n }是等差数列且a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列．求：(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？ 解：(1)记新的等差数列为{b n }，设其公差为d .则d ＝3－24＝14，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2＋14(n －1)，又原数列第12项为13.令2＋(n －1)·14＝13，解得n ＝45.∴原数列的第12项为新数列的第45项．(2)是．理由：∵b 29＝2＋28×14＝9，令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.∴新数列的第29项是原数列的第8项．[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列； ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列； ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确． 答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________． 解析：设它们的等比中项为A ， 则A 2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A ＝±13. 答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________． 答案：非零的常数数列 4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b ，b ，b ，b .解析：①②③为等比数列，④只有b ≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：3 5．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c __________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a ＝log 23，b ＝log 26，c ＝log 212， ∵2log 26＝log 236＝log 23＋log 212， ∴2b ＝a ＋c ，∴a ，b ，c 成等差数列． 但(log 26)2≠log 23·log 212， ∴a ，b ，c 不成等比数列． 答案：成 不成6．如果a ，b ，c 成等比数列，那么函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴没有交点． 答案：07．若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝________． 解析：由等比中项得b 2＝9，且b 与奇数项的符号相同， 故b ＝－3.又－1，a ，b 成等比数列， ∴a 2＝－1×b ＝3，同理c 2＝27， ∴a 2c 2＝3×27＝81，又a ，c 符号相同，∴ac ＝9. 答案：－3 9 二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n －1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a ，a 2，a 3，…，a n ，….解：(1)记数列为{a n }，∵a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n －1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…. ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…， 显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为aq，a ，aq ，由已知可得⎩⎨⎧aq＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092，所以⎩⎨⎧a （1q＋1＋q ）＝26，a 2（1q2＋1＋q 2）＝1 092.由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a2＋1，解得a ＝－8，q ＝－4或－14.所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题 1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012， ∴2a 2 012－a 22 012＝0， ∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2， ∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4. 答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )． ∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100.答案：100 二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2， 故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8； 若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4； 若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)． 综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x2－10， 解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25) ＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．[学业水平训练]一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________． 解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2， ∴a n ＝2n . 答案：a n ＝2n2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 6＝6，则a 9＝________． 解析：易知a 3，a 6，a 9也成等比数列，所以a 26＝a 3a 9， 解得a 9＝18. 答案：183．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)， ∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9＝log 3a 45＝log 3343＝43. 答案：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：－76．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60 ①a 1q 3－a 1q ＝24 ②，①②得a 1（q 4－1）a 1q （q 2－1）＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列．答案：2或127．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.综上可知，q 为2或12.答案：8 二、解答题8．数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式． 解：∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，∴b 1＝0，C 1＝－2，∴{C n }为等比数列，∴C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n －2.∴b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－(12)n －2.9．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解：法一：按等比数列设三个数为：a ，aq ，aq 2， 则a ，aq ＋4，aq 2成等差数列， 即2(aq ＋4)＝a ＋aq 2.①又a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列， 即(aq ＋4)2＝a (aq 2＋32)⇒aq ＋2＝4a .②①②两式联立解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝29q ＝－5，∴这三个数为：2，6，18或29，－109，509.法二：按等差数列设三个数为b －d ，b ，b ＋d ， 则原数列为b －d ，b －4，b ＋d . 由已知：三个数成等比数列，即(b －4)2＝(b －d )(b ＋d )⇒8b －d 2＝16，① 又b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列，即b 2＝(b －d )(b ＋d ＋32)⇒32b －d 2－32d ＝0.②①②两式联立，解得⎩⎨⎧b ＝269d ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10d ＝8，∴这三个数为29，－109，509或2，6，18.[高考水平训练]一、填空题1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．(其中97＝4.7×106，98＝4.3×107)解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36·(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36·(0.9)n －1≤18， 即(0.9)n ≤0.45，∵y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又0.97>0.45，0.98<0.45，故n ＝8. 答案：82．已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，给出下列六个数列：①{ka n }(k ≠0)；②{a 2n－1}；③{a n ＋1－a n }；④{a n a n ＋1}；⑤{na n }；⑥{a 3n }．其中仍能构成等比数列的有________(填序号)．解析：因为数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，所以a n ＝a 1q n －1.从而ka n ＝ka 1q n －1，且k ≠0，故数列{ka n }是首项为ka 1，公比为q 的等比数列．因为a 2n －1＝a 1q (2n －1)－1＝a 1(q 2)n －1，故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列．因为a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝(a 1q －a 1)q n －1，故数列{a n ＋1－a n }是首项为a 1q －a 1，公比为q 的等比数列．因为a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝a 21q (q 2)n －1，故数列{a n a n ＋1}是首项为a 21q ，公比为q 2的等比数列．因为na n ＝na 1q n －1，故数列{na n }不是等比数列．因为a 3n ＝a 31(q 3)n －1，故数列{a 3n }是首项为a 31，公比为q 3的等比数列． 答案：①②③④⑥ 二、解答题3．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －(1－23a n －1)＝－23a n ＋23a n －1，则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25， 所以数列{a n }为等比数列．令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1，所以a 1＝35，所以a n ＝35·(25)n －1.4．在等比数列{a n }中，若a 1＝128，a 8＝1. (1)求公比q 和a 12；(2)证明：依次取出数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n －2项，…，所得的新数列{a 3n －2}(n ∈N *)仍然是一个等比数列．解：(1)∵a 8＝a 1q 8－1，∴1＝128q 7.∴q 7＝1128.∴q ＝12，a 12＝a 1q 11＝128×(12)11＝116.(2)证明：∵a n ＝a 1q n －1＝128×(12)n －1，∴a 3n －2＝128×(12)(3n －2)－1＝128×(12)3n －3＝128×(18)n －1.∴数列{a 3n －2}是一个以128为首项，18为公比的等比数列．。