分类计数原理与分步计数原理[整理]
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。
它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。
分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。
这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。
分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。
在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。
二、分步计数原理分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。
分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。
这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。
分步计数原理的应用也非常广泛。
例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。
在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。
三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。
而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。
分类计数原理与分步计数原理
在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、 两 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分析:
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有 1 完成一件事，需要分成 个步骤。做第 步有m 个步骤 步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法， 步有m 种不同的方法，做第 步有 2种不同的方法， ……， ， 做第n步有 种不同的方法， 步有m 做第 步有 n种不同的方法，则完成这件事共有
N＝4＋3+2＝9 ＝ ＋ ＝
(2)从书架的第 、 2、 3层各取 本书 有多少种 从书架的第1、 、 层各取 本书,有多少种 层各取1本书 从书架的第 不同取法? 不同取法
N＝4 ×3×2＝24 ＝ × ＝
可以组成多少个三位数？ 例5、由0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？ 、 ， ， ， ， ， 可以组成多少个三位数 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析： 分析： 百 十 个
（1）分三步进行：第一步，考虑百位上的数字有 种不同 ）分三步进行：第一步，考虑百位上的数字有5种不同 情况；第二步，十位上的数字可有6种不同的情况 第三步， 种不同的情况； 情况；第二步，十位上的数字可有 种不同的情况；第三步， 个位上的数字有6种不同的情况 共有5X6X6=180 种不同的情况。 个位上的数字有 种不同的情况。共有 （2）分三步进行：首先百位上的数字可从 ，2，3，4，5 ）分三步进行：首先百位上的数字可从1， ， ， ， 中选出1个 种办法； 中选出 个，有5种办法；其次，十位上的数字从 ，2，3， 种办法 其次，十位上的数字从1， ， ， 4，5剩下的 个数字加上 这5个数字中选取 个，有5种不同 剩下的4个数字加上 个数字中选取1个 ， 剩下的 个数字加上0这 个数字中选取 种不同 的办法；最后，个位上的数字从剩余的4个数字中选出 个数字中选出1个 的办法；最后，个位上的数字从剩余的 个数字中选出 个， 种不同的办法。 有4种不同的办法。共有 种不同的办法 共有5X5X4=100 法二：本例可采用排除法， 法二：本例可采用排除法，如（1）先不考虑 在百位上的情 ）先不考虑0在百位上的情 在百位上时， 况，有6X6X6=216；再考虑 在百位上时，有6X6=36。共有 ；再考虑0在百位上时 。 216-36=180 （2）同学们可考虑用此办法来研究。 ）同学们可考虑用此办法来研究。
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理与分步计数原理详细解析
典型例题
层放有4本不同的计 例1: 图书馆的书架上第 层放有 本不同的计 : 图书馆的书架上第1层放有 算机书,第 层放有 本不同的文艺书,第 层放有 层放有3本不同的文艺书 算机书 第 2层放有 本不同的文艺书 第3层放有 2本不同的体育杂志 本不同的体育杂志. 本不同的体育杂志 (1)从书架上任取 本书 有多少种不同的取法 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法? 从书架上任取 本书,有多少种不同的取法 (2)从书架的第 , 2, 3层各取 本书 有多少种 从书架的第1, , 层各取 本书,有多少种 层各取1本书 从书架的第 不同取法? 不同取法
变式: 从温州到杭州旅游,可以乘火车 可以乘火车, 变式: 从温州到杭州旅游 可以乘火车,也可以乘汽
车,还可以乘飞机.若一天中火车有3列,汽车有 辆, 还可以乘飞机.若一天中火车有 列 汽车有2辆 汽车有 飞机有4 飞机有4架.那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法? 杭州有多少种不同的走法
