第9章 应力状态与强度理论(3)
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强度理论
在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截 面上，该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力 和切应力分别比较接近前面求得的max和max，且该 点处于平面应力状态，故需利用强度理论对该点进 行强度校核。
M max ya 80103 N m 135103 m 122.7 MPa 6 4 Iz 8810 m
第9章 强度理论
9-1 强度理论概述
强度条件： max
[ ]
适用于单向应力状态，σmax为拉（压）杆横截面上 的正应力或梁横截面上的最大弯曲正应力。
max [ ]
适用于纯剪切应力状态，τmax为圆轴扭转时横截 面上的最大切应力或梁在横力弯曲时横截面上的 最大弯曲切应力。
[σ]或[τ]是由拉伸（或压缩）试验或纯剪切试验所
且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时
需先求主应力值等的麻烦，可直接利用图示应力状
Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
铸铁拉伸时沿试件的横截面断裂
铸铁圆轴扭转时沿与轴线约成 450的螺旋面断裂。 断裂与最大拉应力或最大拉应变有关，是拉应力 或拉应变过大所致。
低碳钢拉伸至屈服时，会出现与轴线约成450 的滑移线。
低碳钢圆轴扭转时沿纵横方向出现滑移线。
屈服或显著塑性变形是切应力过大所致。
2
2 0
3 2 27.7 MP a 2 2
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第 四强度理论校核a点的强度。
r3 1 3 150.4 MPa 27.7 MPa 178.1 MPa
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
M max ya 80103 N m 135103 m 122.7 MPa 6 4 Iz 8810 m
第9章 强度理论
9-1 强度理论概述
强度条件： max
[ ]
适用于单向应力状态，σmax为拉（压）杆横截面上 的正应力或梁横截面上的最大弯曲正应力。
max [ ]
适用于纯剪切应力状态，τmax为圆轴扭转时横截 面上的最大切应力或梁在横力弯曲时横截面上的 最大弯曲切应力。
[σ]或[τ]是由拉伸（或压缩）试验或纯剪切试验所
且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时
需先求主应力值等的麻烦，可直接利用图示应力状
Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
铸铁拉伸时沿试件的横截面断裂
铸铁圆轴扭转时沿与轴线约成 450的螺旋面断裂。 断裂与最大拉应力或最大拉应变有关，是拉应力 或拉应变过大所致。
低碳钢拉伸至屈服时，会出现与轴线约成450 的滑移线。
低碳钢圆轴扭转时沿纵横方向出现滑移线。
屈服或显著塑性变形是切应力过大所致。
2
2 0
3 2 27.7 MP a 2 2
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第 四强度理论校核a点的强度。
r3 1 3 150.4 MPa 27.7 MPa 178.1 MPa
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
材料力学-单祖辉-第三版课后答案-(第九章—第十九章)
3Fx 4a 2
[
]
x2 0.1277x6.39104 0
由此得切口的允许深度为
x5.20 mm
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为 εa =1.0×10-3
2Sz(a)
S z,max
[2.23104
1 0.0085(0.140 0.0137)2 ]m3 2
2.90104 m3
式中：足标 b 系指翼缘与腹板的交界点；足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3．应力计算及强度校核
三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。
a 点处的正应力和切应力分别为
x1
4F πD 2
x2 0
设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为 p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为
t2
pD 2
(a)
在外压 p 作用下（图 b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为
r1 t1 p
根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为
t1
1 E1
t1
1
x1
松比 均为已知。试求内压 p 与扭力偶矩 M 之值。
题 9-14 图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 9-14 所示。
图中所示各应力分量分别为
图 9-14
由此可得
x
pD 4
,
t p2D,
2M πD2
σ0 σ x , σ90 σt ,
σ 4 5
τ
3pD, 8δ
根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为
σ1
σ2
σt
pD，σ 4δ
3
0
9-13 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为
材料力学第9章 强度理论
