2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版+解析版
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x}，∴A∩B＝{x|x}，故A正确，B错误；A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：x＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵B＝{x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1．若集合，，则AB =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 解：，则，故选：A ． 2．已知集合，，则AB =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】，，又，所以，故本题选C.3．已知集合，，则A B =（ ）A ．B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．【答案】B 【解析】因为，∴．4．已知全集U =R ，集合，则()U A B =ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >，可得13x <<，所以集合,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =ð(]1,2，故选B.5．已知集合，集合，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合，，则()R M N ⋂ð=（ ）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】 由题意，集合，则或3}x ≥又由，所以，故选D.7．已知集合，，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】 因为，所以，又，所以.8．已知R 是实数集，集合，，则()AB =Rð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合 解析版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版解析版
22 243 3十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 08 数列一、选择题1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则()A.a n =2n-5C.S n =2n 2-8nB.a n =3n-10D.S n =1n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则()A.当 b=1时,a 10>10C.当 b=-2 时,a 10>10B.当 b=1时,a 10>10D.当 b=-4 时,a 10>103.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则()A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A. √2fB. √22f C. 12√25fD. 12√27f6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为()A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=()2B.192C.10D.122D.12D.n (n -1)3B.-13C.19D.-1432 2A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则()A.a 1d>0,dS 4>0B.a 1d<0,dS 4<0C.a 1d>0,dS 4<0D.a 1d<0,dS 4>010.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= (A.1712.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=()A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=()A.2B.1C.18 14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=()A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =(A.n(n+1)B.n(n-1)C.n (n+1)216.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=()A.1917.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则()A.S n =2a n -1B.S n =3a n -2C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n , A n B n C n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则()A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列))2.(2019·全国3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10= .43 41 S4 4D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=()A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=. S 53.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n∈N *)是等差数列,S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值是. 4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为.5.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3=3,则 S 4=.6.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 2=a 6,则 S 5=________.7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=.8.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为 a n =q n-1(n∈N *),前 n 项和为 S n ,若 lim a S n = 2,则 q=.n →∞ n+110.(2018·江苏·T14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为 .n11.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1 =____________.k=1 k 12.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=.13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=7,S 6=63,则 a 8=.14.(2016·浙江·理 T13 文 T13)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *,则 a 1=,S 5= .15.(2016·北京·理 T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a 1=6,a 3+a 5=0,则 S 6= . 16.(2016·全国 1·理 T15)设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2…a n 的最大值为.17.(2015·全国 1·文 T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S n =126,则 n=.18.(2015·湖南·理 T14)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,若 a 1=1,且 3S 1,2S 2,S 3 成等差数列,则 a n =.19.(2015·福建·文 T16)若 a,b 是函数 f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适a n =n+1(n∈N ).则数列{ }前 10 项的和为____________.*127.(2014·全国2·文 T16)数列{a n }满足 a n+1=,a 8=2,则 a 1=____________.13 3当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于.20.(2015·江苏·理 T11)设数列{a n }满足 a 1=1,且 a n+1-a n21.(2015·全国 2·理 T16)设 S n 是数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则 S n =.22.(2015·广东·理 T10)在等差数列{a n }中,若 a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则 a 2+a 8=.23.(2015·陕西·文 T13)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理 T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若 a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则 a 6 的值是.25.