农业 美术
旅游 数学
商业 体育
课堂练习
为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别 为了对某农作物新品选择最佳生产条件 在分别 种不同土质,2种不同施肥量 有3种不同土质 种不同施肥量 种不同种植密 种不同土质 种不同施肥量,4种不同种植密 种不同时间的因素下进行种植试验,则不同 度,3种不同时间的因素下进行种植试验 则不同 种不同时间的因素下进行种植试验 的实验方案共有_______种? 的实验方案共有 72 种
×
8
×
7
× 6 × 5 =151200
变式: 若要求最后6个数字不重复 个数字不重复,则又有多少 变式 若要求最后 个数字不重复 则又有多少 种不同的电话号码? 种不同的电话号码
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？ 【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？ 【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
【变式1】若用0到9这些数字组成四位数， 则有多少个？
【引申4】现要排一份5天的值班表，总共 有5个人，每天有一个人值班，每个人都可 以值多天班或不值班，但相邻两天不准由 同一个值班，问此值班表共有多少种不同 的排法？
【变式2】若用0到9这些数字组成各位数字 不相同的四位数，则有多少个？ 【引申5】现要排一份5天的值班表，总共 有5个人，每天有一个人值班，且每天值班 的人各不相同，问此值班表共有多少种不 同的排法？
分类计数原理 与 分步计数原理
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1) 分类计数原理：做一件事，完成它可 以有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有 N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．
练习： 1） 72 的正约数？其中偶约数？
作业 1、习题10.1 T1，2，3，6 2、思考：四人各写一张贺卡，相互 赠送，每人得到一张别人写的贺卡， 有几种不同的送法？
； / 铸铁地轨 t型槽平台 t型槽铁 t型槽地轨
来年の雅思琦，今天终于利用这各机会好好地杀咯杀她の锐气，心中总算是顺畅咯许多。淑清则因为被这各突如其来の变故搞懵咯，半天都没 有转过弯来，竟然破天荒地没能对雅思琦の冷嘲热讽做出有效の反击。惜月千算万算都没有算到，淑清姐姐居然因为水清妹妹失宠咯！这各结 果实在是大快人心！看她还敢不敢耀武扬威。只是兴奋之余，惜月又有点儿隐隐地担忧起来。怎么居然会是水清？假如是宋姐姐或是武姐姐， 也都无所谓咯，要家世没家世，要姿色没姿色，不足为惧。倒是这各年妹妹，塞外随行有小半年の时间呢！孤男寡女独自相处，就算是没有感 情の两各人都能培养出感情来，更何况水清妹妹又漂亮又聪明。若是因此得咯爷の宠，后果实在不堪设想！以前也没听说爷对她有啥啊好感， 更不要说恩宠咯。难道说爷和她是明修栈道，暗渡陈仓？给众人布下咯迷魂阵，使咯障眼法？这壹回因为走の时间太长，实在是忍不得相思之 苦，迫不得已才昭示天下？宋春枝只是有小小の壹点儿意外，远没有其它人那么震惊。毕竟她是从小就跟爷壹起，在永和宫里摸爬滚打中成长 起来の，对爷の喜好，她比任何壹各人都清楚，甚至可以说是咯如指掌，至于爷喜欢啥啊样の诸人，更是逃不过她の眼睛。而且在宫中当过差 の人，都有着极为敏锐の眼光。自从第壹天见到水清妹妹，春枝就预感到，这么多年咯，爷终于等到咯壹各最合他心意の壹各诸人。可是壹年 多来，王爷冷落咯水清这么长の时间，令她万分奇怪，难道这壹次真是自己看走眼咯？而现在，当雅思琦宣布由水清随行，她终于不露声色地 点咯点头：怪不得爷冷落咯她壹年，不，不是爷冷落咯她壹年，而是这各妹妹心气太高，跟爷欲擒故纵咯壹年。现在爷要利用这各千载难逢の 好机会，使出浑身数解，全力以赴去赢得美人心咯。壹想到这里，春枝又有些心疼起王爷来咯：唉，好不容易遇到壹各最对自己心思の诸人， 却又是壹各仆役脾气这么大の诸人，这回可是要有爷好受の咯，不知道会碰几鼻子の灰才能如愿以偿。希望年妹妹见好就收吧，过犹不及呢。 不管众人有多么の震惊，雅思琦可是没有闲功夫陪她们，她要尽快地把这些人打发走，因为她还有更重要の事情去做：“各位姐姐妹妹，爷の 话，我已经传到咯，各位也不要再纠缠这各问题，不要以为随行能有多么大の好处，水清妹妹这是替姐妹们受苦受累地服侍爷去咯，不是享福 去咯，她最辛苦，谁也不要再嚼舌根子。”众人见福晋の话说得非常重，因此全都不敢再言语。耿韵音高高兴兴地拉着惜月赶快起身告辞，李 淑清气鼓鼓地转身就走，宋春枝意味深长地看咯看水清妹妹，武云芳面无表情，不喜不悲。第壹卷 第219章 意外水清还没有从震惊
分类计数原理与分步计数原理课件
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理1.定义与基本概念2.描述设A和B为两个集合，其中，A，表示集合A的元素个数，则分类计数原理可以表示为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B3.应用举例例如，假设班有30个学生，其中20个学生喜欢音乐，25个学生喜欢摄影，而有10个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
那么根据分类计数原理，班上至少有多少学生既喜欢音乐又喜欢摄影呢？根据分类计数原理的公式，我们可以得到：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A表示喜欢音乐的学生集合，B表示喜欢摄影的学生集合，A，表示喜欢音乐的学生人数，B，表示喜欢摄影的学生人数，A∩B，表示既喜欢音乐又喜欢摄影的学生人数。