由于物体在外力作用下所发生的弹性变形既包括 物体的体积改变，也包括物体的形状改变，所以可推 断，弹性体内所积蓄的变形比能也应该分成两部分： 一部分是形状改变比能（畸变能） ，一部分是体积改 变比能 。 在复杂应力状态下，物体形状的改变及所积蓄的 形状改变比能是和三个主应力的差值有关；而物体体 积的改变及所积蓄的体积改变比能是和三个主应力的 代数和有关。
注意：图示应力状态实际上为弯扭组合加载对 应的应力状态，其相当应力如下：
r 3 2 4 2 [ ] 2 2 [ ] r 4 3
可记住，便于组合变形的强度校核。
例1 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论 求相当应力。
120 MPa 140 MPa
r4
1 2 2 2 [(0 120) ( 120 120) ( 120 0) ] 120MPa 2
140 MPa
（2）单元体（b）
σ1 140MPa
σ 2 110MPa
σ3 0
110 MPa
σr 3 σ1 σ 3 140MPa 1 2 2 2 σr 4 [30 110 ( 140) ] 128MPa 2
1u
1u
E
b
E
1 1 1 2 3 E
1u
1u
E
b
E
1 2 3 b
强度条件为： 1 2 3
b
n
[ ]
实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下,且压应 力值超过拉应力值时,该理论与实验结果相符合。
σ1 94 .72MPa σ 3 5 .28MPa
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
材料力学强度理论
纵截面裂开，这与第
二强度理论旳论述
基本一致。
例6、填空题
危险点接近于三向均匀受拉旳塑性材
料，应选用 第一 强度理论进行计算，
因为此时材料旳破坏形式
为
脆性断。裂
例8、圆轴直径为d，材料旳弹性模量为E，泊松比为 ，为了测得轴端旳力偶m之值，但只有一枚电阻片。 （1）试设计电阻片粘贴旳位置和方向； （2） 若按照你所定旳位置和方向，已测得线应变为
（一）、有关脆断旳强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
假定：不论材料内各点旳应力状态怎样， 只要有一点旳主应力σ1 到达单向拉伸断裂时旳 极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ] b
n
第一强度理论—最大拉应力理论
（二）强度校核 先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。
C截面
a．正应力强度校核（K1）点
max
k1
MC WZ
32 103 237 106
135Mpa 150Mpa
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
max
k2
FS hb
(200
100 103 22.8) 103 7 103
1 , 2 0, 3
第三强度理论旳强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
由此得： [ ]
2
剪切强度条件为： [ ]
按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
2
第四强度理论旳强度条件为：
1
2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
3 [ ]
第三强度理论
材料力学
材料力学
解：首先确定主应力
s1 s = s3 2
s2＝0
s 2
2
t
2
s t
材料力学
最大剪应力理
s r 3 = s 1 s 3 = s 2 4t 2
形状改变比能理 sr4=
1 2 2 2 ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 2 3 3 1 2
（第四强度理论，20世纪初，Mises） 无论材料处于什么应力状态，只要形 状改变比能达到极限值，就发生屈服破坏。
材料力学
s2 s3
s1
1 n 2 2 2 uf = ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 2 3 3 1 6E
s= ss
1 n 2 u = ss 3E
材料力学
（一）脆性断裂理论 1.最大拉应力理论（第一强度理论) 无论材料处于什么应力状态， 只要最大拉应力达到极限值，材料 就会发生脆性断裂。
材料力学
破坏原因：stmax（最大拉应力） 破坏条件：s1 = so （sb）
强度条件: s 1
sb
n
= s
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉； 铸 铁二向拉-拉， 拉-压（st＞ sc）
材料力学
§9-4 各种强度理论的 适用范围及其应用
各种强度理论的适用范围：
（1）三轴拉伸时，脆性或塑性材料都会发生脆性断裂，应采用 最大拉应力理论
（2）对于脆性材料，在二轴应力状态下应采用最大拉应力理论。
如果抗拉压强度不同，应采用莫尔强度理论 （3）对应塑性材料，应采用形状改变比能理论或最大剪应力理论
o f
材料力学
材料力学
解：首先确定主应力
s1 s = s3 2
s2＝0
s 2
2
t
2
s t
材料力学
最大剪应力理
s r 3 = s 1 s 3 = s 2 4t 2
形状改变比能理 sr4=
1 2 2 2 ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 2 3 3 1 2
（第四强度理论，20世纪初，Mises） 无论材料处于什么应力状态，只要形 状改变比能达到极限值，就发生屈服破坏。
材料力学
s2 s3
s1
1 n 2 2 2 uf = ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 2 3 3 1 6E
s= ss
1 n 2 u = ss 3E
材料力学
（一）脆性断裂理论 1.最大拉应力理论（第一强度理论) 无论材料处于什么应力状态， 只要最大拉应力达到极限值，材料 就会发生脆性断裂。
材料力学
破坏原因：stmax（最大拉应力） 破坏条件：s1 = so （sb）
强度条件: s 1