(2014 · 广 东 · 文 T13) 等 比 数 列 {a n } 的 各 项 均 为 正 数 , 且a 1a 5=4, 则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=.26.(2014·安徽·理 T12)数列{a n }是等差数列,若 a 1+1,a 3+3,a 5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=.1-a n28.(2014·北京·理 T12)若等差数列{a n }满足 a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当 n=时,{a n }的前 n 项和最大.29.(2014·天津·理 T11)设{a n }是首项为 a 1,公差为-1 的等差数列,S n 为其前 n 项和.若 S 1,S 2,S 4 成等比数列, 则 a 1 的值为.30.(2013·全国 2·理 T16)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10=0,S 15=25,则 nS n 的最小值为.31.(2013·辽宁·理 T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前 n 项和.若 a 1,a 3 是方程 x 2-5x+4=0 的两 个根,则 S 6=.32.(2013·全国 1·理 T14)若数列{a n }的前 n 项和 S n =2a n +1,则{a n }的通项公式是 a n =.33.(2012·全国·文 T14)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 3+3S 2=0,则公比 q=.三、计算题1.(2019·全国 2·文 T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16.(1)求{a n }的通项公式;(2)设 b n =log 2a n .求数列{b n }的前 n 项和.2.(2019·全国 2·理 T19)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于 0.已知 a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;b k ,n = 2k ,(2)记 c n =√ a n**,n∈N ,证(2)已知数列{bn }(n∈N )满足:b 1=1,* 1 = 2 − 2 ,其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和.b n ,n 为偶数,2(2)设数列{c n }满足 c n ={ 1,n 为奇数,求 a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n∈N *).24.(2019·天津·理 T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知 a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;1,2k < n < 2k1 ,(2)设数列{c n }满足 c 1=1,c n ={ 其中 k∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; 2n②求∑ a i c i (n∈N *).i=1 5.(2019 · 浙 江 · T 20) 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ,a 3=4,a 4=S 3. 数 列 {b n } 满 足 : 对 每 个 n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;2b n6.(2019·江苏·T 20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M - 数列”.(1)已知等比数列{a n }(n∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”;S nb n b n1①求数列{b n }的通项公式;②设 m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n∈N *),对任意正整数 k,当 k≤m 时,都有 c k ≤b k ≤c k+1 成立,求 m 的 最大值.7.(2018·北京·文 T15)设{a n }是等差数列,且 a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2.(1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1e a 2 +…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意 x∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为 1,公比为1的等比数列,b n =a n+1+1,n∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;(2)设数列{a n }的前四项为 a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合 M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数 m:(3)已知{a n }是公差为 d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在 b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200 中至少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为 a 1,公差为 d 的等差数列,{b n }是首项为 b 1,公比为 q 的等比数列.√ (k+1)(k+2)-2(n∈N *). a(1)设 a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1 对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围;(2)若 a 1=b 1>0,m∈N *,q∈(1, m 2],证明:存在 d∈R,使得|a n -b n |≤b 1 对 n=2,3,…,m+1 均成立,并求 d 的取值 范围(用 b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项 和为 T n (n∈N *).已知 b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求 S n 和 T n ;(2)若 S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数 n 的值.11.(2018·天津·理 T18)设{a n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是等差数列.已知 a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前 n 项和为 T n (n∈N *), ①求 T n ;nk1②证明 ∑(T k +b k+2)b k 2n+2n+212.(2018·全国 2·理 T17 文 T17)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,已知 a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式; (2)求 S n ,并求 S n 的最小值.13.(2018·全国 1·文 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设 b n = n .(1)求 b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国 3·理 T17 文 T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记 S n 为{a n }的前 n 项和,若 S m =63,求 m.15.(2017·全国 1·文 T17)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,已知 S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求 S n ,并判断 S n+1,S n ,S n+2 是否成等差数列.16.(2017 · 全 国 2 · 文 T17) 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 等 比 数 列 {b n } 的 前 n 项 和 为 T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若 a +b =5,求{b }的通项公式;(2){bn }为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 S n .已知 S 2n+1=b n b n+1,求数列{b n }的前 n 项和 T n .(2)若 T 3=21,求 S 3.17.(2017·全国 3·文 T17)设数列{a n }满足 a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{ a n }的前 n 项和.2n+118.(2017·天津·理 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大 于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前 n 项和(n∈N *).19.