带入已知条件，可以得到：A∪B，=20+25-10=35所以，至少有35个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
1.定义与基本概念分步计数原理（Principle of Multiplication）是指当一个任务可以分解为若干个相互独立的步骤进行时，事件的总数等于各步骤个数的乘积。
2.描述分步计数原理是一种基于排列和组合的计数方法，用于计算在一个事件中各步骤个数的乘积。
具体的描述如下：设任务可分解为若干个步骤进行，其中第i个步骤有n(i)种可能的选择，且各个步骤之间的选择是相互独立的。
此时，该任务的总数为：N=n(1)*n(2)*...*n(k)其中，N表示任务的总数，n(i)表示第i个步骤的选择个数，k表示步骤的总数。
3.应用举例例如，班有30个学生，其中有10个男生和20个女生，另外还有3个学科竞赛：数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛。
如果每个竞赛只允许一位学生参加，并且每个学生只能参加一个竞赛，那么参加这三个竞赛的可能性有多少种呢？根据分步计数原理的公式，我们可以得到：N=n(1)*n(2)*n(3)其中，n(1)表示数学竞赛的参赛人数，n(2)表示物理竞赛的参赛人数，n(3)表示化学竞赛的参赛人数。
根据已知条件，数学竞赛只能有10个人参加，物理竞赛有30-10=20个人参加，化学竞赛有30-10-20=0个人参加（没有学生参加化学竞赛）。
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（又称加法原理） 分类计数原理：
完成一件事情，有 n 类办法，在第1类 办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不 同的方法……在第n类办法中有 mn种不同的方法.那么 完成这件事共有
N=m1 + m2 + … + mn
种不同的方法.
问题2、国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工 作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫 困生午饭可买两盘菜（蔬菜类 + 肉类），学校食堂的菜单如下 表，请问有多少种不同的选法。 所有选法
问：在菜单不变的前提下，尝试在蓝色方框内给出一个条件， 给出一个新题!
课 堂 小结
两个思想: 特殊到一般、分类讨论。
分类计数原理、分步计数原理 两个原理：
课外作业
1．课本第87页的习题10.1第1，3题
探究：
炮
1、图1中, “红马” 在最少 步数内吃到“兰炮”的 不同方法数有几种?
马
图1
马
2、图2中“兰炮”在兰色 区域内且在4步之内吃到 “红马”的不同方法数有 几种？
练习. 3、 国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报 告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生 午饭可买 两盘菜（蔬菜类 + 肉类）， 学校食堂的菜单如 下表，请问有 种不同的选法。 ( 菜单 )
菜的种类 蔬 菜类 肉 类 汤类 花菜 猪肉 蛋汤 菜的样式
萝卜
白菜
豆汤
菜的种类 蔬菜类 肉 类 总 数
( 菜单1 )
花菜 猪肉 菜的样式 萝卜 牛肉
每类数量
2
2
4
菜的种类 蔬 菜类 肉 类 总数
(菜单 2 )
菜的样式
每类 数量
花菜 猪肉 萝卜 牛肉 白菜
3
2
5
问：对比两个表格你能得到每类数量与总数间的关系？
问题1、西部某省的贫困生，由于家庭经济原因，午饭只能买 一盘菜，学校食堂的菜单如下，请问有多少种不同的选法。
分步计数原理： （针对的是“分步”问题） ① 各个步骤中的方法相互依存。 ② 只有各个步骤都完成，才算完成这件事。
注意： ①完成的事件是什么！
ห้องสมุดไป่ตู้
②原理的选择。
例2.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少种不同 的取法？ 解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法： 第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种办法； 第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种办法； 第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种办法； 根据分类计数原理，不同取法的种数是 N=4+3+2=9 答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。 （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可分3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种办法； 第2步从第2层取1本文艺书，有3种办法； 第3步从第3层取1本体育书，有2种办法； 第3步从第3层取1本体育书，有2种办法； 根据分步计数原理，不同取法的种数是 N=4×3×2=24 答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
卒
炮
图2
谢 谢 ！
例3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9 共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码?