sb
n
= s
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉； 铸 铁二向拉-拉， 拉-压（st＞ sc）
材料力学
§9-4 各种强度理论的 适用范围及其应用
各种强度理论的适用范围：
（1）三轴拉伸时，脆性或塑性材料都会发生脆性断裂，应采用 最大拉应力理论
（2）对于脆性材料，在二轴应力状态下应采用最大拉应力理论。
如果抗拉压强度不同，应采用莫尔强度理论 （3）对应塑性材料，应采用形状改变比能理论或最大剪应力理论
o f
材料力学
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解：（1）求主应力
σ τ
x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
1. 强度理论的概念
考虑应力状态的可比性 10 3 10 5
如何比较这两个应力状态？
10
主应力
12
10
15
20
如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
§9–6 一般应力状态下的强度条件
1. 强度理论的概念
考虑实验的可行性
实际工况
1, 2, 3
r：相当应力，由三个主应力按
一定的形式组合而成
受同一规律支配
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 29.3 MPa 2 2
动脑又动笔
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 3.7 MPa 2 2
dV dW 1 F 2
F
F
V W
o
dx
dy
单向应力状态下的应变能密度
dz
dx
1
1 dV 2 (dydz )(dx ) 1 v dV dxdydz 2
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三向应力状态下的应变能密度
那么一般三向应力状态的应变能密度为
将用主应力表示的三向应力状态分解为a、b两种应力状态的叠加。
2
1
2
(a)
3
(b)
1
3
a) 为三向等拉应力状态，任意斜截面上都没有切应力，微 元只产生体积改变，而无形状改变。 b) 微元的体积应变为零，只产生形状改变，而无体积改变。
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
r1= 1≤[]
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 [ ] 2
r3= 1-3 ≤[]
动脑又动笔
【例8】构件内某点的应力状态如图所示，试用第三和第四强度理 论建立相应的强度条件。
该点的三个主应力分别为
1
( )2 2 2 0 2 2
3=
( )2 2 2 2
动脑又动笔
钢材在这种应力状态下可能发生屈服，故可采用第三或第四强度理论进
行强度计算，即
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
1 2 2 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2 将 =116.7MPa， = 46.3MPa 带入上式，可得
D
只改变体积不改变形状 第四强度理论相当应力
r4
1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 2 3 3 1 2
既改变体积又改变形状 第四强度理论相当应力又称 米泽斯应力。 第三、第四强度理论属于塑性屈服强度理论。
动脑又动笔
该点的三个主应力分别为
2 2 1 ( ) 2 2
2 0
3
( )2 2 2 2
（2）由第三和第四强度理论的强度条件为：
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
r4
1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2
v 1 2 2 [ 12 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
2
2
1
3
体积改变能密度 畸变能密度
3
1
1 2 3 3
vv
vd
3(1 2 ) 2 1 2 ( 1 2 3 ) 2 2E 6E
1 v ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
yபைடு நூலகம்
2 1 3
x
1
z
v
1 2 2 [ 1 2 32 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
0
该点的三个主应力分别为
1=29.3MPa，2 =3.7MPa，3 = 0
显然
1=29.3MPa≤ [σ]+=30MPa
故此危险点的强度是足够的。
动脑又动笔
【例10】某构件上危险点的应力状态如图所示， =116.7MPa， = 46.3MPa。材料为钢，许用应力[σ]=160MPa，试校核此构件是否安
max
1 ( 1 3 ) 2
S 1 [ ] s S S s s 2 2n 2
第三强度理论相当应力
r3= 1-3 ≤[]
第三强度理论相当应力又称 特雷斯卡应力。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第四强度理论 破坏的原因是形状改变比能超过许用值。
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6E 2 1 2 1 S 1 D S S [ ]2 3E 3E n 3E
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 选择强度理论首先考虑材料性质，同时也需考虑应力状态。 在三向等拉的应力状态下，塑性 材料也会出现脆性断裂现象。 在三向等压的应力状态下，脆性 材料也会出现塑性屈服现象。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。 在三向拉伸应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论。 在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。