(2017·山东·理 T19)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且 x 1+x 2=3,x 3-x 2=2. (1)求数列{x n }的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线 P 1P 2…P n+1,求由该 折线与直线 y=0,x=x 1,x=x n+1 所围成的区域的面积 T n .20.(2017·山东·文 T19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且 a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3.1)求数列{a n }的通项公式;a n21.(2017·天津·文 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b n }的前 n 项和(n∈N *).22.(2016·全国 2·理 T17)S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=1,S 7=28.记 b n =[lg a n ],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求 b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n }的前 1 000 项和.(2)令 c n =(a n +1)(b n +2) ,求数列{c n }的前 n 项和 T n .(1)设 c n =b n+1 − b n 2,n∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设 a 1=d,T n = ∑ (-1)k b k 2d 28.(2016·天津·文 T18)已知{a n }是等比数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),且 1 − 133223.(2016·全国 2·文 T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设 b n =[a n ],求数列{b n }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文 T17)设数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *. (1)求通项公式 a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前 n 项和.25.(2016·北京·文 T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且 b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设 c n =a n +b n ,求数列{c n }的前 n 项和.26.(2016·山东·理 T18 文 T19)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且 a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式;n+1n27.(2016·天津·理 T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 n∈N *,b n 是 a n 和 a n+1 的等比中项.22n n 2,n∈N *,求证: ∑ 1 k1 k1 Tk< 1 .2a 1 a 22 a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的 n∈N *,b n 是 log 2a n 和 log 2a n+1 的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前 2n 项和.29.(2016·全国 1·文 T17)已知{a n }是公差为 3 的等差数列,数列{b n }满足 b 1=1,b 2=1,a n b n+1+b n+1=nb n .(1)求{a n }的通项公式;(2)求{b n }的前 n 项和.30.(2016·全国 3·文 T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 1=1, a 2n -(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求 a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国 3·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S 5=31,求λ.(2)设 b n =n+1(2)设S n 为数列{a n }的前 n 项和,b n =,求数列{b n }的前 n 项和 T n .a(2)设 b n = 38.(2015·山东·文 T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{ ,求数列{b n }的前 n 项和.,n∈N ,求数列{b n }的前 n 项和.*a n ·a n+1}的前 n 项和为 .n22 2 3132.(2015·北京·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 1+a 2=10,a 4-a 3=2.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足 b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6 与数列{a n }的第几项相等?33.(2015·重庆·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 3=2,前 3 项和 S 3=9.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足 b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前 n 项和 T n . 34.(2015·福建·文 T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =2a n -2+n,求 b 1+b 2+b 3+…+b 10 的值.35.(2015·全国 1·理 T17)S n 为数列{a n }的前 n 项和.已知 a n >0,a n +2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;1a n a n+136.(2015·安徽·文 T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且 a 1+a 4=9,a 2a 3=8.(1)求数列{a n }的通项公式;S n S n+137.(2015·天津·理 T18)已知数列{a n }满足 a n+2=qa n (q 为实数,且 q≠1),n∈N *,a 1=1,a 2=2,且 a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5 成等差数列.(1)求 q 的值和{a n }的通项公式;l o g 2a 2na 2n -112n+1 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .39.(2015·浙江·文 T17)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n∈N *),b 1+1b 2+1b 3+…+n b n =b n+1-1(n∈N *).(1)求 a n 与 b n ;(2)记数列{a n b n }的前 n 项和为 T n ,求 T n .40.(2015 · 天 津 · 文 T18) 已 知 {a n } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ,{b n } 是 等 差 数 列 , 且 a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)当d>1 时,记 c n =a n,求数列{c n }的前 n 项和 T n .2(2)证明: a 2a nS n =n +n ,n∈N *.(2)设 b n = a n a n+1项和 T n .,求数列{b n }的前 n(2)令b n =(-1)n-1 4n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .(2)设 c n =a n b n ,n∈N *,求数列{c n }的前 n 项和.41.(2015·湖北·文 T19)设等差数列 {a n }的公差为 d,前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n }的公比为 q,已知 b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;b n42.(2014·全国 2·理 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明:{a n + 1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;1 a 1+ 1 +…+ 1 < 3.243.(2014·福建·文 T17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81.(1)求 a n ;(2)设 b n =log 3a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .44.(2014·湖南·文 T16)已知数列{a n }的前 n 项和22(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前 2n 项和.45.(2014·北京·文 T14)已知{a n }是等差数列,满足 a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足 b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数 列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前 n 项和.46.