解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号 盘上的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取 1个数字组成的四位数字号码的个数是 N=10×10×10×10=10000 答：可以组成10000个四们数字号码。
每类数量
… 第n类 … 蛋汤 … 豆汤 … … … … 菜汤
总数
… 羊肉
m1
m2
mn
m1×m2×…×mn
分步计数原理: （又称乘法原理）
完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有 m2 种不同的方法…… 做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有
N = m1 × m2 × … × mn
卡斯帕罗夫：俄罗斯人，国际象棋棋手，世界顶尖 高手，纵横国际棋坛二十余年，无人能敌。 但1997年5 月11日，卡斯帕罗夫在美国纽约与“深蓝”（IBM 公司 超级计算机）之间的“最后决战” 中以3.5比2.5的总 比分告负！
分类计数原理与分步 计数原理
问题1、西部某省的贫困生，由于家庭经济原因，午饭只能买 一盘菜，学校食堂的菜单如下，请问有多少种不同的选法。
种不同的方法.
例 题 1.填空： ①一件工作可以用2种方法完成，有 4 5 人会用第1种 方法完成， 另有4人会用第2种方法完成， 从中选 出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 .
②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条， 从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
分类计数原理： （针对的是“分类”问题） ① 用其中任何一种方法均可独立完成这件事。 ② 各类的方法间关系是相互独立。 ③ 同一类中的各种方法也是相对独立。
菜的种类
( 菜单3 )
菜的样式
每类数量
蔬菜类 花菜 萝卜
肉 类
总数
…
猪肉 牛肉
…
竹笋
羊肉
m1
m2 m1+m2
总数
菜 单 4
菜的种类 第 1 类 花菜 萝卜 菜的样式 … 竹笋
每类数量
第2类 … 第n类
猪肉 牛肉 … 羊肉
m1
m2
… 蛋汤 … 豆汤 … … … 菜汤 mn m1 + m2 + … + mn …
菜的种类 蔬菜类 肉 类 总 数
( 菜单1 )
花菜 猪肉 菜的样式 萝卜 牛肉
每类数量
2
2
4
花菜 + 猪肉 花菜 + 牛肉 萝卜 + 猪肉 萝卜 + 牛肉
所有选法
菜的种类 蔬 菜类 肉 类 总数
(菜单 2 )
菜的样式
每类数量
花菜 猪肉 萝卜 牛肉 白菜
3
2
6
花菜 + 猪肉 花菜 + 牛肉 萝卜 + 猪肉 萝卜 + 牛肉 白菜 + 牛肉 白菜 + 猪肉
变题1、 国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府 工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的 贫困生午饭可买 三盘菜 （蔬菜类 肉类 + 汤类), 两盘菜 (蔬菜类 + + 肉类）， 学校食堂 的菜单如下表，请问有多少种不同的选法。 (菜单 3)
菜的种类 蔬 菜类 肉 类 汤类 青菜 猪肉 蛋汤 菜的样式
萝卜 每类数量 豆汤
总数
2
1
2
4
请同学们对菜单进行大胆的扩展。
变题2、 国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府 工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的 贫困生午饭可买 n 盘菜（每类 1 盘）， 学校食堂的菜单如下表， 请问有多少种不同的选法。
蔬菜类型 第 1 类 第 2 类 青菜 猪肉 蔬菜样式 萝卜 牛肉 … 竹笋