1
两者第一主应力相等，第一主应变不等
b [ ] b b b [ ] b b E nE E
E nE E
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
第一、第二强度理论属于脆性断裂强度理论。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第三强度理论（最大切应力准则） 破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
全。
解：由题意可知
σ τ
x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
r=f (1, 2, 3)≤[]
强度理论
实验室的单向拉伸试验 关于材料在不同应力状态下失 效的共同原因的各种假设。
1= b/s, 2=0, 3=0
§9–6 一般应力状态下的强度条件
2. 四个常用的强度理论
第一强度理论（最大拉应力准则）
破坏的原因是第一主应力超过许用应力。当最大拉应力达到了与材料性质有 关的某一极限值，材料就会发生脆性断裂。
动脑又动笔
【例9】已知铸铁构件上危险点的应力状态如图所示，若铸铁的抗 拉许用应力[σ]+=30MPa，试校核该点是否安全。
23MPa 解：根据图示应力状态，在微元面上只有 拉应力无压应力，可认为铸铁将发生脆性 10MPa 11MPa 断裂，故采用最大拉应力理论，即
1
x =10MPa y=23MPa xy =-11MPa
2
dy
3
1
1 2 3
3 1 2 ( 1 2 3 ) E 3
dx
dz
体积胡克定律
K
K E 3(1 2 )
式中：体积弹性模量
平均应力
( 1 2 3 ) 3
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
四、体积胡克定律 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内 工作时，微元三对面上的力（其值为应力与 面积之乘积）在由各自对应应变所产生的位 移上所作之功dW，全部转变为应变能dV贮 存于微元内。
1
b
b
n
[ ]
第一强度理论相当应力
r1= 1≤[]
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第二强度理论（最大拉应变准则） 破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
1 1 1 ( 2 3 ) 1 E 1 ( 2 3 )
E
第二强度理论相当应力
构件都是安全的。
dy
3
1
dx
dz
定义：单位体积的体积改变 称为体应变，用 表示。
V1 V 1 2 3 V
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三、体积胡克定律
2
单元体的体积 变形前： V dxdydz 变形后： V1 (dx 1dx )(dy 2dy )(dz 3dz )
(1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz (1 1 2 3 )dxdydz
σ τ
x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
1. 强度理论的概念
考虑应力状态的可比性 10 3 10 5
如何比较这两个应力状态？
10
主应力
12
10
15
20
如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
§9–6 一般应力状态下的强度条件
1. 强度理论的概念
考虑实验的可行性
实际工况
1, 2, 3
r：相当应力，由三个主应力按
一定的形式组合而成
受同一规律支配
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 29.3 MPa 2 2
动脑又动笔
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 3.7 MPa 2 2
dV dW 1 F 2
F
F
V W
o
dx
dy
单向应力状态下的应变能密度
dz
dx
1
1 dV 2 (dydz )(dx ) 1 v dV dxdydz 2
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三向应力状态下的应变能密度
那么一般三向应力状态的应变能密度为
将用主应力表示的三向应力状态分解为a、b两种应力状态的叠加。
2
1
2
(a)
3
(b)
1
3
a) 为三向等拉应力状态，任意斜截面上都没有切应力，微 元只产生体积改变，而无形状改变。 b) 微元的体积应变为零，只产生形状改变，而无体积改变。
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
r1= 1≤[]
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 [ ] 2
r3= 1-3 ≤[]
动脑又动笔
【例8】构件内某点的应力状态如图所示，试用第三和第四强度理 论建立相应的强度条件。
该点的三个主应力分别为
1
( )2 2 2 0 2 2
3=
( )2 2 2 2
动脑又动笔
钢材在这种应力状态下可能发生屈服，故可采用第三或第四强度理论进
行强度计算，即
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
1 2 2 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2 将 =116.7MPa， = 46.3MPa 带入上式，可得
D
只改变体积不改变形状 第四强度理论相当应力
r4
1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 2 3 3 1 2