(2014·大纲全国·理 T18)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 a 1=10,a 2 为整数,且 S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;1 47.(2014·山东·理 T19)已知等差数列{a n }的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1,S 2,S 4 成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;a n a n+148.(2014·全国 1·文 T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4 是方程 x 2-5x+6=0 的根.(1)求{a n }的通项公式;22a 2n -1a 2n+1 }的前 n3 3- 2(2)求数列{a n }的前 n 项和.49.(2014·安徽·文 T18)数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n∈N *.(1)证明:数列{a n }是等差数列;n(2)设 b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .50.(2014·山东·文 T19)在等差数列{a n }中,已知公差 d=2,a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =a n (n+1),记 T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求 T n .51.(2014·大纲全国·文 T17)数列{a n }满足 a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设 b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国 1·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国 2·文 T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且 a 1,a 11,a 13 成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求 a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国 1·文 T17)已知等差数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{1项和.55.(2012·湖北·理 T18 文 T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为 8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若 a 2,a 3,a 1 成等比数列,求数列{|a n |}的前 n 项和.56.(2011·全国·文 T17)已知等比数列{a n }中,a 1=1,公比 q=1.(1)S n 为{a n }的前 n 项和,证明:S n =1 2a n ;(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理 T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且 2a 1+3a 2=1,a 3 =9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{}的前 n 项和.1 b n58.(2010·全国·理 T17)设数列{a n }满足 a 1=2,a n+1-a n =3·22n-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令 b n =na n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .59.(2010·全国·文 T17)设等差数列{a n }满足 a 3=5,a 10=-9, (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值.2解得{ 1 故 a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选 A. 2 2 21 2222222232 16 21616 16 × 1 +…>1+4+7>10,故选 A.a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q ),a 1+a 2+a 3=a 1(1-q ).十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 08 数列一、选择题1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则()A.a n =2n-5C.S n =2n 2-8nB.a n =3n-10D.S n =1n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{ S 4 = 4a 1 + 4×3 ·d = 0,a 5 = a 1 + 4d = 5,a = -3, d = 2.2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则()A.当 b=1时,a 10>10C.当 b=-2 时,a 10>10B.当 b=4时,a 10>10D.当 b=-4 时,a 10>10【答案】A【解析】当b= 1 时 ,a 2= a 1 + 1 ≥ 1 ,a 3= a 2 + 1 ≥ 4 ,a 4= a 3 + 1 ≥ 17 ≥1,当 n≥4 时,a n+1= a n + 1≥ a n ≥1,则lo g 17 a n+1>2lo g 17 a n ⇒lo g 17 a n+1>2n-1, 则 a n+1≥ （ 17 ）1616162n -1(n≥4), 则 a 10≥ （ 17 ） 26 = （ 1+ 16 ） 64=1+ 64 +64×63 2 1623.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=()A.-12B.-10C.10D.12【答案】B【解析】因为 3S 3=S 2+S 4,所以 3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即 S 3=a 4-a 3.设公差为 d,则 3a 1+3d=d,又由 a 1=2,得 d=-3,所以 a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则( )A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 4【答案】B【解析】设等比数列的公比为 q,则4 3 1-q1-q3 3 a n , 由题意 , an = 12√2(n≥2),所以 {a n } 为等比数列 , 因为 a 1=f,所以为 n,则前 n 组的项数和为n (1n ).第 n 组的和为1-2 =2n -1,前 n 组总共的和为2(1-2 )-n=2n+1-2-n.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1a2a 3a4,即 a 1(1+q+q 2)=e a 1(1qq2q 3).又 a 1>1,∴q<0.假设 1+q+q 2>1,即 q+q 2>0,解得 q<-1(q>0 舍去).由 a 1>1,可知 a 1(1+q+q 2)>1,∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即 1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与 q<-1 相矛盾.∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A. √2fB. √22f C. 12√25fD. 12√27f【答案】D【解析】设第 n 个单音的频率为a n -1a 8=a 1×(12√2)7= 12√27f,故选 D.6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【答案】A【解析】设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第 n 组的项数n n2 1-2 1-2由题意,N>100,令n (1n )>100,得 n≥14 且 n∈N *,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:N>100 且2前 N 项和为 2 的整数幂,则 S N -S n (1n )应与-2-n 互为相反数,即 2k -1=2+n(k∈N *,n≥14),所以 k=log 2(n+3),解 2得 n=29,k=5.22-a 3 31 3所以 N=29×(1+29 )+5=440,故选 A. 27.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为( )A.-24B.-3C.3D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为 d,则 d≠0,a 23 =a 2·a 6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以 S 6=6×1+6×5×(-2)=-24,故选 A.8.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=()A.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】因为 S 9=(a 1 +a9 )×9=27,a 1+a 9=2a 5,所以 a 5=3.又因为 a 10=8,所以 d=a 10-55=1.故 a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则( A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为 a 1,公差为 d,则 a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8 成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即 3a 1d+5d 2=0.∵d≠0,∴a 1d=-5d 2<0,且 a 1=-5d.∵dS 4=4d(a 2+a 4)=2d(2a 1+3d)=-2d 2<0.10.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=()A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】由 a 1+a 3+a 5=3 及等差中项,得 3a 3=3,解得 a 3=1.故)2B.192C.10D.12【解析】由题意知a 1+a 3+a 5=1+q 2+q 4=21=7,解得 q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.a 1 222 2424 2S 5=5(a 1+a 5)=5a 3=5.11.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= ()A.17【答案】B【解析】∵公差 d=1,S 8=4S 4,∴8(a 1+a 8) = 4×4(a 1+a 4),22即 2a 1+7d=4a 1+6d,解得 a 1=1.∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=()A.21B.42C.63D.84【答案】B313.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=()A.2B.1C. 12D.1 8【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 4 =4(a 4-1),解得 a 4=2.又 a 4=a 1q 3,且 a 1=1,∴q=2.∴a 2=a 1q=1.14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C【 解 析 】 由 等 比 数 列 前 n 项 和 的 性 质 , 得 S 2,S 4-S 2,S 6-S 4 成 等 比 数 列 , 所 以 (S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4), 即(15-3)2=3(S 6-15),解得 S 6=63,故选 C.15.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =( )A.n(n+1)C.n (n+1)2【答案】AB.n(n-1)D.n (n -1)23B.-13C.19D.-1q 4 = 9 = 1.【解析】由 S 3=a 2+10a 1,得 a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得 a 3=9a 1,所以 q 2= 3=9.由 a 5=9,得 a 1= a123=1-2a n【解析】S n =a 1(1-q )1-q=a 1-a n q3 1-2 2 = 5a ,c =3 2 = 7a ,a 2=a 1,b 2=3 1 6 6 2 = 13a , 同理,a 3=a 1,b 3=6 112 2 23 3 2 2 2a 1 a 16√152a 13 a 1612 2a 15 724【解析】∵a 2,a 4,a 8 成等比数列,∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),解得 a 1=2.∴S n =na 1+n (n -1)d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1).16.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=()A.19【答案】Ca a 5 92 9 17.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则( )A.S n =2a n -1B.S n =3a n -2C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n【答案】Dn3=3-2a n .18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n ,A nB nC n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则()A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B【解析】因为 b 1>c 1,不妨设 b 1=4a 1,c 1=2a 1,p=1(a 1+b 1+c 1)=3a 1,则 S 1=√3a 1 · 2 · 6 · 5a 1= 12 a 21;2a +a 4a +a11 1121S 2=√3a 1 · 2 · 2a 1· 3 = √6 a 21;显然 S 2>S 1.7a +a115a +a c 3=6 12 1 = 11a 1,S 3=√3a 1 · 2 · 12 a 1· 12 a 1 = √105 a 21,显然 S 3>S 2.21 联立{a 4a = -8 可解得{a 4 = -2 或 {a 4 = 4,当{a 4 = -2时,q 3=-1, 2当{a 4 = 4时,q 3=-2,同理,有 a 1+a 10=-7. q 319.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= ()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1.∵S m =m (a 1+a m ) = m (a 2+2)=0,∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=( )A.7B.5C.-5D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. a + a = 2, a = 4, a = -2, 4 777a = 4, 7故 a 1+a 10=a 4+a 7q 3=-7;a = -2, 721.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)n a n =2n-1,∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)=1 830.二、填空题1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=.【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为 d,则{a 3 = a 1 + 6d = 13,解得{d 1= 2. 2.(2019·全国 3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10=.2 d=10×1+ 2S 5 =10a 1+10×9d5a 1+ 25.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3= ,则 S 4=.4a = a + 2d = 5, a = 1,71故 S 10=10a 1+10×9 10×9×2=100.S 5【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为 d.∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即 d=2a 1.∴S 102 5×4d = 100a 1=4. 25a 13.(2019·江苏·T 8)已知数列 {a n }(n ∈N *)是等差数列 ,S n 是其前 n 项和 .若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值是.【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0,①{9×89a 1 + 2 d = 27,②整理②得 a 1+4d=3,即 a 1=3-4d,③把③代入①解得 d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为.【答案】0-10【解析】等差数列{a n }中,由 S 5=5a 3=-10,得 a 3=-2,又 a 2=-3,公差 d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当 n≤5 时,a n ≤0,当 n≥6 时,a n 大于 0,所以 S n 的最小值为 S 4 或 S 5,即为-10.3 4【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为 q.S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=3,即 q 2+q+1=0.解得 q=-1.42=1--1)1+1 323 32 93 ∴S 5=a 1(1-q )1-q=3(1-3 ) 3 S 6=-1(1-2 )=-63.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n } 的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *), 前 n 项和为 S n , 若 lim S n = 1 , 则n →∞ a n+1【解析】由 a n =q n-1,得 a n+1=q n .当 q=1 时,不满足题意;当 q≠1 时,S n =a 1(1-q ) = 1-q .若 0<|q|<1,则 lim 不存在;若|q|>1,则 lim S n = lim = lim1-q = 1,解得 q=3.故 S 4=a 1 (1-q 4) 22 4 = 5. 86.