既改变体积又改变形状 第四强度理论相当应力又称 米泽斯应力。 第三、第四强度理论属于塑性屈服强度理论。
动脑又动笔
该点的三个主应力分别为
2 2 1 ( ) 2 2
2 0
3
( )2 2 2 2
（2）由第三和第四强度理论的强度条件为：
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
r4
1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2
v 1 2 2 [ 12 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
2
2
1
3
体积改变能密度 畸变能密度
3
1
1 2 3 3
vv
vd
3(1 2 ) 2 1 2 ( 1 2 3 ) 2 2E 6E
1 v ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
yபைடு நூலகம்
2 1 3
x
1
z
v
1 2 2 [ 1 2 32 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
0
该点的三个主应力分别为
1=29.3MPa，2 =3.7MPa，3 = 0
显然
1=29.3MPa≤ [σ]+=30MPa
故此危险点的强度是足够的。
动脑又动笔
【例10】某构件上危险点的应力状态如图所示， =116.7MPa， = 46.3MPa。材料为钢，许用应力[σ]=160MPa，试校核此构件是否安
max
1 ( 1 3 ) 2
S 1 [ ] s S S s s 2 2n 2
第三强度理论相当应力
r3= 1-3 ≤[]
第三强度理论相当应力又称 特雷斯卡应力。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第四强度理论 破坏的原因是形状改变比能超过许用值。
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6E 2 1 2 1 S 1 D S S [ ]2 3E 3E n 3E
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 选择强度理论首先考虑材料性质，同时也需考虑应力状态。 在三向等拉的应力状态下，塑性 材料也会出现脆性断裂现象。 在三向等压的应力状态下，脆性 材料也会出现塑性屈服现象。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。 在三向拉伸应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论。 在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。
1
两者第一主应力相等，第一主应变不等
b [ ] b b b [ ] b b E nE E
E nE E
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
第一、第二强度理论属于脆性断裂强度理论。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第三强度理论（最大切应力准则） 破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
全。
解：由题意可知
σ τ
x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
r=f (1, 2, 3)≤[]
强度理论
实验室的单向拉伸试验 关于材料在不同应力状态下失 效的共同原因的各种假设。
1= b/s, 2=0, 3=0
§9–6 一般应力状态下的强度条件
2. 四个常用的强度理论
第一强度理论（最大拉应力准则）
破坏的原因是第一主应力超过许用应力。当最大拉应力达到了与材料性质有 关的某一极限值，材料就会发生脆性断裂。
动脑又动笔
【例9】已知铸铁构件上危险点的应力状态如图所示，若铸铁的抗 拉许用应力[σ]+=30MPa，试校核该点是否安全。
23MPa 解：根据图示应力状态，在微元面上只有 拉应力无压应力，可认为铸铁将发生脆性 10MPa 11MPa 断裂，故采用最大拉应力理论，即
1
x =10MPa y=23MPa xy =-11MPa
2
dy
3
1
1 2 3
3 1 2 ( 1 2 3 ) E 3
dx
dz
体积胡克定律
K
K E 3(1 2 )
式中：体积弹性模量
平均应力
( 1 2 3 ) 3
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
四、体积胡克定律 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内 工作时，微元三对面上的力（其值为应力与 面积之乘积）在由各自对应应变所产生的位 移上所作之功dW，全部转变为应变能dV贮 存于微元内。
1
b
b
n
[ ]
第一强度理论相当应力
r1= 1≤[]
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第二强度理论（最大拉应变准则） 破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
1 1 1 ( 2 3 ) 1 E 1 ( 2 3 )
E
第二强度理论相当应力
构件都是安全的。
dy
3
1
dx
dz
定义：单位体积的体积改变 称为体应变，用 表示。
V1 V 1 2 3 V
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三、体积胡克定律
2
单元体的体积 变形前： V dxdydz 变形后： V1 (dx 1dx )(dy 2dy )(dz 3dz )
(1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz (1 1 2 3 )dxdydz