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 4 =a 6,则 S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为 q,则 a 4=a 1q 3=1q 3,a 6=a 1q 5=1q 5.∵a 4 =a 6,∴1q 6=1q 5.∵q≠0,∴q=3.5 1 51-3 = 121.7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=.【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,①∴S n-1=2a n-1+1(n≥2).②①-②,得 a n =2a n -2a n-1,即 a n =2a n-1(n≥2).又 S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,则6 1-28.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为.【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n -3.2q=.【答案】3nn 1-q1-q1-q nn →∞ (1-q )q n1-q n 1 n →∞ a n+1n →∞ (1-q )q nn →∞ (1-q ) · 1 -1)=- 1q n 211.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1=____________.a 1,10, d 1.n (n+1)=2(1 - 1 ). 2 22所以 ∑ 1 =2[(1- 1) + (1 - 1)+…+(1 - 1 )]=2(1- 1 ) n2nk1 S k得{ 1 解得{q 1 -2,故 a 4=a 1q 3=-8.744 710.(2018·江苏·T 14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为.【答案】27【解析】①若 a n+1=2k (k∈N *),则 S n =21+22+…+2k-1+1+3+…+2k -1=2k -2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k -2>12·2k .令 2k =t ⇒1t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.4∴t≥64⇒k≥6.此时,n=k-1+2k-1=37.②若 a n+1=2k+1(k∈N *),则 S n =21+22+…+2t +1+3+…+2k -1(2t <2k+1,t∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取 k=21,此时77<2t <43(舍),取 k=22,29<2t <45,t=5,n=5+22=27.2由①②,得 n min =27.n k1 S k【答案】 2nn+1【解析】设等差数列的首项为 a 1,公差为 d,由题意可知{所以 S n =na 1+n (n -1)d=n (1+n ).所以 12 S n n n+1 a 1 + 2d 3,4a 1 + 4×3 d解得{ 1.22 3 n n+1 n+1 n+112.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=.【答案】-8【解析】设{a n }的公比为 q,则由题意, a (1 + q )-1, a1,a 1(1-q 2) -3,13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=4,S 6=63,则 a 8=.【答案】32【解析】设该等比数列的公比为 q,则 S 6-S 3=63 − 4=14,即 a 4+a 5+a 6=14.①。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题11数列(2)文(含解析)
专题11 数列（2）数列大题：10年8考，若解答题考数列大题，则解三角形题一般考一道小题，若解答题考解三角形大题，则数列一般考两道小题．数列一般考查通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．1．（2019年）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝﹣a 5．（1）若a 3＝4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9＝﹣a 5，则S 9＝()1992a a+＝9a 5＝﹣a 5，变形可得a 5＝0，即a 1+4d ＝0，若a 3＝4，则d ＝532a a-＝﹣2，则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝﹣2n +10，（2）若S n ≥a n ，则na 1+()12n n -d ≥a 1+（n ﹣1）d ，当n ＝1时，不等式成立，当n ≥2时，有2nd≥d ﹣a 1，变形可得（n ﹣2）d ≥﹣2a 1，又由S 9＝﹣a 5，即S 9＝()1992a a +＝9a 5＝﹣a 5，则有a 5＝0，即a 1+4d ＝0，则有（n ﹣2）14a-≥﹣2a 1，又由a 1＞0，则有n ≤10，则有2≤n ≤10，综合可得：n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．2．（2018年）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，设b n ＝nan ．（1）求b 1，b 2，b 3；（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n }的通项公式．【解析】（1）数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则：112n na n a n++=（常数）， 由于nn ab n =， 故：12n nb b +=，数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：1112n n n b b q --==，所以：b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4．（2）数列{b n }是为等比数列， 由于12n nb b +=（常数）；（3）由（1）得：12n n b -=， 根据nn a b n =，所以：12n n a n -=⨯．3．（2017年）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解析】（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ， 则a 3＝S 3﹣S 2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a 1＝32a q ＝28q -，a 2＝3aq ＝8q -，由a 1+a 2＝2，28q -+8q -＝2，整理得：q 2+4q +4＝0，解得：q ＝﹣2，则a 1＝﹣2，a n ＝（﹣2）（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ， ∴{a n }的通项公式a n ＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n ＝()111n a q q --＝()()21212n ⎡⎤---⎣⎦--＝13-[2+（﹣2）n +1]，。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
十年高考数学试卷汇编(10~19年 解答题部分)
全国卷•十年高考（解答题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (10)2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (15)2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (20)2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (25)2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (31)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (36)2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (41)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (46)2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）三、解答题：共60分。
17．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．18．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．19．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．20．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．21．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：常用逻辑用
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
28.(2014•陕西•理 T8)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真
假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
18.(2016•山东•理 T6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面
α 和平面 β 相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2017•天津•理 T4)设 θ∈R,则“
π
- 12
<
π
12”是“sin
1
θ<2”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2017•浙江•理 T6)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ( )
+ ≥ 6, 1.(2019•全国 3•文 T11)记不等式组 2 - ≥ 0 表示的平面区域为 D.命题 p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题 q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ①p∨q ②￢p∨q ③p∧￢q ④￢p∧￢q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④
专题08 数列-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析
姓名，年级：时间：专题08 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，,则 A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差,再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ,则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n ｝满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ． 当101,102b a =>B ． 当101,104b a =>C ． 当102,10b a =->D ． 当104,10b a =->【答案】A90b -时,b ，()22bbb +。
12=时,4a 21122⎫++=⎪⎭19=，【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列｛a n }的前n 项和,12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4【解析】设等差数列｛a n ｝的公差为d ， 因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =,所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】 0，10-。
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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 .11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k =____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M- 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M- 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列.(1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =an n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d 2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{ann }的前n 项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)设b n =3n·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{1a2n -1a 2n+1}的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n}的前n项和. 58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8n D.S n =12n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选A.2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10 D.当b=-4时,a 10>10【答案】A【解析】当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥（1716 ）2n -1(n≥4),则a 10≥（1716） 26=（1+116）64=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A. 3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12【答案】B【解析】因为3S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d,则3a 1+3d=d,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】B【解析】设等比数列的公比为q,则 a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1, ∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23f B.√223fC.√2512fD.√2712f【答案】D【解析】设第n 个单音的频率为a n ,由题意,a na n -1=√212(n≥2),所以{a n }为等比数列,因为a 1=f,所以a 8=a 1×(√212)7=√2712f,故选D.6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110 【答案】A【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n,则前n组的项数和为n (1+n )2.第n 组的和为1-2n 1-2=2n -1,前n 组总共的和为2(1-2n )1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令n (1+n )2>100,得n≥14且n ∈N *,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -S n (1+n )2应与-2-n 互为相反数,即2k-1=2+n(k ∈N *,n≥14),所以k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A. 7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a 32=a 2·a 6, 即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), 解得d=-2,所以S 6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A.8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C 【解析】因为S 9=(a 1+a 9)×9=27,a 1+a 9=2a 5, 所以a 5=3.又因为a 10=8,所以d=a 10-a 510-5=1. 故a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理T13)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d. ∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即3a 1d+5d 2=0. ∵d≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d(2a 1+3d)=-23d 2<0. 10.(2015·全国2·文T5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A【解析】由a 1+a 3+a 5=3及等差中项,得3a 3=3,解得a 3=1.故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5. 11.(2015·全国1·文T7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10= ( ) A.172B.192C.10D.12【答案】B【解析】∵公差d=1,S 8=4S 4, ∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d,解得a 1=12. ∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.84【答案】B 【解析】由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1C.12D.18【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2.∴a 2=a 1q=12.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C.15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)C.n (n+1)2D.n (n -1)2【答案】A【解析】∵a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2. ∴S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1). 16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13 B.-13C.19D.-19【答案】C【解析】由S 3=a 2+10a 1,得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得a 3=9a 1,所以q 2=a 3a 1=9.由a 5=9,得a 1=a 5q 4=992=19.17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n 【答案】D【解析】S n =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n .18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若 b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +an ,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B【解析】因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13,p=12(a 1+b 1+c 1)=32a 1,则S 1=√3a 12·a 12·a 16·5a16=√1512a 12; a 2=a 1,b 2=23a 1+a 12=56a 1,c 2=43a 1+a 12=76a 1,S 2=√3a12·a12·2a13·a13=√66a 12;显然S 2>S 1.同理,a 3=a 1,b 3=76a 1+a 12=1312a 1,c 3=56a 1+a 12=1112a 1,S 3=√3a12·a12·512a 1·712a 1=√10524a 12,显然S 3>S 2.19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3, ∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2)2=0, ∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. 联立{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8可解得{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,a 7=4,当{a 4=4,a 7=-2时,q 3=-12, 故a 1+a 10=a4q 3+a 7q 3=-7;当{a 4=-2,a 7=4时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)na n =2n-1, ∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1 830. 二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为d,则{a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得{a 1=1,d =2. 故S 10=10a 1+10×92d=10×1+10×92×2=100. 2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.∴S10S 5=10a 1+10×92d5a 1+5×42d=100a 125a 1=4. 3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82d =27,②整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d,③ 把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【答案】0 -10【解析】等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为q. S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34, 即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-q 4)=1-(-12)41+12=5.6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为q, 则a 4=a 1q 3=13q 3,a 6=a 1q 5=13q 5.∵a 42=a 6,∴19q 6=13q 5.∵q≠0,∴q=3.∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=13(1-35)1-3=1213. 7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,① ∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).又S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S 6=-1(1-26)1-2=-63.8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n-3.9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S na n+1=12,则q= . 【答案】3【解析】由a n =q n-1,得a n+1=q n.当q=1时,不满足题意;当q≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q=1-q n1-q. 若0<|q|<1,则lim n →∞1-q n(1-q )q n 不存在;若|q|>1,则lim n →∞Sn a n+1=lim n →∞1-q n(1-q )q n =lim n →∞1(1-q )·(1q n -1)=-11-q =12,解得q=3.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 【答案】27【解析】①若a n+1=2k(k ∈N *),则S n =21+22+…+2k-1+1+3+ (2)-1=2k-2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k-2>12·2k. 令2k=t ⇒14t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.∴t ≥64⇒k ≥6.此时,n=k-1+2k-1=37. ②若a n+1=2k+1(k ∈N *),则S n =21+22+ (2)+1+3+…+2k-1(2t<2k+1,t ∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取k=21,此时772<2t <43(舍),取k=22,29<2t<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得n min =27.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.【答案】2nn+1【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d,由题意可知{a 1+2d =3,4a 1+4×32d=10,解得{a 1=1,d =1.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (1+n )2. 所以1S n =2n (n+1)=2(1n -1n+1).所以∑k=1n1S k=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1. 12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= . 【答案】-8【解析】设{a n }的公比为q,则由题意, 得{a 1(1+q )=-1,a 1(1-q 2)=-3,解得{a 1=1,q =-2,故a 4=a 1q 3=-8. 13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 【答案】32【解析】设该等比数列的公比为q,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=7,a 1=1. ∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121【解析】由题意,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1, 所以a 1=1,a 2=3.再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).又因为a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S 5=1-351-3=121. 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 【答案】6【解析】∵{a n }是等差数列,∴a 3+a 5=2a 4=0.∴a 4=0. ∴a 4-a 1=3d=-6.∴d=-2. ∴S 6=6a 1+15d=6×6+15×(-2)=6.16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 【答案】64【解析】由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,两式相除得a 1+a 3q (a 1+a 3)=105=2,解得q=12,a 1=8, 所以a 1a 2…a n =8n·(1)1+2+…+(n -1)=2-12n 2+7n2,函数f(n)=-1n 2+7n的对称轴为n=-722×(-12)=3.5,又n ∈N *,所以当n=3或4时,a 1a 2…a n 取最大值为2-12×32+7×32=26=64.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 【答案】6【解析】∵a n+1=2a n ,即an+1a n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列.。